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中考支招：五步攻破中考數(shù)學壓軸題
2009-05-26 13:58 來源：教育資源庫 作者：佚名 [打印] [評論]
??? 對中考數(shù)學卷，壓軸題是考生最怕的，以為它一定很難，不敢碰它。其實，對歷年中考的壓軸題作一番分析，就會發(fā)現(xiàn)，其實也不是很難。這樣，就能減輕做“壓軸題”的心理壓力，從中找到應對的辦法。
??? 壓軸題難度有約定
??? 歷年中考，壓軸題一般都由3個小題組成。第（1）題容易上手，得分率在0.8以上；第（2）題稍難，一般還是屬于常規(guī)題型，得分率在0.6與0.7之間，第（3）題較難，能力要求較高，但得分率也大多在0.3與0.4之間。近十年來，最后小題的得分率在0.3以下的情況，只是偶爾發(fā)生，但一旦發(fā)生，就會引起各方關(guān)注。控制壓軸題的難度已成為各屆命題組的共識，“起點低，坡度緩，尾巴略翹”已成為上海數(shù)學試卷設計的一大特色，以往上海卷的壓軸題大多不偏不怪，得分率穩(wěn)定在0.5與0.6之間，即考生的平均得分在7分或8分。由此可見，壓軸題也并不可怕。
??? 決不靠猜題和押題
??? 壓軸題一般都是代數(shù)與幾何的綜合題，很多年來都是以函數(shù)和幾何圖形的綜合作為主要方式，用到三角形、四邊形、相似形和圓的有關(guān)知識。如果以為這是構(gòu)造壓軸題的唯一方式那就錯了。方程與圖形的綜合的幾何問題也是常見的綜合方式，如去年中考的第25（3）題，就是根據(jù)已知的幾何條件列出代數(shù)方程而得解的，這類問題在外省市近年的中考試卷中也不乏其例。動態(tài)幾何問題中有一種新題型，如北京市去年的壓軸題，在圖形的變換過程中，探究圖形中某些不變的因素，它把操作、觀察、探求、計算和證明融合在一起。在這類動態(tài)幾何問題中，銳角三角比作為幾何計算的一種工具，它的重要作用有可能在壓軸題中初露頭角。總之，壓軸題有多種綜合的方式，不要老是盯著某種方式，應對壓軸題，決不能靠猜題、押題。
??? 分析結(jié)構(gòu)理清關(guān)系
??? 解壓軸題，要注意它的邏輯結(jié)構(gòu)，搞清楚它的各個小題之間的關(guān)系是“平列”的，還是“遞進”的，這一點非常重要。如去年第25題的（1）、（2）、（3）三個小題是平列關(guān)系，它們分別以大題的已知為條件進行解題，（1）的結(jié)論與（2）的解題無關(guān)，（2）的結(jié)論與（3）的解題無關(guān)，整個大題由這三個小題“拼裝”而成。又如2007年第25題，（1）、（2）兩個小題是“遞進關(guān)系”，（1）的結(jié)論由大題的已知條件證得，除已知外，（1）的結(jié)論又是解（2）所必要的條件之一。但（3）與（1）、（2）卻是“平列關(guān)系”，（1）中，動點P在射線AN上，而（3）根據(jù)已知，動點P在射線AN上。它除了可能在射線AN上，還可能在AN的反向延長線上，或與點A重合。因此需要“分類討論”。如果將（1）、（2）的結(jié)論作為條件解（3），將會使你墜入“陷阱”，不能自拔。
??? 應對策略必須抓牢
??? 學生害怕“壓軸題”，恐怕與“題海戰(zhàn)術(shù)”有關(guān)。中考前，盲目地多做難題是有害的。從外省市中考卷或從前幾年各區(qū)模擬考卷中選題時，特別要留意它是否超出今年中考的考查范圍。有關(guān)部門已明確，拓展II的教學內(nèi)容不屬于今年中考的范圍，如代數(shù)中的“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”、“用‘兩根式’和‘頂點式’來求二次函數(shù)的解析式”、“二次函數(shù)的應用”等，幾何中“圓的切線的判定和性質(zhì)”、“四點共圓的性質(zhì)和判定”等，因此這些內(nèi)容不可能作為構(gòu)造壓軸題的“作料”。為了應對中考壓軸題，教師可以根據(jù)實際，為學生精選一二十道，但不必強求一律，對有的學生可以只要求他做其中的第（1）題或第（2）題。盲目追“新”求“難”，忽視基礎，用大量的復習時間去應付只占整卷10%的壓軸題，結(jié)果必然是得不償失。事實證明：有相當一部分學生在壓軸題的失分，并不是沒有解題思路，而是錯在非常基本的概念和簡單的計算上，或是輸在“審題”上，因此在最后總復習階段，還是應當把功夫花在夯實基礎、總結(jié)歸納上，老師要幫助學生打通思路，掌握方法，指導他們靈活運用知識。有經(jīng)驗的老師常常把壓軸題分解為若干個“小綜合題”，并進行剪裁與組合，或把外省市的某些較難的“填空題”，升格為“簡答題”，把“熟題”變式為“陌生題”，讓學生練習，花的時間雖不多，但能取得較好的效果。我認為：綜合題的解題能力不能靠一時一日的“拔苗助長”而要靠日積月累的培養(yǎng)和訓練。在總復習階段，對大部分學生而言，放棄一些難題和大題，多做一些中檔的變式題和小題，反而能使他們得益。
