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3.1.2.2　函數的平均變化率
一、選擇題
1．已知A(1，2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三點在同一條直線上，則m＝(　　)
A． B．3 　　　
C． D．4
2．某物體的運動方程為s＝5－2t2，則該物體在時間[1，1＋d]上的平均速度的大小為(　　)
A．2d＋4 B．－2d＋4
C．2d－4 D．－2d－4
3．如果函數y＝ax＋b在區(qū)間[1，2]上的平均變化率為3，則a＝(　　)
A．－3 　　B．2 　　C．3　 　D．－2
4．已知對任意的00，設a＝f (π)，b＝f (2)，則(　　)
A．a>b B．a＝b
C．a5．函數f (x)＝x2－mx＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是(　　)
A．4 B．－4
C．與m的取值有關 D．無最小值
6．(多選)下列各選項正確的有(　　)
A．若x1，x2∈I，當x1≠x2時，＝>0在區(qū)間I上成立，則y＝f (x)在區(qū)間I上是增函數
B．函數y＝x2在R上是增函數
C．函數y＝－在定義域上不是增函數
D．函數y＝x2的單調遞減區(qū)間為(－∞，0]
7．設函數f (x)＝ax2＋bx－c(a≠0)對任意實數t都有f (2＋t)＝f (2－t)成立，在數值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中最小的一個不可能是(　　)
A．f (－1) B．f (1) 　
C．f (2) D．f (5)
二、填空題
8．過曲線y＝x2上兩點A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割線，當Δx＝0.1時，割線AB的斜率為________．
9．已知函數f (x)＝f (x)的最大值為m，f (x)的最小值為n，則m＋n＝________．
10．設f (x)＝x2－2ax＋a2，x∈[0，2]．當a＝－1時，f (x)的最小值是________．若f (0)是f (x)的最小值，則a的取值范圍為________．
11．已知曲線y＝－1上兩點A，B，當Δx＝1時，割線AB的斜率為________．
12．已知函數f (x)＝mx2－mx－1．若對于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，則實數m的取值范圍為________．
三、解答題
13．已知函數f (x)＝2x2＋3x－5．
(1)當x1＝4，且Δx＝1時，求函數值的改變量Δy和平均變化率；
(2)當x1＝4，且Δx＝0.1時，求函數值的改變量Δy和平均變化率；
(3)分析(1)(2)中的平均變化率的幾何意義．
14．已知函數f (x)＝，x∈[3，5]．
(1)判斷函數在區(qū)間[3，5]上的單調性，并給出證明；
(2)求該函數的最大值和最小值．
15．已知函數y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上的最小值為－3，求實數a的值．
答案解析
1．C　[∵A，B，C三點共線，
∴kAB＝kAC，
∴＝，解得m＝．故選C．]
2．D　[平均速度的大小為＝－4－2d．故選D．]
3．C　[根據平均變化率的定義，可知
＝＝a＝3，故選C．]
4．C　[由條件知<0，即f (x)在(0，＋∞)上單調遞減，∵π>2，∴f (π)5．A　[f (x)＝x2－mx＋4的圖象的對稱軸為直線x＝，∵m>0，∴f (x)在(－∞，0]上單調遞減，
∴f (x)min＝f (0)＝4．]
6．CD　[A中，沒強調x1，x2是區(qū)間I上的任意兩個數，故不正確；B中，y＝x2在x≥0時是增函數，在x<0時是減函數，從而y＝x2在整個定義域上不具有單調性，故不正確；C中，y＝－在整個定義域內不具有單調性，故正確；D正確．]
7．B　[因為f (2＋t)＝f (2－t)，所以該二次函數的對稱軸為x＝2，該二次函數的圖象是拋物線，當a>0時，拋物線的開口向上，當x>2時，該函數單調遞增，當x<2時，該函數單調遞減，所以f (2)是最小值；當a<0時，拋物線的開口向下，當x>2時，該函數單調遞減，當x<2時，該函數單調遞增，所以有f (2)>f (1)>f (－1)＝f (5)，此時f (－1)，f (5)最小．故選B．]
8．4.1　[因為割線AB的斜率kAB＝＝
＝＝Δx＋4，
所以當Δx＝0.1時，割線AB的斜率為4.1．]
9．－　[當0≤x≤2時，f (x)＝－x2＋x＝＋，此時f (x)max＝f＝＝f＝－2．
當－1≤x<0時，f (x)＝－x2－x＝－＋，此時f (x)max＝f＝，f (x)min＝f (－1)＝0．
綜上所述，f (x)max＝，f (x)min＝－2，即m＝，n＝－2，所以m＋n＝－．]
10．1　(－∞，0]　[當a＝－1時，f (x)＝x2＋2x＋1，其圖象開口向上，對稱軸為直線x＝－1，
所以函數f (x)＝x2＋2x＋1在[0，2]上單調遞增，所以函數f (x)在[0，2]上的最小值為f (0)＝1．
若f (0)是f (x)的最小值，說明f (x)圖象的對稱軸，即直線x＝a在y軸左側或與y軸重合，則a≤0，所以a的取值范圍為(－∞，0]．]
11．－　[∵Δy＝
＝＝＝，
∴＝＝，
即k＝＝－．
∴當Δx＝1時，k＝－＝－．]
12．　[要使f (x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
當m>0時，g(x)在[1，3]上單調遞增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0當m＝0時，－6<0恒成立；
當m<0時，g(x)在[1，3]上單調遞減，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，
所以m<0．
綜上所述，m的取值范圍是．]
13．解：　∵f (x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f (x1＋Δx)－f (x1)＝＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx．
(1)當x1＝4，且Δx＝1時，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，則＝＝21．
(2)當x1＝4，且Δx＝0.1時，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
則＝＝19.2．
(3)在(1)中，＝，它表示拋物線上的點A(4，39)與點B(5，60)連線所在直線的斜率；
在(2)中，＝，它表示拋物線上的點A(4，39)與點C(4.1，40.92)連線所在直線的斜率．
14．解：　(1)函數f (x)在[3，5]上是增函數．
證明：設任意x1，x2滿足3≤x1＜x2≤5，則
f (x1)－f (x2)＝
＝
＝，
所以＝＝．
因為3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＝＞0，
所以f (x)＝在[3，5]上是增函數．
(2)由(1)得f (x)min＝f (3)＝＝，
f (x)max＝f (5)＝＝．
15．解：　函數y＝x2＋ax＋3可變形為
y＝＋，
其對稱軸為x＝－．
由函數的圖象(圖略)可知：
(1)當－≤－1，即a≥2時，
函數y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上單調遞增，
所以，在x＝－1時，y取得最小值4－a．
根據題設4－a＝－3，得a＝7．
(2)當－∈(－1，1)，即－2在上單調遞增，
所以，在x＝－時，y取得最小值．
根據題設＝－3，則a2＝24，
解得a＝±2．
因為±2 (－2，2)，故舍去．
(3)當－≥1，即a≤－2時，
函數y＝x2＋ax＋3在[－1，1]上單調遞減，
所以，當x＝1時，y取得最小值4＋a．
根據題設4＋a＝－3，得a＝－7．
綜上可知，符合題意的a的值為±7．
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