資源簡介

2024-2025學年黑龍江省雙鴨山市部分學校高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若復數滿足，則的虛部是( )
A. B. C. D.
2.，為空間兩條不重合直線，為空間平面，下列命題正確的是( )
A. ，，則
B. ，與所成角均為，則
C. ，，，則直線，到的距離相等
D. ，，則，可以是異面直線
3.如圖是某市隨機抽取的戶居民的月均用水量頻率分布直方圖，如果要讓的居民用水不超出標準單位：，根據直方圖估計，下列最接近的數為( )
A. B. C. D.
4.如圖，三個元件，，正常工作的概率均為，且是相互獨立的，將它們接入電路中，則電路不發生故障的概率是( )
A. B.
C. D.
5.如圖，圓錐的母線長為，底面圓直徑，點為底面的中點，則在該圓錐的側面展開圖圖中( )
A.
B.
C.
D.
6.拋擲質地均勻的骰子兩次，得到的點數分別為，設平面向量，則向量不能作為平面內的一組基底的概率為( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.如圖，將正方形沿對角線折成直二面角，則對于翻折后的幾何圖形，下列結論不正確的是( )
A.
B. 與平面所成角為
C. 為等邊三角形
D. 二面角的平面角的正切值是
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知，，下列說法正確的是( )
A. 若，則
B. 若，則，中至少有一個為
C.
D. 若，，，則
10.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發、滲透、流失，而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位降雨量可以直觀地反映一個地區某一時間段內降水的多少，它對農業生產、水利工程、城市排水等有著重要的影響如圖，這是，兩地某年上半年每月降雨量的折線統計圖．
下列結論正確的是( )
A. 這年上半年地月平均降雨量比地月平均降雨量大
B. 這年上半年地月降雨量的中位數比地月降雨量的中位數大
C. 這年上半年地月降雨量的極差比地月降雨量的極差大
D. 這年上半年地月降雨量的分位數比地月平均降雨量的分位數大
11.如圖，在棱長為的正方體中，是棱上的動點，則下列說法正確的是( )
A. 不存在點，使得
B. 存在點，使得
C. 對于任意點，到的距離的取值范圍為
D. 對于任意點，都是鈍角三角形
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，的夾角為，，，則______．
13.如圖所示，已知一個半徑為的半圓面剪去了一個等腰三角形，將剩余部分繞著直徑所在直線旋轉一周得到一個幾何體，其中點為半圓弧的中點，該幾何體的體積為______．
14.已知某藝術協會的會員中，有的會員喜愛書畫或戲曲，有的會員喜愛書畫，有的會員同時喜愛書畫、戲曲現從該協會中隨機抽取一名會員，該會員喜愛戲曲的概率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，棱長為的正方體中，，，，分別是，，，的中點．
計算三棱臺的體積；
求證：平面平面．
16.本小題分
某調研小組調查了某市名外賣騎手平均每天完成的任務量簡稱“單量”，得到如下的頻數分布表：
單量單
人數
補全該市名外賣騎手每天單量的頻率分布直方圖；
根據圖表數據，試求樣本數據的中位數精確到；
根據外賣騎手的每天單量，參考某平臺的類別將外賣騎手分成三類，調查獲知不同類別的外賣騎手開展工作所投入的裝備成本不盡相同，如下表：
日單量單
類別 普通騎手 精英騎手 王牌騎手
裝備價格元
根據以上數據，估計該市外賣騎手購買裝備的平均成本．
17.本小題分
某商場為回饋顧客舉行抽獎活動，顧客一次消費超過一定金額即可參加抽獎抽獎箱里放有個大小相同的小球，其中有兩個標有“中獎”字樣，每位參加抽獎的顧客一次抽獎可隨機抽取兩個小球，且商場規定參加抽獎的顧客一次抽獎只要抽到一個“中獎”小球即視為中獎．
求顧客一次抽獎中獎的概率；
若顧客一次抽獎抽到兩個“中獎”小球為一等獎，可兌取價值元的獎品；一次抽獎只抽到一個“中獎”小球為二等獎，可兌取價值元的獎品某日該商場進行的抽獎共計人次，估計兌出獎品的總價值．
18.本小題分
已知，，，函數的最小正周期為．
求函數的單調遞減區間；
在銳角中，角、、所對的邊分別是、、，且滿足，，求周長的取值范圍．
19.本小題分
如圖，三棱柱中，側面底面，且，C.
證明：平面；
若，，求平面與平面夾角的余弦值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由題可知，，，，
故根據棱臺的體積公式，
可得棱臺的體積．
證明：如圖所示，連接，，，，分別是，，，的中點，
所以，，
所以，平面，平面，
所以平面，
連接，在正方體中，
因為、分別是、的中點，
所以，，
因為，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
故A，
因為平面，平面，
所以平面，
又，所以平面平面．
16.解：由第二組的頻數得頻率為，從而第二組矩形的高為，
由第四組的頻數得頻率為，從而第二組矩形的高為，
補全該市名外賣騎手周單量的頻率分布直方圖，如下：
中位數的估計值：
由，，
所以中位數位于區間中，
設中位數為，則，
解得即樣本中位數是；
依題意可知，被調查的人中，普通騎手共有人，
精英騎手共有人，王牌騎手共有人，
這名外賣騎手購買裝備的平均成本為元，
所以估計該市外賣騎手購買裝備的平均成本為元．
17.設，為兩個標有“中獎”字樣的小球，，，為三個未標有“中獎”字樣的小球，
從中隨機抽取兩個小球，則有，，，，，，，，，共種情況，
其中中獎的情況共有種，
所以顧客一次抽獎中獎的概率為；
由可知，每次中一等獎的概率為，
每次中二等獎的概率為，
故進行人次抽獎克出獎品價值的估計值為元．
18.因為，，，
所以
，
所以．
因為的最小正周期為，所以，所以，所以．
由，，解得，，
所以的單調遞減區間為，．
由知，．
又因為，所以，
所以，解得．
又因為為銳角三角形，
所以，即，解得．
因為，所以由正弦定理，得，，
所以
，
又因為，所以，所以，
所以，所以，
所以周長的取值范圍為．
19.解：證明：取的中點，連結、．
因為，，所以，
由于，平面，且，
因此平面．
因為平面，所以A.
又因為，所以，
因為平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
因為，所以平面．
法一因為，且，所以．
以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，．
所以，，．
設平面的法向量為，
則，令，則，
設平面的法向量為，
則，令，則，
設平面與平面夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
法二將直三棱柱補成長方體．
連接，過點作，垂足為，再過作，垂足為，連接．
因為平面，且平面，所以．
又因為，由于，平面，且，所以平面．
由于平面，所以．
因為，平面，且，所以平面．
因為平面，所以B.
則為平面與平面的夾角或補角，
在中，由等面積法可得．
因為，所以，
因此平面與平面夾角的余弦值為．
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