資源簡介

2024-2025學年山東省德州市高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設復數，則( )
A. B. C. D.
2.已知是角終邊上一點，則( )
A. B. C. D.
3.在某次模擬考試后，數學老師隨機抽取了名同學的第一個解答題的得分，得分為：，，，，，，，，閱這組數據的分位數是( )
A. B. C. D.
4.在正方體中，，分別是，的中點，則直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
5.已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題中正確的是( )
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
6.某次物理競賽，得分在的有人，他們的平均分為，方差為得分在的有人，他們的平均分為，方差為，則得分在的平均分與方差為( )
參考公式：總體分為層，各層抽取的樣本量、樣本平均數和樣本方差分別為：
記總的樣本平均數為，樣本方差為，則．
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.若，則( )
A. B. C. D.
8.已知一個圓錐的側面展開圖是個半圓，利用斜二測畫法畫此圓錐時，直觀圖的底面曲線中心在原點，底面曲線與軸、軸正半軸分別交于，兩點，已知面積為若圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個底面半徑為的圓錐，則所得圓臺的體積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數的部分圖象如圖所示，則( )
A.
B.
C. 關于點對稱
D. 的一條對稱軸為直線
10.復數其中為虛數單位，，則( )
A.
B. 的最大值為
C. 當時，復數對應的點在第四象限
D. 當時，是實系數方程的一個虛數根，則
11.如圖，在棱長為的正方體中，，，分別是，，的中點，是線段上的動點，是線段上的動點，則( )
A. 存在點，使平面
B. 與為異面直線
C. 線段的最小值是
D. 經過，，，四點的球的表面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，，，若，則實數______．
13.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，先投中者獲勝，一直到有人獲勝或者每人都已投球次時投籃結束設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響若甲先投，則甲獲勝的概率為______．
14.已知中，，，將頂點繞棱旋轉到，當時，三棱錐的體積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
某中學為研究本校高一學生在市聯考中的數學成績，隨機抽取了位同學的數學成績作為樣本，得到以，，，，，分組的樣本頻率分布直方圖，如圖所示．
求直方圖中的值，并估計本次聯考該校數學成績的中位數；
現在從分數在和的學生中采用分層隨機抽樣的方法共抽取人，再從這人中隨機抽取人，求抽取的兩人恰好一人分數在內，另一人分數在內的概率．
16.本小題分
如圖在三棱錐中，底面，，，，是的中點．
求三棱錐的表面積；
求二面角的平面角的正弦值．
17.本小題分
已知直三棱柱，，，分別是邊，的中點．
證明：平面；
若三棱錐體積為，且，設與平面形成的線面角為，求的最大值．
18.本小題分
在中，角，，所對的邊分別為，，，，，．
求；
已知，．
若，求的值；
若為的外接圓的圓心，且，求的面積．
19.本小題分
甲、乙兩人玩擲骰子游戲，由甲先擲一次骰子，記向上的點數為，接下來甲有種選擇：
甲直接結束擲骰子，換由乙擲骰子一次，向上的點數記為，若，則乙贏，否則甲羸，游戲結束；
甲再擲一次骰子，向上的點數記為，若，則乙贏，游戲結束；
若，甲結束擲骰子，換由乙擲骰子一次，向上的點數記為，若，則乙贏，否則甲贏，游戲結束．
