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期末復(fù)習(xí)（一）　勾股定理
一、考點過關(guān)
考點1　勾股定理的應(yīng)用
1.如圖，已知地面上A，B在一條直線上，AB＝40米，當(dāng)無人機(jī)從A處豎直上升30米時，無人機(jī)到B處的距離為（　 　）.
A.60米 B.50米 C.45米 D.40米
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則斜邊上的高是（　 　）.
A.1.2 B.2.4 C.2.5 D.5
3.某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時，梯子底端A到左墻的距離AE為0.7 m，梯子頂端D到地面的距離DE為2.4 m，若梯子底端A保持不動，將梯子斜靠在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為2 m，則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為（　 　）.
A.2.2 m B.2 m C.1.5 m D.2.5 m
考點2　勾股定理的逆定理
4.下列四組線段首尾順次相接不能圍成直角三角形的是（　 　）.
A.a＝8，b＝15，c＝17 B.a＝9，b＝12，c＝15
C.a＝3，b＝4，c＝5 D.a＝4，b＝6，c＝8
5.觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……，請你根據(jù)以上規(guī)律寫出第⑤組勾股數(shù)：　 　.
考點3　勾股定理中的分類討論
6.如圖是由5個邊長為1的正方形拼成的圖形，現(xiàn)將其按甲、乙兩種方式沿虛線剪開，再各自分別拼接，若需拼接一個面積為5的大正方形，則這兩種剪法中（　 　）.
A.只有甲行 B.只有乙行
C.甲、乙都行 D.甲、乙都不行
7.在△ABC中，AB＝10，BC＝2，∠A＝30°，則△ABC的面積是　 　.
考點4　勾股定理的實際應(yīng)用
8.如圖是一個內(nèi)壁長4 m、寬3 m、高2 m的長方體倉庫，在其內(nèi)壁的A（長的四等分）處有一只壁虎，B（寬的三等分）處有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處的最短路程為（　 　）.
第8題圖
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
9.如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短路程是（　 　）.
第9題圖
A.5 B.25 C.10＋5 D.35
考點5　勾股定理的驗證
10.我國是最早了解勾股定理的國家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在周朝由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（　 　）.
A B C D
11.如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB＝10，AH＝6，那么EF＝（　 　）.
A.8 B.6 C.4 D.2
二、核心突破
12.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，現(xiàn)將△ABC沿BD進(jìn)行翻折，使點A剛好落在BC上，則CD＝　 　.
13.如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，連接三個格點得到△ABC.
（1）求△ABC的周長；
（2）BC邊上的高是多少？
14.【問題情境】消防云梯的作用是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù)，它能讓消防員快速到達(dá)高層救援現(xiàn)場，如圖，已知一架云梯AB長25 m，斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻角的距離OB＝20 m，∠AOB＝90°.
【深入探究】
（1）消防員接到命令，按要求將云梯從頂部A下滑到A'位置上（云梯長度不改變），則底部B沿水平方向向前滑動到B'位置上，若AA'＝8 m，求BB'的長度.
【問題解決】
（2）在演練中，墻邊距地面24 m的窗口有求救聲，消防員需調(diào)整云梯去救援被困人員.經(jīng)驗表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全，在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達(dá)24 m高的窗口去救援被困人員？
三、能力提升
15.趙爽在《周髀算經(jīng)》中介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1），并根據(jù)該圖證明了勾股定理.弦圖之美，美在簡約而深厚，經(jīng)典而久遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”.
（1）“勾股定理”用文字?jǐn)⑹鍪恰? 　；
（2）類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2，△ABC為等邊三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF是等邊三角形.點D，E，F(xiàn)分別是BE，CF，AD的中點，若△DEF的面積為2，求△ABC的面積；
（3）如圖3，在長方形ABCD內(nèi)部嵌入了3個全等的“趙爽弦圖”.其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊BC，CD，AB，AD上，當(dāng)AB＝34，BC＝29時，求小正方形的邊PQ的長度.
16.有一輛裝滿貨物的卡車，高2.5 m，寬1.6 m，要開進(jìn)如圖所示的上邊是半圓，下邊是長方形的橋洞.已知半圓的直徑為2 m，長方形的另一條邊長是2.3 m.
