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2025年人教版八年級上冊第13章《三角形》單元檢測卷
滿分120分 時間120分鐘
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題（共30分）
1．下列長度的三條線段能組成三角形的是( )
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
2．亮亮說：“三角形的個內角最多有兩個角是銳角．”下面圖形可以說明亮亮的說法是錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
3．用三角板作的邊上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如果一個三角形的三個內角度數之比為，則該三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
5．如圖，在中，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，在中，點D在的延長線上，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．在中，是中線，與的周長差為7．若，則（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
8．如圖，在中，是邊上的中線，是的中點，若的面積為，則陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，將直角三角形紙片的直角C沿折疊，點C落在紙片內部的點P處．如果，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在中，與的平分線交于點，的外角平分線所在的直線與的平分線相交于點，與的外角平分線相交于點，則下列結論①；②；③；④．正確的有：（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（共18分）
11．若三角形三個內角的比為，則這個三角形按角分類是 三角形．
12．如圖，，垂足為E，，，則 ．
13．如圖，D、E分別是的邊、的中點，連接、，則： ．
14．如圖，若，則，，，，之間的關系為 ．
15．在中，為邊上的高，，，則 度．
16．如圖，點是的內角和的平分線的交點，點是的內角和的角平分線的交點，同樣點是的內角和的角平分線的交點，若，那么 ．
三、解答題（共72分）
17．（8分）利用網格中的點A，B，C，D，E，在下面的方框中畫三角形：
(1)在第一個方框中畫銳角三角形；
(2)在第二個方框中畫直角三角形；
(3)在第三個方框中畫鈍角三角形．
18．（8分）已知的三邊長分別為．
(1)化簡：；
(2)若，第三邊的長為奇數，判斷的形狀．
19．（8分）如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為，點A，B，C都是格點（小正方形的頂點），完成下列畫圖．
(1)畫出的重心P．
(2)在已知網格中找出一個格點D，使與的面積相等．
20．（8分）如圖，在中，，，垂足為，平分．
(1)若，，求的度數；
(2)若，求證：．
21．（8分）如圖，在中，為邊上的高，為邊上的中線，平分，交于點．
(1)若，的面積為20，求的長；
(2)若，，求的度數．
22．（10分）等面積法是一種常用的、重要的數學解題方法．
(1)如圖1，在中，，，，，，垂足為點，則的長是_______；
(2)如圖2，在中，，，則的高與的比是________；
(3)如圖3，在中，，，點，分別在邊，上，且，，，垂足分別為點，．若，，求的值．
23．（10分）【問題背景】（1）小明在學習多邊形時，把如圖1的圖形看成“8”字形，并得出如下結論：，請你說明理由；
【嘗試應用】（2）如圖2，、分別平分、，若，，求的度數；
【拓展延伸】（3）如圖3，已知，，，，其中，且為整數，請利用上述結論或方法直接寫出的度數．（用含n，，的代數式表示）
24．（12分）（1）如圖1，在中，和的平分線交于點O，求與的關系，請說明理由．
（2）如圖2，在中，內角的平分線和外角的平分線交于點O，請直接寫出與的關系，不必說明理由．
（3）如圖3，分別平分，，求與（）的關系，請說明理由．
（4）如圖4，分別平分，，請直接寫出與，的關系，不必說明理由．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A B C B D D D
1．C
【分析】本題考查了三角形三邊關系，任意兩邊之和大于第三邊，逐一驗證各選項即可．
【詳解】A．最大邊為，檢驗，等于第三邊，不滿足兩邊之和大于第三邊，無法構成三角形．
B．最大邊為，檢驗，小于，不滿足兩邊之和大于第三邊，無法構成三角形．
C．最大邊為，檢驗，滿足兩邊之和大于第三邊；
其他組合和均成立，因此可以構成三角形．
D．最大邊為，檢驗，小于，不滿足兩邊之和大于第三邊，無法構成三角形．
綜上，只有選項C符合條件．
故選：C．
2．C
【分析】本題考查了三角形的三個內角，亮亮說：“三角形的個內角最多有兩個角是銳角．”要想說明亮亮的說法錯誤，需要用銳角三角形說明．
【詳解】解：A選項：直角三角形有一個直角，兩個銳角，不能說明亮亮的說法錯誤，故A選項不符合題意；
B選項：鈍角三角形有一個鈍角，兩個銳角，不能說明亮亮的說法錯誤，故B選項不符合題意；
C選項：銳角三角形的三個角都是銳角，能說明亮亮的說法錯誤，故C選項符合題意；
D選項：鈍角三角形有一個鈍角，兩個銳角，不能說明亮亮的說法錯誤，故D選項不符合題意；
故選：C．
3．D
【分析】本題主要考查了畫三角形的高，過三角形的一個頂點作其對邊的垂線，頂點與垂足的連線段叫做對邊上的高，據此可得答案．
【詳解】解：由三角形高的定義可得，四個選項中只有D選項中的圖形符合題意，
故選：D．
4．A
【分析】本題考查了三角形內角和定理．
根據三角形內角和定理，將角度比轉化為具體度數，判斷最大角的類型即可確定三角形的類別．
【詳解】解：設三個內角的度數分別為、、，
根據三角形內角和為，可得：
解得：
因此，三個內角分別為：，，
最大角為，小于，
故三個角均為銳角，
因此，該三角形是銳角三角形，
故選A．