??? 不要太受區(qū)考影響
??? 說實在，現(xiàn)在流行的“壓軸題”真是難為我們的學生了。從今年各區(qū)的統(tǒng)考試卷看，有的壓軸題的綜合度太大，以致命題者自己在“參考答案”中表達解題過程都要用去A4紙一頁還多。為了應付中考壓軸題，有的題拔高了對數(shù)學思想方法的考查要求，如有道題，（2）、（3）兩題都要分好幾種情況進行“分類討論”，初中階段只要求學生初步領(lǐng)會基本的數(shù)學思想方法。因此在中考中也只能在考查基礎知識、基本技能和基本方法中有所滲透和體現(xiàn)而已，希望命題者手下留情，不要再打“擦邊球”，搞“深挖洞”了。更希望今年中考數(shù)學卷能夠控制住最后兩題的難度，不要再“雙壓軸”了。
??? 對一些在區(qū)統(tǒng)考時，“壓軸題”面前打了“敗仗”的同學，我勸你們振奮起精神來，不要因為這次統(tǒng)考，壓軸題不會做或得分過低而垂頭喪氣，提高信心和勇氣是第一位的。你們要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，更加重視基礎，努力做到把會做的題，做對做好，以此盡力挽回壓軸題的失分，你一定會在中考中取得好成績的，預祝你中考成功！
2009年全國中考數(shù)學壓軸題精選精析（一）
1.（09年安徽）23．已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示．
（1）請說明圖中①、②兩段函數(shù)圖象的實際意義．
【解】
[來源:Zxxk.Com]
（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的
函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什
么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．
【解】
（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函
數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果，
且當日零售價不變，請你幫助該經(jīng)銷商設計進貨和銷售的方案，
使得當日獲得的利潤最大．
【解】
（09年安徽23題解析）（1）解：圖①表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，
可按5元/kg批發(fā)；……3分
圖②表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā)．
………………………………………………………………3分
（2）解：由題意得：，函數(shù)圖象如圖所示．
………………………………………………………………7分
由圖可知資金金額滿足240＜w≤300時，以同樣的資金可
批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．……………………………8分
（3）解法一：
設當日零售價為x元，由圖可得日最高銷量
當m＞60時，x＜6.5
由題意，銷售利潤為
………………………………12分
當x＝6時，，此時m＝80
即經(jīng)銷商應批發(fā)80kg該種水果，日零售價定為6元/kg，
當日可獲得最大利潤160元．……………………………………………14分
解法二：
設日最高銷售量為xkg（x＞60）
則由圖②日零售價p滿足：，于是
銷售利潤………………………12分
當x＝80時，，此時p＝6
即經(jīng)銷商應批發(fā)80kg該種水果，日零售價定為6元/kg，
當日可獲得最大利潤160元．……………………………………………14分
2.（09年福建龍巖）26．（14分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點D（5，2），連結(jié)BC、AD.