（1） 這輛卡車能否通過此橋洞？試說明你的理由；
（2） 為了適應(yīng)車流量的增加，想把橋洞改為雙行道，并且要使寬1.2 m，高2.8 m的卡車能安全通過，那么此橋洞的寬至少應(yīng)增加到多少米？
參考答案
1.B　2.B　3.A　4.D　5.11，60，61　6.C
7.10或15
8.C　
解析：如圖1，展開前面與上面，
∵A是長的四等分點，B是寬的三等分點，長4 m、寬3 m、高2 m，
∴AC＝3 m，BD＝2 m，BC＝CD＋BD＝2＋2＝4（m），
∴AB＝＝＝5（m）；
圖1
如圖2，展開前面與左邊，過點B作BC⊥AD于點C，
∵AC＝5 m，BC＝2 m，
∴AB＝＝＝（m）；
圖2
其余的展開方式要展開三個面，AB更長.
∵5＜，
∴最短路程為5 m.故選C.
9.B　10.C　11.D
12.5　
解析：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴根據(jù)勾股定理可得BC＝＝＝10，
由折疊的性質(zhì)可得∠DA'B＝∠A＝90°，A'B＝AB＝6，DA'＝DA，
∴∠CA'D＝180°－∠DA'B＝180°－90°＝90°.
設(shè)CD＝x，則DA'＝DA＝AC－CD＝8－x，CA'＝BC－A'B＝10－6＝4，
在Rt△CA'D中，根據(jù)勾股定理可得CD2＝DA'2＋CA'2，
即x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，
∴CD＝5.故答案為5.
13.解：（1）由勾股定理，得AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝2，
∴△ABC的周長為2＋2.
（2）設(shè)BC邊上的高是h.∵S△ABC＝3×3－×1×3×2－×2×2＝4，
∴BC·h＝4，
∴h＝.∴BC邊上的高是.
14.解：（1）在Rt△OAB中，
OA＝＝＝15（m），
∵AA'＝8 m，
∴OA'＝OA－AA'＝15－8＝7（m）.
在Rt△A'OB'中，
OB'＝＝＝24（m），
∴BB'＝OB'－OB＝24－20＝4（m）.
答：BB'的長度為4 m.
解：（2）當(dāng)云梯的頂端到達(dá)24 m高的窗口時，根據(jù)勾股定理得云梯的底端距離墻的距離為＝7（m），
∵25×＝5 m，7 m＞5 m ，
∴在相對安全的前提下，云梯的頂端能到達(dá)24 m高的窗口去救援被困人員.
15.解：（1）“勾股定理”用文字?jǐn)⑹鍪牵涸谥苯侨切沃校瑑蓷l直角邊的平方和等于斜邊的平方.
（2）如圖，連接BF，DC，AE.∵點D，E，F(xiàn)分別是BE，CF，AD的中點，
∴S△BDF＝S△DEF＝S△ABF＝S△BDC＝S△DEC＝S△AEF＝S△AEC，
∴S△ABC＝7S△DEF.
∵S△DEF＝2，
∴S△ABC＝14.
（3）設(shè)弦圖中每個小直角三角形的較大的直角邊長為x，較小的直角邊長為y.∵AB＝34，BC＝29，
∴解得
∴小正方形的邊長為＝13.
16.解：（1）能通過.
理由： AB為卡車的寬度，分別作DA⊥AB，CB⊥AB交半圓于點D，C，記半圓的圓心為點O，連接OC，OE的長度為卡車寬的一半，如圖1所示. 當(dāng)橋洞中心線兩邊各為0.8 m時，設(shè)EC＝x米；在Rt△OEC中，由勾股定理，得0.82＋x2＝12，解得x＝0.6.因為2.5＜2.3＋0.6，所以卡車能通過.
（2）如圖2所示，改為雙行道后，在Rt△OEC中，已知OE＝1.2 m，CE＝BC－BE＝2.8－2.3＝0.5（m）.由勾股定理，得OC2＝OE2＋CE2＝1.22＋0.52＝1.32，解得OC＝1.3.因為是雙行道，所以橋洞的寬至少應(yīng)增加到1.3×2＝2.6（m）.

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