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高考數列求和題解析
泰州市第三高級中學 曹武軍
數列求和是數列的重要內容，也是高考的重點考察對象。本文歸納近幾年高考求數列{an}前n項和的常用方法，供同學們參考。
一、直接求和法
等差數列和等比數列求和均可直接利用求和公式。
例1 （2009年湖南卷文）設是等差數列的前n項和，已知，，則等于【 C 】
A．13 B．35 C．49 D． 63
解: 故選C.
或由,
所以故選C.
例2 （2009 年寧夏海南卷文）等比數列{}的公比, 已知=1，，則{}的前4項和= .
【答案】
解：由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。
二、分組求和法
某些數列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，可采用分組分別求和的方法。
例3 （2008年浙江文）已知數列的首項，通項（為常數），且成等差數列，求：
（Ⅰ）的值； （Ⅱ）數列的前項的和的公式。
解：（Ⅰ）由
Ⅱ
p=1,q=1
(Ⅱ)
例4 （2007年浙江文19）已知數列{}中的相鄰兩項、是關于x的方程 的兩個根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．
(I)求及 (n≥4)(不必證明)；
(Ⅱ)求數列{}的前2n項和S2n．
解：(I) 方程的兩個根為．
當k＝1時，，所以；
當k＝2時，，所以；
當k＝3時，，所以；
當k＝4時，，所以；
因為n≥4時，，所以
（Ⅱ）＝．
三、倒序相加法
等差數列的前項和的求法就是采用這種辦法，即一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把原數列和倒寫后的數列對應項相加可以求得原數列的前項和。
例5（2003年上海春招高考題）設函數，利用課本中推導等差數列前項和公式的方法，可求得的值為 .
解析 此題利用類比課本中推導等差數列前項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算： ，
，
，
發現正好是一個定值， ，.
四、錯位相減法
若數列{an}{bn}分別為等差數列和等比數列，求數列{an·bn}的前n項和就可以用這一方法。
例6 （2007年山東理17）設數列滿足，．
（Ⅰ）求數列的通項；
（Ⅱ）設，求數列的前項和．
解：(I)
驗證時也滿足上式，
(II) ，


，

例7 (2008年陜西文)已知數列的首項，，…．
（Ⅰ）證明：數列是等比數列；
（Ⅱ）數列的前項和．
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
數列是以為首項，為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
設…， ①
則…，②
由①②得
…，
．又…．
數列的前項和 ．
此外還有一些數列求和方法，比如裂項相消法、待定系數法、數學歸納法等等，相應的技巧也應重視。

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