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(共26張PPT)
浙教版八年級上冊
3.2 不等式的基本性質
基本事實：
從實數運算角度來講，我們依據實數運算的結果，
兩實數大小的關系有以下定義：
如果a-b是正數，那么a>b;
如果a-b=0,那么a=b;
如果a-b是負數，那么a數學語言：
a-b>0
a>b
a-b=0
a=b
a-b<0
a如果在數軸上兩個不同的點A與B分別對應不同的實數a與b,
那么右邊的點對應的實數比左邊的點對應的實數大
A
a
B
b
點A在點B的右邊
a>b
兩個數比較大小：
①作差法
② 畫圖法
（1）已知:a（1）已知:aa位置：表示數c的點在表示數a的點的右邊
法1：畫圖法（借助數軸，直觀感知）
B
b
A
a
c
C
法2：作差法
aa-b<0 ①
bb-c<0 ②
依據：負數小于零，負數+負數=負數
①+② 得：
（a-b)+(b-c)<0
a-c<0
不等式的基本性質1：若a＜b，b＜c，則a＜c。
a（2）比較大小
3___5； 3＋2___5＋2； 3－2___5－2
7___4 ； 7＋(－2)___4＋(－2)； 7－(－2)___4－(－ 2)
若a＞b，那么a＋c＿＿b＋c，a－c＿＿b－c.
＜
＜
＜
＞
＞
＞
＞
＞
若a＜b，那么a＋c＿＿b＋c，a－c＿＿b－c.
＜
＜
① 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
② 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數,所得到的不等式仍成立.
（不等號方向不變）
你有哪幾種方法證明上述命題？
① 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
② 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
法1：作差法
a+c＞b+c
（a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0,
①
(a-c)-(b-c)=a-c-b+c=a-b>0,
(a-c)>(b-c)
把a>b表示在數軸上，
不妨設c>0
法2：畫圖法
b
a
b
a
b+c
c
a+c
c
∴a+c>b+c
C
b-c
C
a-c
∴a-c>b-c
3<5
則3×2______5×2；
＜
＜
3× ______5× ；
3÷ ______5÷ ；
<
＞
3÷ ______5÷ .
3×(-2)______5×(-2)；
＞
3× ______5× .
＞
（3）用“＜”或“＞”填空
你發現了什么？
運算中的不變性
不等式的基本性質（3）
對不等式兩邊進行乘除運算
在不等式的兩邊施加乘法運算（或除法運算），發現的規律是運算后所保持的不等號方向不變或要求不等號方向必須改變
如果a＞b，c>0，那么ac____bc（或 ）.
＞
不等式的基本性質3①：
不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．
不等式的基本性質3②：
不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．
用字母表示：
用字母表示：
如果a＞b，c＜0，那么ac ___bc（或 ）.
.
如果a＞b，c>0，那么ac____bc（或 ）.
＞
如果a＞b，c＜0，那么ac ___bc（或 ）.
.
證明不等式的基本性質3.
<
歸納：不等式的基本性質：
性質3：不等式的兩邊都乘(或都除以)同一個正數,所得到的不等式仍成立；
不等式的兩邊都乘(或都除以)同一個負數,必須把不等號的方向改變,所得到的不等式成立.
性質1：若a＜b，b＜c，則a＜c。
性質2：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數,所得到的不等式仍成立.
（不等號方向不變）
（不等號方向不變）
（不等號方向改變）
（傳遞性）
例1.將下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：
（1）x - 5 > -1. （2）-2x > 3.
解：（1）根據不等式的基本性質1，在不等式兩邊都加5，得x - 5 + 5 > -1 + 5，即x > 4.
學以致用：
（2）根據不等式的基本性質3，在不等式兩邊都除以 -2，得 x < -
。
解：(1)不等式的兩邊都減去2x，由不等式基本性質2，
.變式：將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1) 3x < 2x －3 (2)－x＜ (3) x＜3
(3) 根據不等式的基本性質3，兩邊都乘以2，
得x≤6.
得 3x －2x < 2x－3－2x，
即 x < －3.
（2）根據不等式的基本性質3，兩邊都除以－1，
得x>－
例2　已知a<0 ，試比較2a與a的大小.
你有哪幾種方法證明上述命題，多多益善？
解法二：（借助數軸）
例2　已知a<0 ，試比較2a與a的大小.
解法一：（不等式的基本性質3）
∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a.
　如圖,在數軸上分別表示2a和a的點(a＜0).
2a位于a的左邊，所以2a＜a.
0
a
2a
∣a∣
∣a∣
解法三：（利用不等式基本性質2）
∵a＜0，
∴ a+a＜0+a，
即2a ＜a.
　已知a<0 ，試比較2a與a的大小.
解法四: （作差法）
∵2a－a=a ＜0，
∴2a＜a.
解法5：特殊值法:
設a=-1，則 2a=-2.
∵-2＜-1，∴2a ＜a.
　已知a<0 ，試比較2a與a的大小.
1.選擇適當的不等號填空：
（1）∵0 __ 1,
　∴ a___a＋1(不等式的基本性質2）；
（2）∵(a－1)2___ 0,
　∴(a － 1)2 －2___－2( )
＜
＜
≥
≥
不等式的基本性質2
當堂檢測：
夯實基礎，穩扎穩打
清楚地，對不等式的兩端同步施加什么運算
＜
＜
＞
＜
＞
2、已知 a﹤b，用“＜”或“＞”號填空：
(1) a－4____b－4； (2)3a____3b；
(3)－a－2____－b －2； (4)a－b____0；
(5)－—a____－—b；
（6）ac2_____bc2 ( c 為有理數 )
（7）a（c2+1） ____b（c2 +1) ( c 為有理數 )
1
3
1
3
≤
<
清楚地，對不等式的兩端同步施加什么運算
D
3.有一道這樣的題：“由★x＞1得到 x＜ ”，
則題中★表示的是(　　)
A．非正數 B．正數
C．非負數 D．負數
4.若 x 比較 2-3x 與2-3y 的大小，并說明理由。
解：∵x＜y
∴-3x＞-3y
（不等式性質3）
∴2-3x＞2-3y
（不等式性質2）
連續遞推，豁然開朗
5.若 x ，且（a-3)x
解：∵x＜y， （a-3）x＞（a-3）y
∴a-3＜0
（不等式性質3）
∴a＜3
（不等式性質2）
6.如果 , 那么xy 0.
（依據 ）
.
＞
不等式的基本性質3
7.如果b<0，你能比較a－b，a+b的大小嗎？
a-b＞a+b
作差法比較大小：
（a-b)-(a+b)=a-b-a-b=-2b
.
8.小明和小華在探究數學問題.
小明說： “ 3y＞4y ”.
小華認為小明說錯了，應該是3y＜4y，
聰明的你覺得呢
誰做對了
當y＞0時, 3y ＜ 4y;
當y= 0時, 3y = 4y;
當y ＜ 0時, 3y ＞4y.
謝謝
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