資源簡介

1.2.1必要條件與充分條件
基礎(chǔ)鞏固
充分條件與必要條件
一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q. 由p可以推出q，記作 ，則p是q的 條件，q是p的 條件. 如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作 ，p不是q的 條件，q不是p的 條件.
充要條件
如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是 ，即既有，又有，就記作 . 此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，則p是q的
條件，簡稱為充要條件，顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件. 概括地說，如果，那么p與q互為 條件.
拔高提升
1.已知,,,則q是p的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.已知，則“”是“”( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知,,則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.設(shè)；，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C.或 D.或
5.“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.充要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
6.設(shè)命題,,則p是q的_______條件( )
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
7.下面四個條件中，使成立的充分不必要的條件是( )
A. B. C. D.
8.二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點的充要條件是( )
A. B.
C. D.，
9.設(shè)全集,集合,非空集合,其中.若“”是“”的必要條件,求a的取值范圍.
10.已知集合，集合，若成立的一個必要不充分條件是，求實數(shù)a的取值范圍.
思維拓展
11.設(shè)a是實數(shù)，則成立的一個必要不充分條件是( )
A. B. C. D.
12.在四邊形ABCD中，，則“”是“四邊形ABCD為直角梯形”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
13.設(shè)集合，，，或，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
14.下列說法錯誤的是( )
A.“”是“”的必要不充分條件
B.“”的一個充分不必要條件是“”
C.“”是“”的必要不充分條件
D.“m是實數(shù)”的一個充分不必要條件是“m是有理數(shù)”
15.方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是( )
A. B. C. D.
16.（多選）下列選項中，p是q的必要不充分條件的有( )
A.，
B.，
C.p：兩個三角形全等，q：兩個三角形面積相等
D.，，
17.（多選）p是q的必要條件的是( )
A.，
B.，，
C.四邊形的兩條對角線互相垂直平分，四邊形是正方形
D.，q：關(guān)于x的方程有唯一解
18.下圖是由電池、開關(guān)和燈泡組成的電路，假定所有零件均能正常工作，則電路中“開關(guān)和有且只有一個閉合”是“燈泡L亮”的__________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
19.已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
20.已知命題，命題或，若p是q的既不充分也不必要條件，則c的取值范圍是__________.
答案及解析
一、基礎(chǔ)鞏固
1.，充分，必要，，充分，必要
2.真命題，，充分必要，充要
二、拔高提升
1.答案：B
解析：由,,可得,
但若,不一定可得,也可能.
所以,但,
所以q是p的必要條件.
故選:B
2.答案：A
解析：若，則，即充分性成立；
若，例如，，
可得，滿足題意，
但，即必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3.答案：B
解析：由題意,推不出,故充分性不成立；
但可以推出,故必要性成立
故p是q的必要不充分條件
故選：B.
4.答案：A
解析：若p是q的充分不必要條件，則且等號不同時成立，解得.故選A.
5.答案：C
解析：因為,
所以“”是“”的的必要不充分條件,
故選：C.
6.答案：A
解析：當時,必有成立,反之不成立,
故p是q的充分不必要條件,
故選：A.
7.答案：A
解析：；反之，，例如，滿足，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選A.
8.答案：B
解析：由二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，
故，得，
故答案為：B.
9.答案：
解析：若“”是“”的必要條件,則,
又集合B為非空集合,故有解得,所以a的取值范圍.
10.答案：
解析：由題意知，是的必要不充分條件，
因此B是A的真子集.易得.
①當時，，解得；
②當時，有無解；
③當時，有無解.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
三、思維拓展
11.答案：A
12.答案：D
解析：若，則四邊形ABCD為矩形或直角梯形，若四邊形ABCD為直角梯形，則不一定為，所以“”是“四邊形ABCD為直角梯形”的既不充分也不必要條件.故選D.
13.答案：C
解析：，或，，或，，“”是“”的充要條件.
14.答案：B
解析：易知A，C，D正確，由，解得或，故“”的一個必要不充分條件是“”，因此B中說法錯誤.故選B.
15.答案：D
解析：設(shè)方程與有公共實根，
則兩式相減得，
若，則兩方程相同，為，且無實數(shù)根，
若，則，所以，解得.
當時，兩方程分別為，，
方程的兩個實數(shù)根分別為1，2，
方程的兩個實數(shù)根分別為1，，
即方程與有一個公共實數(shù)根.
綜上可知，方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.
故選D.
16.答案：AD
解析：對于A，，但，
是q的必要不充分條件，A正確；
對于B，由，得，由，得，是q的充要條件，B錯誤；
對于C，兩個三角形全等，則面積一定相等，但兩個三角形面積相等，不一定全等，
是q的充分不必要條件，C錯誤；
對于D，當，時，，
當時，，不一定成立，如，，是q的必要不充分條件，D正確.故選AD.
17.答案：CD
解析：，，所以由p推不出q，由q推不出p，所以p是q的既不充分也不必要條件，故A不符合題意；
，；當，時，滿足，但由q推不出p，所以p是q的充分不必要條件，故B不符合題意；
由“兩條對角線互相垂直平分”推不出“四邊形是正方形”，而由“四邊形是正方形”能推出“兩條對角線互相垂直平分”，所以p是q的必要條件，故C符合題意；
關(guān)于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要條件，故D符合題意.選CD.
18.答案：充分不必要
解析：當開關(guān)和有且只有一個閉合時，燈泡L亮，當燈泡L亮?xí)r，開關(guān)和也有可能都閉合，故電路中“開關(guān)和有且只有一個閉合”是“燈泡L亮”的充分不必要條件.
19.答案：
解析：因為“”是“”的必要條件，所以.
當時，滿足，此時，解得；
當時，要想滿足，則或
解得或.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
20.答案：
解析：設(shè)命題p對應(yīng)的集合為A，命題q對應(yīng)的集合為B，則，或.因為p是q的既不充分也不必要條件，所以或A不是B的子集且B不是A的子集，所以①或②或③，
解不等式組①得，解不等式組②得，解不等式組③得.
又，所以c的取值范圍為.

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