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2024-2025學年貴州省六盤水市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設集合，，則( )
A. B. C. D.
2.若，則( )
A. B. C. D.
3.復數滿足，則( )
A. B. C. D.
4.已知向量，滿足，，，則( )
A. B. C. D.
5.已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
6.已知函數，若，則( )
A. B. C. D.
7.將輛車停放到個并排車位上，由于甲車的車體較寬，停放時需要占兩個車位，并且乙車與甲車相鄰停放，則不同的停放方法種數為( )
A. B. C. D.
8.已知數列滿足，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知直線，和平面，，下列說法中正確的是( )
A. 若，，則 B. 若，，，則
C. 若，，則 D. 若，，，則
10.下列說法中正確的是( )
A. 樣本數據，，，，，，，的下四分位數為
B. 的展開式中所有項的系數和與二項式系數和相等
C. 已知隨機變量，若，則
D. 成對樣本數據的線性相關程度越強，則樣本相關系數的值越接近于
11.定義在區間上的函數滿足，，且對任意的，都有，則( )
A.
B.
C. 不等式在區間上恒成立
D. 若，都有，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.記等差數列的前項和為，已知，，則的公差為______．
13.橢圓規是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定滑塊，，它們可分別在橫槽和縱槽中滑動，在直尺上的點處用套管裝上鉛筆，使直尺轉動一周就畫出一個橢圓現以橫槽和縱槽所在直線分別為軸和軸建立直角坐標系，若，是的中點，則的軌跡方程為______．
14.理想狀態下，在一個底面直徑和高均為的圓柱形石材中，挖去一個半徑為的球體后，剩余石材最多還能打磨出______個體積最大的小球參考數據：
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
為了解高中學生數學成績與物理成績的關聯性，現從某高中學校抽取人，得到如下信息：數學成績與物理成績都優秀的有人，都不優秀的有人．
依據上述信息完善如表列聯表，并根據小概率的獨立性檢驗，能否認為數學成績與物理成績有關聯；
數學成績 物理成績 合計
優秀 不優秀
優秀
不優秀
合計
從數學成績優秀的學生中，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取人，若從這人中隨機抽人、記為物理成績優秀的學生人數，求的分布列及數學期望．
附：，．
16.本小題分
設函數．
求的定義域，并證明：；
討論的單調性，并比較與的大小．
17.本小題分
如圖，在長方體中，，，，分別在，上，且．
求證：平面平面；
若是的中點，三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
18.本小題分
在中，記內角，，所對的邊分別為，，，已知且．
求；
求的最大值；
若的角平分線交于點，求的取值范圍．
19.本小題分
如圖，拋物線：上縱坐標為的點到焦點的距離為，點，是上的兩點，且．
求的方程；
過線段的中點作軸的垂線交于點，過線段的中點作軸的垂線交于點，過線段的中點作軸的垂線交于點，，依此操作次，記的面積為．
求的面積；
證明：．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因為數學成績與物理成績都優秀的有人，都不優秀的有人，
補全列聯表如下：
數學成績 物理成績 合計
優秀 不優秀
優秀
不優秀
合計
零假設：數學成績與物理成績無關聯，
此時，
所以根據小概率的獨立性檢驗，沒有充分依據推斷成立，即推斷不成立，
則根據小概率的獨立性檢驗，認為數學成績與物理成績有關聯；
由可得從數學成績優秀的學生中，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取人，
此時物理成績優秀的學生有人，物理成績不優秀的有人，
所以的所有可能取值為，，，
此時，
則的分布列為：
故．
16.證明：由于中，中，綜合可得得定義域為，
；
由于函數，
令導函數，即，因此，所以，
當時，，，，所以，因此導函數，
當時，，，，所以，因此導函數，
所以函數在上單調遞增；在上單調遞減，
由于，且函數在上單調遞增．
所以，又因為，所以，所以．
17.證明：如圖，以點為坐標原點，直線，，所在方向分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，
因為，所以，
因為平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面面C.
因為，
所以，
解得，
所以，，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，則，即，
令，得，
所以，
易得平面的一個法向量，
設平面與平面的夾角為，
則．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18.解：由，
由正弦定理得，，
所以，而，
所以．
由，，
所以，
當且僅當時取等號．
所以，
所以的最大值為．
，即，
所以，
由，得，
所以，
由，令
設，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，
所以的取值范圍為．
19.易知拋物線的準線為，
因為拋物線上縱坐標為的點到焦點的距離為，
所以，
解得，
即拋物線方程為；
由得拋物線方程為，
即，
即，，
則，
即點的橫坐標為，縱坐標為，
可得，
所以，
則三角形面積；
證明：設，與線段的交點為，
則，，
即，，
又，
即，，
則數列是以為首項，為公比的等比數列，
即，
則，
可得，
又．
則．
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