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2024-2025學年湖南省長沙市地質中學高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設，是兩個單位向量，且，那么它們的夾角等于( )
A. B. C. D.
2.若，，，則實數之間的大小關系為 ．
A. B. C. D.
3.周髀算經中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個角為，且小正方形與大正方形的面積之比為：，則( )
A.
B.
C.
D.
4.已知函數，則下列說法正確的是( )
A. 的極小值為 B. 的極大值為
C. 在區(qū)間上單調遞增 D. 在區(qū)間上單調遞減
5.已知函數，，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.
6.如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
7.已知函數，若存在實數，，使得，且，則的最大值為( )
A. B. C. D.
8.在平行四邊形中，，是平行四邊形內包括邊界一點，，若，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線左、右兩支于，兩點，若為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率可以為( )
A. B. C. D.
10.已知函數( )
A. 若在上單調遞增，則實數的取值范圍是
B. 若在上存在單調遞減區(qū)間，則實數的取值范圍是
C. 當，在區(qū)間上不單調，則實數的取值范圍是
D. 若的單調遞減區(qū)間為，則
11.曲線的曲率就是針對曲線上個克的切線方向角對弧長的轉動率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點處的曲率，其中是的導函數( )
A. 若函數則曲線在點與點處的彎曲程度相同
B. 若是二次函數．則曲線的曲率在頂點處取得最小值
C. 若函數，則函數的值域為
D. 若函數，則曲線上任意一點的曲率的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若存在直線與曲線，都相切，則的范圍是______．
13.已知，是函數的兩個零點，且，若將函數的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于軸對稱，且函數在內恰有個最值點，則實數的取值范圍為______．
14.設拋物線，點是拋物線的焦點，點在軸正半軸上異于點，動點在拋物線上，若是銳角，則的范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在長方體中，，，與交于點，的中點為．
Ⅰ求證：平面；
Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面與平面夾角的余弦值．
16.本小題分
設函數．
若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍；
設，若當時，函數的兩個極值點，滿足，求證：．
17.本小題分
已知函數，其中．
求函數的最小值；
若有兩個極值點，，求實數的取值范圍，并證明：
18.本小題分
定義在上的連續(xù)函數對任意實數，，恒有，且當時，，又．
求證：為奇函數；
求函數在上的最大值與最小值．
19.本小題分
已知函數．
求函數在區(qū)間上的最大值；
求函數零點的個數．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得，，，，，
因為與交于點，在長方體中可得為的中點，所以，
為的中點，所以，
所以，，，
所以，即，，
即，，而，
所以平面；
Ⅱ由Ⅰ可得，，，
設面的法向量，
則，即，
令，
則，
所以，，
設直線與平面所成角為，
則，，
所以直線與平面所成角的正弦值為；
Ⅲ設面的法向量，，，
則，即，令，
可得，
所以，，
設平面與平面夾角為，則，，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
16.解：由題意可得有個變號零點，
故有個變號零點，
令，則，
當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，
又時，，時，，且當時，函數取得極大值也是最大值，
故，
即
證明：，
則，
由題意得，，
，，
由可得，
解得，
由于恒成立時取等號
，
令，則在上單調遞減，
當時，取得最小值，
故．
17.解：對求導可得，
令，得，
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
所以函數的最小值為；
，
求導可得，
因為函數有兩個極值點，，
所以導函數有兩個正的零點，，且在零點左右附近導數值異號，
所以二次函數必有兩個正的零點，
故，解得，即實數的取值范圍是．
又，，代入中可得
，
設，則，
所以，即．
又由中可知在取等號，
所以當時，，再結合，
可得，
所以．
綜上，成立．
18.證明：令，得，
令，，得，所以，
所以，即，
所以為奇函數．
解：設，，且，
則，即，
因為，所以，
所以，所以為上的減函數．
因為，所以，
，，
因為在上是減函數，
所以，．
19.解：，
令，則，
所以，所以，所以在上單調遞增，
又，
，
故存在唯一，使得，
故為上的極小值，
又，，
故函數在區(qū)間上的最大值為．
函數的定義域是，
當時，，，
所以，所以在上單調遞減，
又，所以，故此時的零點為；
當時，由知，函數在區(qū)間上有唯一零點；
當時，令，，
則，
所以在上單調遞增，
所以．
又，故對任意，都有，
所以函數在區(qū)間上沒有零點，
綜上，函數有且僅有個零點．
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