問：若甲只擲骰子次，求甲贏的概率；
若甲擲骰子次，求甲贏的概率；
當甲第一次擲骰子向上的點數為多少時，甲選擇贏得游戲的概率更大？
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由頻率分布直方圖可得，
解得，
本次聯考該校數學成績在的頻率為，
在的頻率為，
在的頻率為，
因為，，
所以中位數在之間，設為，
則，
解得，
所以本次聯考該校數學成績的中位數為；
成績在的人數與成績在的頻率的人數之比為：，
抽取的人中成績在的有人，成績在的頻率的有人，
假設成績在的人分別記為，，成績在的人分別記為，，，隨機抽取兩人的樣本空間為：
，，，，，，共個，
兩人中恰好一人分數在內，另一人在內包含：
共個，
所以．
16.因為平面，平面，
，
所以，
又因為，，，面，
所以面．
又面，所以，
又因為平面，平面，
故，
即，
所以，
所以，，
所以三棱錐的表面積；
取中點，取中點，連接，，．
由知，
因為是的中點，
所以在中，，
又，
在中，，
所以，
所以，
又因為，，
所以，
又因為面面，
所以為二面角的平面角．
在中，，
所以．
即二面角的平面角的正弦值為．
17.證明：取中點，連接，，
則為中位線，
所以，
又，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面；
由題可知，，．
所以面，
因為三棱錐即三棱錐，
所以，
所以，即，
連接，則為與平面所成的角，且，
，
由均值不等式，
所以，當且僅當時等式成立，
故的最大值為．
18.根據題意可知，，得，
，
根據正弦定理得，
故，
，
，，，整理得，
又，；
根據題意可知，，則，
得，
，，，即，
，
即，
根據題意可知，，根據三角形面積公式，則，從而，
；
令邊，的中點分別為，，根據題意可知，點為的外接圓圓心，
得，，
，
，
，
即，
又，
聯立方程組，解得舍或，
．
19.如果甲只擲骰子次，甲贏的情況如下，
如果甲擲出向上的點數為，乙擲出向上的點數為，此時有種情況，
如果甲擲出向上的點數為，乙擲出向上的點數為、，此時有種情況，
如果甲擲出向上的數點為，乙擲出向上的點數為、、，此時有種情況，
依此類推，甲贏的情況共有種，
根據古典概型概率公式，
將，代入公式，可得甲贏的概率，
綜上，如果甲只擲骰子次，甲贏的概率為；
如果甲擲骰子次，甲贏的情況如下，
甲第次擲骰子向上的點數為，
如果第次擲骰子向上的點數為，乙擲骰子向上的點數為，，此時有種情況，
如果第次擲骰子向上的點數為，乙擲骰子向上的點數為、、，此時有種情況，
依此類推
如果第次擲骰子向上的點數為，乙擲骰子向上的點數為、、、、、，此時有種情況，
以上有種情況，
甲第次擲骰子向上的點數為，
如果第次擲骰子向上的點數為，乙擲骰子向上的點數為、、，此時有種情況，
如果第次擲骰子向上的點數為，乙擲骰子向上的點數為、、、，此時有種情況，
如果第次擲骰子向上的點數為，乙擲骰子向上的點數為、、、、，此時有種情況，
如果第次擲骰子向上的點數為，乙擲骰子向上的點數為、、、、、，此時有種情況，
以上有種情況，
依此類推，甲第次擲骰子向上的點數為時，甲贏的情況有種，
如果甲第次擲骰子向上的點數為時，甲贏的情況有種，
如果甲第次擲骰子向上的點數為時，甲贏的情況有種，
甲贏的情況的總數為，
故甲贏的概率為；
當甲第一次擲骰子向上的點數為時，
如果甲選擇，則乙擲骰子向上的點數為、、、、，共種，
而乙擲骰子向上的點數共種情況，則甲贏的概率．
如果甲選擇，則甲第二次擲骰子向上的點數為、、、，共種，
如果甲第二次擲骰子向上的點數為時，則乙擲骰子向上的點數為、、、、，共種，
如果甲第二次擲骰子向上的點數為時，則乙擲骰子向上的點數為、、、、，共種，
，
如果甲第二次擲骰子向上的點數為時，則乙擲骰子向上的點數為、、、、、，共種，
因此，甲贏的情況的總數為，
而甲第二次、乙擲骰子的可能情況各為種，則甲贏的概率
，
令，即，化簡得，解得，
因為，且，因此或或或，
綜上，當甲擲骰子向上的點數為或或或時，甲選擇贏得游戲的概率更大．
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