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2024-2025學年安徽省合肥168中學高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，，則( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 必要而不充分條件 B. 充分而不必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.已知是奇函數，則( )
A. B. C. D.
4.如果奇函數在區間上是增函數且最小值為，那么在區間上是( )
A. 增函數且最小值為 B. 增函數且最大值為
C. 減函數且最小值為 D. 減函數且最大值為
5.已知事件，，且，，，則( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙三人參加“校史知識競答”比賽，若甲、乙、丙三人榮獲一等獎的概率分別為，且三人是否獲得一等獎相互獨立，則這三人中僅有兩人獲得一等獎的概率為( )
A. B. C. D.
7.已知函數，若，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列選項中，正確的是( )
A. 若：，，則：，
B. 若不等式的解集為，則
C. “”是“”的充分不必要條件
D. 若，，且，則的最小值為
10.已知的圖象如圖所示，若，則關于方程根的情況說法正確的是( )
A. 有三個實根
B. 當時，恰有一實根
C. 當時，恰有一實根
D. 當時，恰有一實根
11.已知函數的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數，則______．
13.已知函數在同一個坐標系的圖象如圖，則能使不等式成立的的取值范圍是______．
14.已知，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
設函數，．
求方程的實數解；
若不等式對于一切都成立，求實數的取值范圍．
16.本小題分
對于函數，若存在，使成立，則稱為的不動點已知函數．
當，時，求函數的不動點；
若對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；
在的條件下，若的兩個不動點為，，且，求實數的取值范圍．
17.本小題分
某健身俱樂部研究會員每周鍛煉時長與體重減少量的關系，隨機抽取名會員的數據如下：
會員序號 總和
鍛煉時長小時
體重減少量千克
并計算得：
．
根據表格中的數據，可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關關系，請用相關系數加以說明；
求經驗回歸方程結果精確到；
該俱樂部推廣了一項激勵措施后，發現會員平均每周鍛煉時長增加個小時，實際觀測到的平均體重減少量增加了千克請結合回歸分析結果，判斷該回歸模型是否具有參考價值，并給出合理的解釋．
參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，參考值：
18.本小題分
某公司計劃舉辦周年慶活動，其中設計了“做游戲贏獎金”環節，從所有員工中選取名業績突出的員工參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規則如下：參與者投擲一枚均勻的骰子，初始分數為，每次擲得點數為偶數得分，點數為奇數得分連續投擲累計得分達到分或分時，游戲結束．
設員工在游戲過程中累計得分的概率為．
求，，；
求證數列為等比數列．
得分的員工，獲得二等獎，得分的員工，獲得一等獎，若一等獎的獎金為二等獎的獎金的兩倍，且該公司計劃作為游戲獎勵的預算資金不超過萬元，則一等獎的獎金最多不能超過多少元？精確到元
19.本小題分
已知函數．
討論的單調性；
若有兩個零點，為的導函數．
求實數的取值范圍；
記較小的一個零點為，證明：．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由知，方程，即為，
即，
解得，即．
不等式，即，
原不等式可化為對于一切都成立，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故當時，，
所以，
所以實數的取值范圍為．
16.因為，，所以，
設函數的不動點為，
則，
化簡得，解得，
所以的不動點為；
令，則有兩個相異的解．
所以，
即對于任意恒成立，
令，
則，
解得，
所以實數的取值范圍為；
因為，為的兩個不動點，且，
所以，
所以，
因為由知，，
所以，
所以．
由得到，
根據基本不等式的性質可得，
當且僅當時，即時等號成立，
所以．
又，所以．
所以，
即實數的取值范圍為
17.解：由表可知：，
又因為，
所以，
因為與的相關系數接近，
所以與的線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合與的關系；
由題可知：，
，
所以；
由可知：根據線性回歸方程預測，會員平均每周鍛煉時長增加個小時，
預測平均體重減少量增加千克，與實際增加值千克較為接近，
因此實際結果與預測結果基本一致，說明該回歸模型具有參考價值，
造成一定差異的原因可能是由于樣本數據過少，
或者造成體重減少的原因還受其他因素影響，
比如睡眠，飲食、鍛煉強度以及效果等．
18.由參與者投擲一枚均勻的骰子，初始分數為，
每次擲得點數為偶數得分，點數為奇數得分．
連續投擲累計得分達到分或分時，游戲結束，
設員工在游戲過程中累計得分的概率為，
可得；
；
；
證明：由題知，累計獲得分時有可能是獲得分時擲骰子點數為奇數
或獲得分時擲骰子點數為偶數，
而擲骰子點數為奇數和偶數的概率均為．
所以，
則，又
故為首項為，公比為的等比數列．
由知，
將所有等式相加得，
所以，
所以，
設一等獎的獎金為元，二等獎的獎金為元，
由題意知元，
解得，即一等獎的獎金最多不超過元．
19.的定義域為，
導函數，
當時，導函數，在區間單調遞減；
當時，令導函數，解得，
當時，導函數，單調遞減；
當時，導函數，單調遞增．
綜上所述，當時，在單調遞減；
當時，在單調遞增，在上單調遞減．
若，根據第一問知，函數至多有一個零點；
若，根據第一問知，當時，函數取得最小值為．
由于當時，函數；
當時，函數，
因此有兩個零點當且僅當．
設函數，在區間單調遞增．
由于，的解集為．
綜上所述，的取值范圍是．
證明：由于函數，根據，結合知，
要證，那么即證，即，
當時，由于，，不等式恒成立；
當時，根據，得．
即證．
即證．
即證．
設，，
由，
所以在單調遞增．所以，故原不等式成立．
所以．
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