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2024-2025學年浙江省杭州市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.設數列的前項和為，若，則( )
A. B. C. D.
3.若，是兩條直線，，是兩個平面，且，設：，：，則是的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.的展開式中第項的系數是( )
A. B. C. D.
5.若隨機變量服從正態分布，則( )
A.
B.
C.
D.
6.如圖，圓和的兩條邊相切，射線繞點從開始逆時針方向旋轉至，設，在旋轉過程中，掃過的圓內陰影部分的面積為，則關于的圖象可能是( )
A. B. C. D.
7.若，則( )
A. B. C. D.
8.已知函數的定義域為，滿足，當時，，則的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知，樣本數據：，，，，則( )
A. 的平均數一定等于的平均數 B. 的中位數一定小于的中位數
C. 的極差一定大于的極差 D. 的方差一定小于的方差
10.已知函數，，，( )
A. 若，，則函數為奇函數
B. 若有極小值，則
C. 若有極大值，則
D. 可能在處有極大值
11.如圖，已知笛卡爾“雞蛋”曲線過點，且曲線上任意一點到和的距離滿足，則( )
A.
B. 曲線與單位圓有個交點
C. 的最小值為
D. 的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.從甲、乙、丙人中選人參加兩項活動，有______種不同的選法．
13.準線方程為的拋物線的標準方程是 ．
14.定義：平面點集中的每一點都有唯一的實數與之對應，則稱為上的二元函數若點的橫、縱坐標，均為整數，則稱點為“整數點”已知，則方程的“整數點”為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數．
Ⅰ求的單調遞增區間；
Ⅱ若函數的零點為，求．
16.本小題分
已知函數．
求在點處的切線方程；
求函數的極值；
判斷方程的解的個數．
17.本小題分
在平行四邊形中，，，，為中點，將沿直線翻折至設是線段的中點，E.
證明：平面；
求三棱錐的體積；
求直線與平面所成角的正弦值．
18.本小題分
若無窮正項數列同時滿足以下兩個性質：存在，使得，；為單調數列，則稱數列具有性質．
若，；
判斷數列，是否具有性質，并說明理由；
記為數列的前項和，判斷數列是否具有性質，并說明理由；
某同學投籃命中率為，每次投籃相互獨立，設隨機變量為投籃次命中的次數，記，證明：數列具有性質．
19.本小題分
已知雙曲線：的兩條漸近線為，且經過點．
求雙曲線的方程；
，分別是雙曲線的左右焦點，過雙曲線上一點作雙曲線的切線的方程為交軸于點；
證明：，，，四點共圓；
當時，過點作的垂線與的角平分線交于點，求點的軌跡方程．
參考答案
1.
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11.
12.
13.
14.
15.解：，
，，
解得，，
所以的單調遞增區間為，；
因為函數的零點為，
所以，
因為，
所以．
16.由函數，可得，
則，，即切線的斜率，切點坐標為，
所以曲線在點處的切線方程．
由知，
當時，；當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，
當時，有極小值．
由知，函數在遞減，在遞增，且有極小值，
又由時，；時，，
函數的圖象如圖所示，
又由方程的解的個數，即為與的圖象的交點個數，
由圖象可得：當時，沒有公共點，此時方程無解；
當或時，兩函數的圖象只有一個公共點，此時方程有一解；
當時，兩函數的圖象有兩個公共點，此時方程有兩解．
17.證明：因為，，，為中點，
所以，，
即為等邊三角形，所以，
在中，．
所以，因為，所以，
又，，，平面，所以平面
由可知，為三棱錐的高，
，
所以；
取中點，中點，以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，，，
，，，
，，
可得平面的法向量為，
設直線與平面所成角為，
故，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
18.假設存在，使得，則有，
因為，所以數列不具有性質；
因為，且為單調遞減數列，所以數列具有性質；
數列具有性質，，，
兩式作差得：
，
，所以數列滿足條件；
因為，
所以為單調遞增數列，滿足條件，數列具有性質；
證明：因為，，，，，記是奇數時的概率和為，是偶數時的概率和為，
，
，
可得，故隨著的增大而增大，所以數列具有性質．
19.由題意得：，即，又雙曲線經過點，
得，解得，所以雙曲線的方程為；
證明；由題意得：過點的切線方程為，
即，又，，
則過，，三點的圓的圓心為有，
即，，
所以，
又，
即，所以，，，四點共圓．
方法一：切線的垂線方程為，
令切線交軸于點，
的角平分線交切線于點，
由角平分線定理得：，
所以，代入坐標得，
故的角平分線方程為，設點，
聯立，可得，
所以點的軌跡方程為．
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