（1）求C點的坐標及拋物線的解析式；
（2）將△BCH繞點B按順時針旋轉(zhuǎn)90°后 再沿x軸對折得到
△BEF（點C與點E對應），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；
（3）設過點E的直線交AB邊于點P，交CD邊于點Q. 問是否存在點P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.
（09年福建龍巖26題解析）解：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分
∴ 解得
∴拋物線的解析式為： …… 4分
（2）點E落在拋物線上. 理由如下：……… 5分
由y = 0，得.
解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. …………………………… 6分
∴OA=4，OB=1.
由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋轉(zhuǎn)、軸對稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴點E的坐標為（3，－1）. ……………………………………………… 7分
把x=3代入，得，
∴點E在拋物線上. ………………………………………………………… 8分
（3）法一：存在點P（a，0），延長EF交CD于點G，易求OF=CG=3，PB=a－1.
S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，記S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，

下面分兩種情形：
①當S1∶S2 =1∶3時，，
此時點P在點F（3，0）的左側(cè)，則PF = 3－a，
由△EPF∽△EQG，得，則QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
由S1=2，得，解得；………………… 11分
②當S1∶S2=3∶1時，
此時點P在點F（3，0）的右側(cè)，則PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，
由S1= 6，得，解得.
綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）……… 14分
法二：存在點P（a，0）. 記S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.
當PQ經(jīng)過點F（3，0）時，易求S1=5，S2 = 3，
此時S1∶S2不符合條件，故a≠3.
設直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 10分
∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.
下面分兩種情形：
①當S1∶S2 = 1∶3時，= 2；
∴4a－7 = 2，解得；…………………………………………… 12分
②當S1∶S2 = 3∶1時，；
∴4a－7 = 6，解得；[來源:學#科#網(wǎng)]
綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）………… 14分
[說明：對于第（3）小題，只要考生能求出或兩個答案，就給6分. ]
3.（09年福建寧德）26．（本題滿分13分）如圖，已知拋物線C1：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求P點坐標及a的值；（4分）
（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關(guān)于點B成中心對稱時，求C3的解析式；（4分）
（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．（5分）
（09年福建寧德26題解析）解：（1）由拋物線C1：得
頂點P的為（-2，-5） ………2分
∵點B（1，0）在拋物線C1上
∴
解得，a＝ ………4分
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G
∵點P、M關(guān)于點B成中心對稱
∴PM過點B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴頂點M的坐標為（4，5） ………6分
拋物線C2由C1關(guān)于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到
∴拋物線C3的表達式為 ………8分
（3）∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到
∴頂點N、P關(guān)于點Q成中心對稱
由（2）得點N的縱坐標為5
設點N坐標為（m，5） ………9分
作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G
作PK⊥NG于K
∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，點F坐標為（m+3，0）
H坐標為（2，0），K坐標為（m，-5），
根據(jù)勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34 ………10分
①當∠PNF＝90o時，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q點坐標為（，0）
②當∠PFN＝90o時，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q點坐標為（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
綜上所得，當Q點坐標為（，0）或（，0）時，以點P、N、F為頂點
的三角形是直角三角形． ………13分
4.（09年福建莆田）25．（14分）已知，如圖1，過點作平行于軸的直線，拋物線上的兩點的橫坐標分別為1和4，直線交軸于點，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．
（1）求點的坐標；
（2）求證：；
（3）點是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上的一動點，過點作交軸于點，是否存在點使得與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
（09年福建莆田25題解析）25．（1）解:方法一，如圖1，當時,
當時,
∴ 1分
2分
設直線的解析式為 3分
則　　　解得
∴直線的解析式為 4分
當時,
5分
方法二:求兩點坐標同方法一,如圖2,作,,垂足分別為、,交軸于點,則四邊形和四邊形均為矩形,設 3分
4分
解得
5分
(2)證明：方法一：在中，
6分
在中，
由（1）得
7分
8分
方法二：由 （1）知
6分
同理：[來源:Z|xx|k.Com]
7分
同理：
即 8分
（3）存在.
