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1.1.2 空間向量的數量積運算
——高二數學人教A版(2019)選擇性必修第一冊
同步課時作業
1.棱長為2的正四面體ABCD中，點E是AD的中點，則( )
A.1 B.-1 C. D.
2.已知，為相互垂直的單位向量，且，，，則實數k的值為( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
3.在正方體中，等于( )
A. B. C. D.
4.已知空間向量a，b，c滿足，，且，則a與b的夾角大小為( )
A. B. C. D.
5.已知正四面體ABCD的棱長為2，點E為AB的中點，點F為BC的中點，則( )
A. B.1 C. D.2
6.已知空間向量a，b，，，且與a垂直，則a與b的夾角為( )
A. B. C. D.
7.我國古代數學名著《九章算術》中記載，斜解立方，得兩塹堵.塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.在塹堵中，，點P為的中點，則( )
A.6 B. C.2 D.
8.如圖所示，在空間四邊形OABC中，，且，則的值為( )
A. B.0 C. D.
9.（多選）已知a，b為空間中的任意兩個非零向量，則下列各式正確的有( )
A. B.
C. D.
10.（多選）以下命題為真命題的是( )
A.是a，b不共線的充要條件
B.
C.向量a在向量b上投影的數量為
D.在四面體ABCD中，，，則
11.在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量的模是__________.
12.在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.
13.如圖，在棱長為2的正方體中，F是的中點，則______________.
14.在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且，，，G為的重心，則__________.
15.球O為正四面體ABCD的內切球，，線段MN是球O的直徑，點P在正四面體ABCD的表面上運動，則的最小值為__________，最大值為__________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，
所以．
故選A．
2.答案：B
解析：由題意知.由得，即，，.故選B.
3.答案：D
解析：如圖，連接，，易得，是的補角.，，.故選D.
4.答案：C
解析：由題意知，則，所以.又，可得，即.故選C.
5.答案：A
解析：如圖，因為E為AB的中點，F為BC的中點，所以，.
因為正四面體ABCD的棱長為2，所以.故選A.
6.答案：D
解析：與a垂直，，，.
，.
7.答案：A
解析：根據塹堵的幾何性質知，，，，如圖.
因為，，所以
.故選A.
8.答案：B
解析：在空間四邊形OABC中，，，，
，.故選B.
9.答案：AD
解析：由數量積的性質和運算律可知AD是正確的.
10.答案：CD
解析：A是假命題，若，，顯然命題不成立；B是假命題，三個運算結果均為向量，但它們不一定相等；易知C是真命題；D是真命題，.故選CD.
11.答案：
解析：在棱長為1的正方體中，向量與向量的夾角為，所以，即向量在向量上的投影向量的模是.
12.答案：
解析：如圖，設，則.由正三棱柱可得且.又，，所以，.
13.答案：6
解析：棱長為2的正方體中，
連接，則是邊長為的等邊三角形，
.
故選：
14.答案：
解析：如圖，連接AG并延長與BC相交于點D.點G是底面的重心，.，
.
15.答案：0；
解析：由線段MN是球O的直徑，得，則.如圖，設球O的半徑為r，為的外接圓圓心，連接，，.由題意可知，正四面體ABCD的高，所以，解得.因為點P在正四面體ABCD的表面上運動，所以的最大值為，最小值為.又，所以的最小值為0，最大值為.

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