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閔行六校2024-2025學年第二學期高一年級數學期末
2025.6
一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）
1．函數的最小正周期是 ．
2．已知，且是第二象限角，則的值是 ．
3．已知向量，則的單位向量的坐標為 ．
4．已知等比數列滿足，則數列的通項公式 ．
5．已知，且在上的數量投影為-2，則 ．
6．已知復數是實系數二次方程的一根，則 ．
7．若復數滿足，則的最小值是 ．
8．已知向量，若與的夾角是銳角，則實數的取值范圍是 ．
9．如果滿足的有且只有一個，那么實數的取值范圍是 ．
10．如圖，在中，是上的兩個三等分點，，則的值為 ．
11．已知，且函數在區間上是單調函數，則的值為 ．
12．高斯被認為是歷史上最重上的數學家之一．在求1到100這100個自然數的和時，10歲的高斯是這樣算的：，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，教材中推導等差數列前項和的方法正是借助了高斯算法．已知等比數列的各項均為正數，且公比不等于，試根據提示探究：若，則 ．
二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）
13．已知角終邊上一點，若，則實數的值為（ ）.
A．1 B．2 C． D．
14．設數列是以為公差的等差數列，是其前項和，，且，則下列結論錯誤的是（ ）.
A． B． C． D．或為的最大值15．利用數學歸納法證明不等式的過程中，由到時，左邊增加了（ ）.
A．項 B．項 C．項 D．1項
16．在平面直角坐標系中，可以用有序實數對表示向量．類似的，可以把有序復數對看作一個向量，記，則稱為復向量．類比平面向量的相關運算法則，對于，規定如下運算法則：
①；
②；
③；
④．
則下列結論錯誤的是（ ）.
A．若，則 B．若，則
C． D．
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．
17．（本題滿分14分）（第一小題7分，第二小題7分）
已知．設．
（1）若三點共線，求的值；
（2）若，求的值．
18．（本題滿分14分）（第一小題6分，第二小題8分）
已知復數，其中i是虛數單位，．
（1）若為純虛數，求的值；
（2）若，求的虛部．
19.（本題滿分14分）（第一小題6分，第二小題8分）
的內角的對邊分別為，已知．
（1）求的大小；
（2）若面積為，外接圓面積為，求周長．
20.（本題滿分18分）（第一小題4分，第二小題6分，第三小題8分）
已知函數的最小正周期為，且其圖像的一個對稱軸為，將函數圖像上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像．
（1）求的解析式；
（2）求函數在區間上的零點；
（3）對于任意的實數，記函數在區間上的最大值為，最小值為，求函數在區間上的最大值．
21.（本題滿分18分）（第一小題4分，第二小題6分，第三小題8分）
已知數列的前項和為，且，數列滿足．
（1）證明：為等差數列；
（2）求數列的前項和；
（3）若不等式對都成立，求的最大值．
參考答案
一、填空題
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知，且函數在區間上是單調函數，則的值為 ．
【答案】
【解析】因為，
由，可得關于成中心對稱，
即為的一個對稱中心，又，所以，
即又函數在區間上是單調函數，
所以，解得，所以或或，
當時，由，所以因為在上不單調，所以在上不單調，故舍去；
當時，由，所以因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，符合題意；
當時，由，所以,因為在上不單調，所以在上不單調，故舍去；
綜上可得．故答案為：5．
12．高斯被認為是歷史上最重上的數學家之一．在求1到100這100個自然數的和時，10歲的高斯是這樣算的：，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，教材中推導等差數列前項和的方法正是借助了高斯算法．已知等比數列的各項均為正數，且公比不等于，試根據提示探究：若，則 ．
【答案】
【解析】由，則，則
因為，由等比數列的性質可知，
所以上式，故答案為：1012
二、選擇題
13.C 14.C 15.B 16.C
15．利用數學歸納法證明不等式的過程中，由到時，左邊增加了（ ）.
A．項 B．項 C．項 D．1項
【答案】B
【解析】由題意，時，不等式左邊，最后一項為，
時，不等式左邊，最后一項為，
∴由變到時，左邊增加了項．故答案為：．
16．在平面直角坐標系中，可以用有序實數對表示向量．類似的，可以把有序復數對看作一個向量，記，則稱為復向量．類比平面向量的相關運算法則，對于，規定如下運算法則：
①； ②；
③； ④．則下列結論錯誤的是（ ）.
A．若，則 B．若，則
C． D．
【答案】C
【解析】對于，，故正確；
對于，若，則∴，故正確；
對于，而誤兩者不一定相等，故錯誤；
對于，設，則將，代入可得：
，故正確．
故選C.
三、解答題
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.（本題滿分18分）（第一小題4分，第二小題6分，第三小題8分）
已知函數的最小正周期為，且其圖像的一個對稱軸為，將函數圖像上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像．
（1）求的解析式；
（2）求函數在區間上的零點；
（3）對于任意的實數，記函數在區間上的最大值為，最小值為，求函數在區間上的最大值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由的最小正周期，可得：
令，則
所以函數的圖象對稱軸為：，
因為為的一個對稱軸，所以，解得：，
又因為，所以，則函數的解析式為：，
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的倍，可得到，
再將圖象向左平移個單位長度，可得到
令，即，化簡得，
解得或，由于，所以當時，，
當時，或，
所以函數在區間上的零點為．
（3）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，由于，所以，
此時;當時，函數在上單調遞增，
在上單調遞減，所以，
由于，所以,
此時；當時，函數在上單調遞減，
所以，,此時；
綜上，，
當時，函數單調遞減，則；
當時，函數單調遞增，則；
當時，函數,則；
綜上，函數在區間上的最大值為．
21.（本題滿分18分）（第一小題4分，第二小題6分，第三小題8分）
已知數列的前項和為，且，數列滿足．
（1）證明：為等差數列；
（2）求數列的前項和；
（3）若不等式對都成立，求的最大值．
【答案】（1）證明見解析 （2） （3）
【解析】（1）證明：因為，
當時，，則，
當時，，則，即，又，因此是以2為首項，公差為1的等差數列．
（2）由（1）得，則，
①
則②
①-②得：
所以；
（3），不等式
即，
對任意正整數都成立，
令
則
則1，數列是遞增數列，
因此，即，所以實數的最大值為．

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