解：如圖3，作軸，垂足為點 9分
又[來源:學科網(wǎng)]
10分
設，則
①當時，
11分
解得
12分
②當時，
13分
解得
綜上，存在點、使得與相似. 14分
5.（09年福建泉州）28．（13分）在直角坐標系中，點A（5，0）關(guān)于原點O的對稱點為點C.
(1)請直接寫出點C的坐標；
（2）若點B在第一象限內(nèi)，∠OAB=∠OBA，并且點B關(guān)于原點O的對稱點為點D.
①試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
②現(xiàn)有一動點P從B點出發(fā)，沿路線BA—AD以每秒1個單位長的速度向終點D運動，另一動點Q從A點同時出發(fā)，沿AC方向以每秒0.4個單位長的速度向終點C運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動.已知AB=6，設點P、Q的運動時間為t秒，在運動過程中，當動點Q在以PA為直徑的圓上時，試求t的值.
（09年福建泉州28題解析）28.（本小題13分）
解:（1）C（-5，0）………………………（3分）
（2）①四邊形ABCD為矩形，理由如下：
如圖，由已知可得：A、O、C在同一直線上，且 OA=OC；B、O、D在同一直線上，且OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.…………………………………（5分）
∵∠OAB=∠OBA∴OA=OB,即AC=2OA=2OB=BD
∴四邊形ABCD是矩形.…………………（7分）
②如圖，由①得四邊形ABCD是矩形
∴∠CBA=∠ADC=90°……………（8分）
又AB=CD=6，AC=10
∴由勾股定理，得BC=AD=
==8…………………………………（9分）
∵，，∴0≤t≤14.……………………（10分）
當0≤t≤6時，P點在AB上，連結(jié)PQ.
∵AP是直徑，∴∠PQA=90°…………………………………（11分）[來源:Z,xx,k.Com]
又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB
∴，即,解得t=3.6…………………………（12分）
當6＜t≤14時，P點在AD上，連結(jié)PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴，即t-6,解得t=12.
綜上所述，當動點Q在以PA為直徑的圓上時，t的值為3.6或12.……（13分）
6.（09年福建廈門）26．(11分)已知二次函數(shù)y＝x2－x＋c．
(1)若點A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函數(shù)y＝x2－x＋c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值；
(2)若點D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函數(shù)y＝x2－x＋c的圖象上，且D、E兩點關(guān)于坐標原點成中心對稱，連接OP．當2≤OP≤2＋時，試判斷直線DE與拋物線y＝x2－x＋c＋的交點個數(shù)，并說明理由．
（09年福建廈門26題解析） (1)解：法1：由題意得
 ……1分
解得 ……2分
法2：∵ 拋物線y＝x2－x＋c的對稱軸是x＝，
且 －(－1) ＝2－，∴ A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱.
∴ n＝2n－1 ……1分
∴ n＝1，c＝－1. ……2分
∴ 有 y＝x2－x－1 ……3分
＝(x－)2－.
∴ 二次函數(shù)y＝x2－x－1的最小值是－. ……4分
(2)解：∵ 點P(m，m)(m＞0)，
∴ PO＝m.
∴ 2≤m ≤＋2.
