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第一章　勾股定理 質量評價
(考試時間：120分鐘　滿分：150分)
姓名：_______　　班級：_______　　分數：_______
一、單項選擇題(每小題4分，共40分)
1．一個直角三角形兩直角邊分別為4，5，它的斜邊長的平方x2的值為（ ）
A．41 B．9 C．21 D．29
2．在下列四組數中，屬于勾股數的是（ ）
A．1，， B．3，4，5
C．2，8，10 D．0.3，0.4，0.5
3．如圖，從電線桿離地面6 m處向地面拉一條10 m長的鋼纜，則地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離AB是（ ）
A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，∠A＋∠B＝∠C，則它的三邊a，b，c的比可能為（ ）
A．1∶1∶2 B．1∶2∶3
C．3∶4∶5 D．13∶5∶14
5．如圖，在邊長為1的小正方形組成3×4的網格圖中有a，b，c，d四條線段，下列能構成一個直角三角形三邊的線段是（ ）
A．a，b，c B．b，c，d
C．a，b，d D．a，c，d
6．如圖，三角形是直角三角形，四邊形是正方形，已知正方形A的面積是64，正方形B的面積是100，則半圓C的面積是（ ）
A．36 B．4.5π C．9π D．18π
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝ 90°，AC＝10，AB＝6，則圖中五個小直角三角形的周長之和為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．24
8. 如圖，點E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE＝5，CD＝17，則AC的長為（ ）
A．17 B．15 C．14 D．13
9．如圖，長方體的底面邊長分別為3 cm和9 cm，高為7 cm。若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（ ）
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm
10．如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論中不正確的是（ ）
A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90°
C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°
【解析】根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC＝60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°；根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形，即可求解．
二、填空題(每小題4分，共20分)
11．已知兩條線段的長分別為15 cm和8 cm，則當第三條線段的長取整數 cm時，這三條線段能組成一個直角三角形。
12．《九章算術》是我國古代的數學名著，其中“勾股”章有一題，大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺，門的對角線長10尺，那么門的高和寬各是多少？如果設門的寬為x尺，那么根據題意，可列方程為 。
13．在一個直角三角形中，若斜邊長為10，一條直角邊長為6，則這個三角形的面積為 。
14．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分別在AC，BC上，且DE∥AB，將△ABC沿DE折疊，使C點落在斜邊AB上的F處，則AF的長是 。
15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC邊上的高，若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是 。
【解析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC＋PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，即可求解。
三、解答題(共90分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
16．(8分)在△ABC中，∠C＝90°，設AB＝c，BC＝a，AC＝b。
(1)已知a＝8，b＝15，求c；
(2)已知c＝13，b＝5，求a。
17．(6分)如圖是證明勾股定理的一種方法：用4個全等的直角三角形拼成一個大正方形，請利用面積法證明勾股定理。
18．(8分)如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地A出發，沿北偏東53°方向走了400 m到達點B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到達目的地C。求A，C兩點間的距離。
19．(8分)圖①、圖②均為3×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點A，B均為格點。分別在給定的網格中找一格點C，按下列要求作圖：
(1)在圖①中，連接AC，BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；
(2)在圖②中，連接AC，BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°。
20．(8分)如圖，四邊形ABCD是一塊草坪，量得四邊長AB＝3 m，BC＝4 m，DC＝12 m，AD＝13 m，∠B＝90°，求這塊草坪的面積。
21．(9分)如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝10 cm，D是腰AB上一點，且CD＝8 cm，BD＝6 cm，求△ABC的周長。
22．(10分)如圖，鐵路上A，B兩站相距35 km，C，D為兩村莊，且DA⊥AB，CB⊥AB，已知AD＝20 km，CB＝15 km，在AB上是否存在一點E，使它到C，D兩村莊的距離相等？若存在，求出此時AE的距離；若不存在，請說明理由。
23．(10分)分析下列各組勾股數：
當n＝2時，a＝2×2＝4，b＝22－1＝3，c＝22＋1＝5；
