資源簡介

3.1.2.1單調性的定義與證明
一、選擇題
1．已知函數y＝f (x)的圖象如圖所示，則f (x)的單調遞減區間是(　　)
A．(0，1)　　　　 B．(－∞，1)
C． D．(－∞，3)
2．如果函數f (x)在[a，b]上是增函數，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，則下列結論中正確的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2)＝0
C．f (a)≤f (x1)D．f (x1)>f (x2)
3．若函數y＝x2＋(2a－1)x＋1在區間(－∞，2]上是減函數，則實數a的取值范圍是(　　)
A． 　 B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
4．(多選)若函數f (x)在(－∞，＋∞)上為減函數，則(　　)
A．f (a2＋1)B．f (a2＋a)C．f (a2)D．f (a2＋1)≤f (2a)
5．已知f (x)＝，則(　　)
A．f (x)max＝，f (x)無最小值
B．f (x)min＝1，f (x)無最大值
C．f (x)max＝1，f (x)min＝－1
D．f (x)max＝1，f (x)min＝0
6．已知條件p：函數f (x)＝x2＋mx＋1在區間上單調遞增，條件q：m≥－，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
7．已知函數f (x)＝是R上的減函數，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
二、填空題
8．若函數f (x)＝在(a，＋∞)上單調遞減，則a的取值范圍是________．
9．已知f (x)在定義域內是減函數，且f (x)>0，在其定義域內下列函數為增函數的是________．(填序號)
①y＝a＋f (x)(a為常數)；
②y＝a－f (x)(a為常數)；
③y＝；
④y＝[f (x)]2．
10．函數y＝f (x)在(－2，2)上為減函數，且f (2m)>f (－m＋1)，則實數m的取值范圍是________．
11．設f (x)是定義域為R的單調函數，且f (f (x)－3x)＝4，則f (2)＝________．
12．已知函數f (x)＝2x2－4kx－5在區間[－1，2]上不具有單調性，則k的取值范圍是________．
三、解答題
13．已知函數f (x)＝，x∈(0，＋∞)．
(1)判斷函數f (x)的單調性，并利用定義證明；
(2)若f (2m－1)>f (1－m)，求實數m的取值范圍．
14．(源自人教A版教材)已知函數f (x)＝(x∈[2，6])，求函數的最大值和最小值．
15．已知一次函數f (x)是R上的增函數，g(x)＝f (x)(x＋m)，且f (f (x))＝16x＋5．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上單調遞增，求實數m的取值范圍．
答案解析
1．A　[由題圖知f (x)的單調遞減區間為(0，1)．]
2．A　[對于A項，因為f (x)在[a，b]上是增函數，所以對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，
當x1>x2時，f (x1)>f (x2)，
所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，
所以>0，
當x1所以x1－x2<0，f (x1)－f (x2)<0，
所以>0，
綜上所述，>0，故A項正確；
對于B項，因為f (x)在[a，b]上是增函數，
所以對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，
當x1>x2時，f (x1)>f (x2)，
所以x1－x2>0，f (x1)－f (x2)>0，
所以(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，
當x1所以x1－x2<0，f (x1)－f (x2)<0，
所以(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，
綜上所述，(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，故B項不成立；
對于C項、D項，由于x1，x2的大小關系不確定，
所以f (x1)與f (x2)的大小關系不確定，故C項不成立，D項不成立．
故選A．]
3．B　[∵函數y＝x2＋(2a－1)x＋1的圖象是開口向上，直線x＝為函數的對稱軸，
又∵函數在區間(－∞，2]上是減函數，故2≤，解得a≤－．]
4．AD　[∵a2＋1－a＝＋>0，
∴a2＋1>a．又函數f (x)在(－∞，＋∞)上為減函數，
∴f (a2＋1)∵a2≥0，
∴a2＋a≥a，
∴f (a2＋a)≤f (a)，故B選項不正確．
當0≤a≤1時，a2≤a，此時f (a2)≥f (a)，故C選項不正確．
∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，
∴a2＋1≥2a，
∴f (a2＋1)≤f (2a)，故D選項正確．
故選AD．]
5．C　[f (x)＝的定義域為[0，1]，因為f (x)在[0，1]上單調遞增，
所以f (x)max＝1，f (x)min＝－1．]
6．A　[函數f (x)＝x2＋mx＋1的單調遞增區間是，依題意，，
因此－，解得m≥－1，顯然[－1，＋∞) ，所以p是q的充分不必要條件．]
7．D　[由題意知實數a滿足
解得0＜a≤2，
故實數a的取值范圍為(0，2]．]
8．[－1，＋∞)　[函數f (x)＝的單調遞減區間為(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f (x)在(a，＋∞)上單調遞減，所以a≥－1．]
9．②③　[f (x)在定義域內是減函數，且當f (x)>0時，－f (x)，均為增函數，故選②③．]
10．　[由題意知
解得－111．7　[令t＝f (x)－3x，則f (t)＝4，因為f (x)是定義域為R的單調函數，所以t為常數．
即f (x)＝3x＋t，
所以f (t)＝4t＝4，
解得t＝1，
所以f (x)＝3x＋1，故f (2)＝7．]
12．(－1，2)　[函數f (x)＝2x2－4kx－5的圖象的對稱軸為直線x＝k，若函數f (x)＝2x2－4kx－5在區間[－1，2]上不具有單調性，則k的取值范圍是(－1，2)．]
13．解：　(1)證明：f (x)＝＝2－，x∈(0，＋∞)，任取0可知f (x1)－f (x2)＝＝，
因為0所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)故f (x)在(0，＋∞)上單調遞增．
(2)由(1)知，f (x)在(0，＋∞)上單調遞增，
所以由f (2m－1)>f (1－m)，
可得
解得故實數m的取值范圍是．
14．解：　 x1，x2∈[2，6]，且x1f (x1)－f (x2)＝
＝
＝．
由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)．
所以，函數f (x)＝在區間[2，6]上單調遞減．
因此，函數f (x)＝在區間[2，6]的兩個端點上分別取得最大值與最小值．在x＝2時取得最大值，最大值是2；在x＝6時取得最小值，最小值是0.4．
15．解：　(1)由題意設f (x)＝ax＋b(a>0)．
從而f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以
解得或(不合題意，舍去)．
所以f (x)的解析式為f (x)＝4x＋1．
(2)g(x)＝f (x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)圖象的開口向上，對稱軸為直線x＝－．
若g(x)在(1，＋∞)上單調遞增，則－≤1，解得m≥－，
所以實數m的取值范圍為．
1/7

展開更多......

收起↑