∴ 2≤m≤1＋. ……5分
法1： ∵ 點P(m，m)(m＞0)在二次函數(shù)y＝x2－x＋c的圖象上，
∴ m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋2m.
∵ 開口向下，且對稱軸m＝1，
∴ 當2≤m≤1＋ 時，
有 －1≤c≤0. ……6分
法2：∵ 2≤m≤1＋，
∴ 1≤m－1≤.
∴ 1≤(m－1)2≤2.
∵ 點P(m，m)(m＞0)在二次函數(shù)y＝x2－x＋c的圖象上，
∴ m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2.
∴ 1≤1－c≤2.
∴ －1≤c≤0. ……6分
∵ 點D、E關(guān)于原點成中心對稱，
法1： ∴ x2＝－x1，y2＝－y1.
∴ 
∴ 2y1＝－2x1， y1＝－x1.
設直線DE：y＝kx.
有 －x1＝kx1.
由題意，存在x1≠x2.
∴ 存在x1，使x1≠0. ……7分
∴ k＝－1.
∴ 直線DE： y＝－x. ……8分
法2：設直線DE：y＝kx.
則根據(jù)題意有 kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1) x＋c＝0.
∵ －1≤c≤0，
∴ (k＋1)2－4c≥0.
∴ 方程x2－(k＋1) x＋c＝0有實數(shù)根. ……7分
∵ x1＋x2＝0，
∴ k＋1＝0.
∴ k＝－1.
∴ 直線DE： y＝－x. ……8分
若 則有 x2＋c＋＝0.即 x2＝－c－.
① 當 －c－＝0時，即c＝－時，方程x2＝－c－有相同的實數(shù)根，
即直線y＝－x與拋物線y＝x2－x＋c＋有唯一交點. ……9分
② 當 －c－＞0時，即c＜－時，即－1≤c＜－時，
方程x2＝－c－有兩個不同實數(shù)根，
即直線y＝－x與拋物線y＝x2－x＋c＋有兩個不同的交點. ……10分
③ 當 －c－＜0時，即c＞－時，即－＜c≤0時，
方程x2＝－c－沒有實數(shù)根，
即直線y＝－x與拋物線y＝x2－x＋c＋沒有交點. ……11分
7.（09年福建福州）22．（滿分14分）
已知直線l：y=－x+m（m≠0）交x軸、y軸于A、B兩點，點C、M分別在
線段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，連接MC，將△ACM繞點M
旋轉(zhuǎn)180°，得到△FEM，則點E在y軸上, 點F在直線l上;取線段EO中
點N,將ACM沿MN所在直線翻折，得到△PMG，其中P與A為對稱點.記：
過點F的雙曲線為，過點M且以B為頂點的拋物線為，過點P且以M
為頂點的拋物線為.
(1) 如圖10，當m=6時，①直接寫出點M、F的坐標，
②求、的函數(shù)解析式；
（2）當m發(fā)生變化時， ①在的每一支上，y隨x的增大如何變化？請說明理由。
②若、中的y都隨著x的增大而減小,寫出x的取值范圍。
（09年福建福州22題解析）解：（１）①點Ｍ的坐標為（２，４），點Ｆ的坐標為（－２，８）．……………………2分
設的函數(shù)解析式為（．
　　　　∵過點Ｆ（－２，８）
　　　　∴的函數(shù)解析式為．
∵的頂點Ｂ的坐標是（０，６）
∴設的函數(shù)解析式為．
∵過點M（2，4）
∴
．
∴的函數(shù)解析式為．……………………6分
（2）依題意得，A（m，０），B（０，m），
∴點Ｍ坐標為（），點Ｆ坐標為（，）．
①設的函數(shù)解析式為（．[來源:Z。xx。k.Com]
∵過點Ｆ（，）
∴．
∵
∴
∴在的每一支上，y隨著x的增大而增大．
②答：當＞０時，滿足題意的x的取值范圍為 0＜x＜；
當＜０時，滿足題意的x的取值范圍為＜x＜０．…………14分
8.（09年甘肅定西）28．如圖14（1），拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，）．［圖14（2）、圖14（3）為解答備用圖］
（1）　　　　　，點A的坐標為　　　　　　，點B的坐標為　　　　　；
（2）設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在拋物線上求點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．
（09年甘肅定西28題解析）解：（1）， 1分
A（-1，0）， 2分
B（3，0）． 3分
（2）如圖14（1），拋物線的頂點為M（1，-4），連結(jié)OM．
4分
則 △AOC的面積=，△MOC的面積=，
△MOB的面積=6， 5分
∴ 四邊形 ABMC的面積
=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9． 6分