當n＝3時，a＝2×3＝6，b＝32－1＝8，c＝32＋1＝10；
當n＝4時，a＝2×4＝8，b＝42－1＝15，c＝42＋1＝17；
……
根據你發現的規律寫出：
(1)當n＝10時的勾股數；
(2)用含n的代數式表示符合上述特點的勾股數，并加以說明。
24．(11分)定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點。
(1)若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，則點M，N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；
(2)若AM為直角邊，AB＝24，AM＝6，求BN的長。
25．(12分)【問題情境】如圖，在△ABC中，AB＝AC。
【特殊求證】(1)P為BC上的中點，試說明AB2－AP2＝PB·PC；
【探究說明】(2)若P為BC上的任意一點，(1)中的結論是否成立？并說明理由；
【拓展探究】(3)若P為BC延長線上一點，說明AB，AP，PB，PC之間的數量關系。第一章　勾股定理 質量評價
(考試時間：120分鐘　滿分：150分)
姓名：_______　　班級：_______　　分數：_______
一、單項選擇題(每小題4分，共40分)
1．一個直角三角形兩直角邊分別為4，5，它的斜邊長的平方x2的值為（A）
A．41 B．9 C．21 D．29
2．在下列四組數中，屬于勾股數的是（B）
A．1，， B．3，4，5
C．2，8，10 D．0.3，0.4，0.5
3．如圖，從電線桿離地面6 m處向地面拉一條10 m長的鋼纜，則地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離AB是（C）
A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，∠A＋∠B＝∠C，則它的三邊a，b，c的比可能為（C）
A．1∶1∶2 B．1∶2∶3
C．3∶4∶5 D．13∶5∶14
5．如圖，在邊長為1的小正方形組成3×4的網格圖中有a，b，c，d四條線段，下列能構成一個直角三角形三邊的線段是（A）
A．a，b，c B．b，c，d
C．a，b，d D．a，c，d
6．如圖，三角形是直角三角形，四邊形是正方形，已知正方形A的面積是64，正方形B的面積是100，則半圓C的面積是（B）
A．36 B．4.5π C．9π D．18π
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝ 90°，AC＝10，AB＝6，則圖中五個小直角三角形的周長之和為（D）
A．14 B．16 C．18 D．24
8. 如圖，點E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE＝5，CD＝17，則AC的長為（D）
A．17 B．15 C．14 D．13
9．如圖，長方體的底面邊長分別為3 cm和9 cm，高為7 cm。若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（D）
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm
10．如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論中不正確的是（C）
A．∠PBQ＝60° B．∠PQC＝90°
C．∠APC＝120° D．∠APB＝150°
【解析】根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC＝60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°；根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形，即可求解．
二、填空題(每小題4分，共20分)
11．已知兩條線段的長分別為15 cm和8 cm，則當第三條線段的長取整數17cm時，這三條線段能組成一個直角三角形。
12．《九章算術》是我國古代的數學名著，其中“勾股”章有一題，大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺，門的對角線長10尺，那么門的高和寬各是多少？如果設門的寬為x尺，那么根據題意，可列方程為x2＋(x＋6)2＝102。
13．在一個直角三角形中，若斜邊長為10，一條直角邊長為6，則這個三角形的面積為24。
14．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分別在AC，BC上，且DE∥AB，將△ABC沿DE折疊，使C點落在斜邊AB上的F處，則AF的長是3.6。
15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC邊上的高，若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是9.6。
【解析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC＋PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，即可求解。
三、解答題(共90分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
16．(8分)在△ABC中，∠C＝90°，設AB＝c，BC＝a，AC＝b。
(1)已知a＝8，b＝15，求c；
(2)已知c＝13，b＝5，求a。
解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得
c2＝a2＋b2＝82＋152＝289，因為c＞0，所以c＝17。
(2)在△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得
a2＝c2－b2＝132－52＝144，因為a＞0，所以a＝12。
17．(6分)如圖是證明勾股定理的一種方法：用4個全等的直角三角形拼成一個大正方形，請利用面積法證明勾股定理。
解：因為大正方形的面積可以表示為(a＋b)2，也可以表示為c2＋4×ab，
所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，
即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，所以a2＋b2＝c2。
