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2024-2025學(xué)年福建省三明一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為( )
A. B. C. D.
2.下列結(jié)論中正確的是( )
A. 正四面體是四棱錐
B. 棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)均相等
C. 圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線
D. 以三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫圓錐
3.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則( )
A. B. C. D.
4.在空間中，，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是( )
A. 若，，則
B. 若，，則，為異面直線
C. 若，，，則
D. 若，，則
5.如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，，那么( )
A.
B.
C.
D.
6.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
7.在中，，，是斜邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
8.在四棱錐中，，過直線的平面將四棱錐截成體積相等的兩個(gè)部分，設(shè)該平面與棱
交于點(diǎn)，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.關(guān)于向量，，，下列說法正確的是( )
A. B. 若，則
C. 若，則 D. 若，，則
10.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是( )
A. 圓柱的側(cè)面積為 B. 圓錐的側(cè)面積為
C. 圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和 D. 三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小
11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論奔馳定理與三角形四心重心、內(nèi)心、外心、垂心有著神秘的關(guān)聯(lián)它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且以下命題正確的有( )
A. 若：：：：，則為的重心
B. 若為的內(nèi)心，則
C. 若，，為的外心，則
D. 若為的垂心，，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.化簡(jiǎn)的結(jié)果等于______．
13.在中，，，，則 ______．
14.已知復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足．
求實(shí)數(shù)的值；
若，且，，求的值．
16.本小題分
已知向量，．
求；
若，且，求向量與向量的夾角；
若，且，求向量的坐標(biāo)．
17.本小題分
如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱底面，且，為側(cè)棱的中點(diǎn)．
求四棱錐的體積；
證明：平面；
證明：．
18.本小題分
記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，．
求角的大小；
若，求的周長(zhǎng)；
求邊上的中線長(zhǎng)度的最小值．
19.本小題分
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
求．
若，點(diǎn)，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．
若點(diǎn)，是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記若恒成立，求的值．
參考答案
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15.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，
在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足，
，且，
解得；
由可得，把代入，化簡(jiǎn)得，
即，解得，
．
16.因?yàn)椋虼耍?br/>因此．
因?yàn)椋虼耍虼耍?br/>因此，
結(jié)合，解得；
因?yàn)椋虼耍?br/>因?yàn)椋O(shè)，
則，
解得，
故或．
17.解：因?yàn)榈酌妫?br/>則為四棱錐的高，
因?yàn)椋叫蔚倪呴L(zhǎng)為，
則四棱錐的體積為；
證明：連接，且，連接，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t為線段的中點(diǎn)，
又為側(cè)棱的中點(diǎn)，則為的中位線，
則，因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>則平面；
證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，
又平面，平面，
則，
因?yàn)椋矫妫矫妫?br/>則平面，又平面，
則．
18.，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
，；
，由正弦定理得，
，，，，
又，，則，
由，可得，，
的周長(zhǎng)為；
，由余弦定理得，即，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，
為邊上的中線，可得，
，
，則，
邊上的中線長(zhǎng)度的最小值為．
19.解：因?yàn)椋?br/>所以由正弦定理得，
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
由，可得，即，
所以，
由正弦定理可得，則，
得，則或舍去，
所以；
設(shè)，在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
的面積
，
因?yàn)椋?br/>所以，
則，
故面積的取值范圍為；
因?yàn)椋?br/>所以，
則，即，
又是定值，
所以，是定值，
所以，
因?yàn)椋瑸榈膬?nèi)角，
所以，
故的值為．
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