說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面
積轉(zhuǎn)化為求1個梯形與2個直角三角形面積的和．
（3）如圖14（2），設D（m，），連結(jié)OD．
則 0＜m＜3， ＜0．
且 △AOC的面積=，△DOC的面積=，
△DOB的面積=-（）， 8分
∴ 四邊形 ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積
=[來源:Z+xx+k.Com]
=． 9分
∴ 存在點D，使四邊形ABDC的面積最大為． 10分
（4）有兩種情況：
如圖14（3），過點B作BQ1⊥BC，交拋物線于點Q1、交y軸于點E，連接Q1C．
∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴ 點E的坐標為（0，3）．
∴ 直線BE的解析式為． 12分
由 解得
∴ 點Q1的坐標為（-2，5）． 13分[來源:學。科。網(wǎng)Z。X。X。K]
如圖14（4），過點C作CF⊥CB，交拋物線于點Q2、交x軸于點F，連接BQ2．
∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴ 點F的坐標為（-3，0）．
∴ 直線CF的解析式為． 14分
由 解得
∴點Q2的坐標為（1，-4）． 15分
綜上，在拋物線上存在點Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形． 16分
說明：如圖14（4），點Q2即拋物線頂點M，直接證明△BCM為直角三角形同樣得2分．
9.（09年甘肅蘭州）29.（本題滿分9分）如圖①，正方形 ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），
點C在第一象限．動點P在正方形 ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運動，
同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，
設運動的時間為t秒．[來源:學科網(wǎng)ZXXK][來源:Zxxk.Com]
(1)當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標（長度單位）關(guān)于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；
(2)求正方形邊長及頂點C的坐標；
(3)在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；
(4)如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．
（09年甘肅蘭州29題解析）解：（1）（1，0） 1分
點P運動速度每秒鐘1個單位長度． 2分
（2） 過點作BF⊥y軸于點，⊥軸于點，則＝8，．
∴．
在Rt△AFB中， 3分
過點作⊥軸于點，與的延長線交于點．
∵ ∴△ABF≌△BCH．
∴．
∴．
∴所求C點的坐標為（14，12）． 4分
（3） 過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥軸于點N，
則△APM∽△ABF．
∴． ．
∴． ∴．
設△OPQ的面積為（平方單位）
∴（0≤≤10） 5分
說明:未注明自變量的取值范圍不扣分．
∵<0 ∴當時， △OPQ的面積最大． 6分
此時P的坐標為（，） ． 7分
（4） 當 或時， OP與PQ相等． 9分
對一個加1分，不需寫求解過程．
10.（09年甘肅慶陽）29．（12分）如圖18，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（，0），點B在拋物線上．
（1）點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；
（2）拋物線的關(guān)系式為 ；
（3）設（2）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；
（4）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達的位置．請判斷點、是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．
（09年甘肅慶陽29題解析）解： （1）A（0，2）， B（，1）． 2分
（2）． 3分
（3）如圖1，可求得拋物線的頂點D（）． 4分
設直線BD的關(guān)系式為， 將點B、D的坐標代入，求得，，