18．(8分)如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地A出發，沿北偏東53°方向走了400 m到達點B，然后再沿北偏西37°方向走了300 m到達目的地C。求A，C兩點間的距離。
解：過點B作BE∥AD。
所以∠DAB＝∠ABE＝53°，
因為37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
所以∠CBA＝90°，
所以AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，
所以AC＝500 m，即A，C兩點間的距離為500 m。
19．(8分)圖①、圖②均為3×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點A，B均為格點。分別在給定的網格中找一格點C，按下列要求作圖：
(1)在圖①中，連接AC，BC，使AC＝AB，∠BAC＝90°；
(2)在圖②中，連接AC，BC，使AC＝BC，∠ACB＝90°。
解：(1)如圖①，點C即為所求。
(2)如圖②，點C即為所求。
20．(8分)如圖，四邊形ABCD是一塊草坪，量得四邊長AB＝3 m，BC＝4 m，DC＝12 m，AD＝13 m，∠B＝90°，求這塊草坪的面積。
解：連接AC，由題意得AB2＋BC2＝AC2，
所以AC＝5 m，
在△ADC中，AC2＋DC2＝169，AD2＝169，
所以AC2＋DC2＝AD2，且∠ACD＝90°，
所以草坪的面積為
S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AC·DC＝36(m2)。
21．(9分)如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝10 cm，D是腰AB上一點，且CD＝8 cm，BD＝6 cm，求△ABC的周長。
解：設AB＝x cm。
因為BC2＝BD2＋CD2。
所以△BDC為直角三角形，∠BDC＝90°。
因為△ABC為等腰三角形，
所以AB＝AC＝x cm。
因為AC2＝AD2＋CD2，所以x2＝(x－6)2＋82。
所以x＝。
所以△ABC的周長為2AB＋BC＝ cm。
22．(10分)如圖，鐵路上A，B兩站相距35 km，C，D為兩村莊，且DA⊥AB，CB⊥AB，已知AD＝20 km，CB＝15 km，在AB上是否存在一點E，使它到C，D兩村莊的距離相等？若存在，求出此時AE的距離；若不存在，請說明理由。
解：存在。設AE為x，則BE＝35－x。
因為C，D兩村到E站距離相等，所以CE＝DE,
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
DE2＝AD2＋AE2，CE2＝BE2＋BC2，
所以AD2＋AE2＝BE2＋BC2。
即x2＋202＝(35－x)2＋152，解得x＝15，
所以AE的距離為15 km。
23．(10分)分析下列各組勾股數：
當n＝2時，a＝2×2＝4，b＝22－1＝3，c＝22＋1＝5；
當n＝3時，a＝2×3＝6，b＝32－1＝8，c＝32＋1＝10；
當n＝4時，a＝2×4＝8，b＝42－1＝15，c＝42＋1＝17；
……
根據你發現的規律寫出：
(1)當n＝10時的勾股數；
(2)用含n的代數式表示符合上述特點的勾股數，并加以說明。
解：(1)當n＝10時，a＝2×10＝20，b＝102－1＝99，
c＝102＋1＝101。
(2)a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1。
理由：因為a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1，
所以a2＝4n2，b2＝n4－2n2＋1，c2＝n4＋2n2＋1。
因為4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1，
所以a2＋b2＝c2。
所以a＝2n，b＝n2－1，c＝n2＋1是勾股數。
24．(11分)定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點。
(1)若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，則點M，N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；
(2)若AM為直角邊，AB＝24，AM＝6，求BN的長。
解：(1)是。理由：因為AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
所以AM2＋NB2＝MN2。
所以以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形。
所以點M，N是線段AB的勾股分割點。
(2)設BN＝x，則MN＝24－AM－BN＝18－x。
①當MN為最長線段時，依題意得MN2＝AM2＋NB2，
即(18－x)2＝36＋x2，解得x＝8。
②當BN為最長線段時，依題意得BN2＝AM2＋MN2，
即x2＝36＋(18－x)2，解得x＝10。
綜上所述，BN＝8或10。
25．(12分)【問題情境】如圖，在△ABC中，AB＝AC。
【特殊求證】(1)P為BC上的中點，試說明AB2－AP2＝PB·PC；
【探究說明】(2)若P為BC上的任意一點，(1)中的結論是否成立？并說明理由；
【拓展探究】(3)若P為BC延長線上一點，說明AB，AP，PB，PC之間的數量關系。
解：(1)如圖①，連接AP，由題意，得
AP⊥BC，BP＝CP，所以AB2－AP2＝BP2，
又因為BP＝CP，所以BP·CP＝BP2，
所以AB2－AP2＝PB·PC。
(2)成立．理由：如圖②，連接AP，作AD⊥BC，交BC于點D，所以BD＝CD,
AB2－AP2＝AD2＋BD2－(AD2＋DP2)＝BD2－DP2，
又因為BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，
所以BP·CP＝(BD＋DP)(BD－DP)＝BD2－DP2，
所以AB2－AP2＝PB·PC。
(3)AP2－AB2＝PB·PC。
如圖③，P是BC延長線上一點，連接AP，并作AD⊥BC于點D，所以BD＝CD,
AP2－AB2＝(AD2＋DP2)－(AD2＋DB2)
＝PD2－BD2，
又因為BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，
所以BP·CP＝DP2－BD2，
所以AP2－AB2＝PB·PC。

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