∴ BD的關(guān)系式為． 5分
設直線BD和x 軸交點為E，則點E（，0），CE=．
∴ △DBC的面積為． 7分
[來源:Z。xx。k.Com]
（4）如圖2，過點作軸于點M，過點B作軸于點N，過點作軸于點P． 8分
[來源:學|科|網(wǎng)]
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN． 9分
∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1，）． 10分
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點C′（2，1）； 11分
將點B′、C′的坐標代入，可知點B′、C′在拋物線上． 12分
（事實上，點P與點N重合）
11.（09年廣東佛山）25．一般地，學習幾何要從作圖開始，再觀察圖形，根據(jù)圖形的某一類共同特征對圖形進行分類（即給一類圖形下定義——定義概念便于歸類、交流與表達），然后繼續(xù)研究圖形的其它特征、判定方法以及圖形的組合、圖形之間的關(guān)系、圖形的計算等問題. 課本里對四邊形的研究即遵循著上面的思路．
當然，在學習幾何的不同階段，可能研究的是幾何的部分問題．比如有下面的問題，請你研究．
已知：四邊形中，，且．
（1）借助網(wǎng)格畫出四邊形所有可能的形狀；
（2）簡要說明在什么情況下四邊形具有所畫的形狀．
（09年廣東佛山25題解析）（1）四邊形可能的形狀有三類：圖“矩形”、圖“等腰梯形”、圖的“四邊形”．
注1：畫出“矩形”或“等腰梯形”，各給1分；畫出另一類圖形（后兩種可以看作一類），給2分；
等腰梯形不單獨畫而在后兩種圖中反映的，不扣分；畫圖順序不同但答案正確不扣分．
注2：如果在類似圖或圖④的圖中畫出凹四邊形，同樣給分（兩種都畫，只給一種的分）．
(2) （i）若是直角（圖），則四邊形為等腰梯形； 6分
（ii）若是銳角（圖），存在兩個點和，得到等腰梯形和符合條件但不是梯形的四邊形； 8分
其中，若是直角（圖），則四邊形為矩形． 9分
（iii）若是鈍角（圖④），存在兩個點和，得到等腰梯形和符合條件但不是梯形的四邊形； 11分
注：可用與或者與是否相等分類；只畫矩形和等腰梯形并進行說明可給4分．
12.（09年廣東廣州）25．（本小題滿分14分）
如圖13，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，的面積為．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）過軸上的一點作軸的垂線，若該垂線與的外接圓有公共點，求的取值范圍；
（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點，使四邊形為直角梯形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
（09年廣東廣州25題解析）解：（1）設點，，其中．
∵拋物線過點，
∴．
∴．
∴．
∵拋物線與軸交于兩點，
∴是方程的兩個實根．
求的值給出以下兩種方法：
方法1：由韋達定理得：．
∵的面積為，
∴，即．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
解得．
∵，
∴．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為．
方法2：由求根公式得，．
．
∵的面積為，
∴，即．
∴．
∴．
解得．
∵，
∴．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為．
（2）令，解得．
∴，．
在中，，
在中，，
∵，
∴．
∴．
∴是直角三角形．
∴的外接圓的圓心是斜邊的中點．
∴的外接圓的半徑．
∵垂線與的外接圓有公共點，
∴．
（3）假設在二次函數(shù)的圖象上存在點，使得四邊形是直角梯形．
①若，設點的坐標為，，
過作軸，垂足為，如圖1所示．
求點的坐標給出以下兩種方法：
方法1：在中，
，
在中，，
∵，
∴．
∴．
．
解得或．
∵，
∴，此時點的坐標為．
而，因此當時在拋物線上存在點，使得四邊形是直角梯形．
方法2：在與中，，
∴．
∴．
∴．
以下同方法1．
②若，設點的坐標為，，
過作軸，垂足為，如圖2所示．
在中，，
在中，，
∵，
∴．
∴．
．
解得或．
∵，
∴，此時點的坐標為．
此時，因此當時，在拋物線上存在點，使得四邊形是直角梯形．
綜上所述，在拋物線上存在點，使得四邊形是直角梯形，并且點的坐標為或．

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