5．B
【分析】本題考查了直角三角形兩個銳角互余，掌握直角三角形兩個銳角互余是解題的關鍵．
根據直角三角形兩個銳角互余即可求解．
【詳解】解：∵中，，
，
故選：B．
6．C
【分析】本題考查了三角形外角的定義，由圖可知，是的外角，根據即可求出答案．
【詳解】∵，，
∴．
故選：C．
7．B
【分析】本題考查的是三角形的中線，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．根據三角形的中線的概念得到，再根據三角形的周長公式計算即可．
【詳解】解：是△的中線，
，
與的周長差為7，
，
，
，
，
故選：B．
8．D
【分析】此題考查了三角形中線的性質，利用中線等分三角形的面積進行求解即可，解題的關鍵是熟練掌握三角形中線的性質及其應用．
【詳解】解：∵是邊上的中線，
∴，
∵是的中點，
∴，
故選：．
9．D
【分析】本題考查的是三角形的折疊問題，注意折疊前后的兩個圖形完全重合．由折疊可得：，，再根據三角形的內角和求出，最后根據平角數為定義即可求解．
【詳解】解： 由翻折得到，，
，，
，
．
故選：D．
10．D
【分析】本題主要考查三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．由角平分線的定義可得，再由三角形的內角和定理可求解，即可判定①；由角平分線的定義可得，結合三角形外角的性質可判定②；由三角形外角的性質可得，再利用角平分線的定義及三角形的內角和定理可判定③；利用三角形外角的性質可得，結合可判定④．
【詳解】解：∵，的平分線交于點，
∴，，
∴，
∴，
故①正確，符合題意；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故②正確，符合題意；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故③正確，符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正確，符合題意；
綜上正確的有：①②③④．
故選：D．
11．直角
【分析】本題考查了三角形的內角和，三角形的分類，根據三角形三個內角的比求出每個角的度數，即可判斷三角形的類型．
【詳解】解：設一份為，則三個內角的度數分別為，，，
則，
解得，
所以，，即三個內角的度數分別為，，，
故這個三角形是直角三角形．
故答案為：直角．
12．22
【分析】此題考查了三角形內角和定理，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是掌握以上知識點．
首先根據三角形內角和定理求出，然后根據直角三角形兩銳角互余求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴
∵
∴
∴．
故答案為：22．
13．
【分析】本題考查三角形中線的判定和性質，連接頂點和對邊中點的線段是三角形的中線，中線把三角形面積分成相等的兩個部分；由中線可得與面積相等，與面積相等，即的面積是面積的．
【詳解】解： 、分別是的邊、的中點，
是的中線，是的中線，
，，
．
故答案為： ．
14．
【分析】設的交點為M，的交點為Q，連接并延長到點N，
，利用三角形外角性質表示，的關系，解答即可．
本題考查了三角形內角和定理，三角形外角性質，熟練掌握定理和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：設的交點為M，的交點為Q，連接并延長到點N，
則，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
15．34或74
【分析】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據題意分情況討論是解決問題的關鍵．根據題意，由于類型不確定，需分三種情況：高在三角形內部、高在三角形邊上和高在三角形外部討論求解．
【詳解】解：根據題意，分三種情況討論：
高在三角形內部，如圖所示：
在中，為邊上的高，，
，
，
；
高在三角形邊上，如圖所示：
可知，
，
故此種情況不存在，舍棄；
高在三角形外部，如圖所示：
在中，為邊上的高，，
，
，
；
綜上所述：或，
故答案為：或．
16．
【分析】本題是找規律的題目，主要考查了三角形的外角性質及三角形的內角和定理，平分線的定義等知識，根據角平分線的定義，三角形的外角性質及三角形的內角和定理可知，，…，依此類推可知的度數，即可求解．
【詳解】解：∵和的平分線交于點，
∴，
∵，
∴
；
同理可得，，
…，
∴，
∴
故答案為：．
17．(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析
(3)畫圖見解析
【分析】本題考查的是畫三角形，三角形的分類；
（1）根據銳角三角形的定義畫銳角三角形的即可；
（2）根據直角三角形的定義畫直角三角形的即可；
（3）根據鈍角三角形的定義畫鈍角三角形的即可；
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：如圖，即為所求；
18．(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本題主要考查整式的加減運算、絕對值的意義、三角形的三邊關系及三角形的分類，熟練掌握整式的加減運算、絕對值的意義、三角形的三邊關系及三角形的分類是解題的關鍵；
（1）根據三角形的三邊關系可得，然后可去絕對值，進而問題可求解；
（2）根據三角形的三邊關系可得，則有，然后問題可求解．
【詳解】（1）解：∵的三邊長分別為，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根據三角形三邊關系可得，
∵第三邊的長為奇數，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
19．(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖—應用與設計，三角形的面積，三角形的重心等知識，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）重心是三角形中線的交點，作的中線，交于點，點即為所求；
（2）根據等高模型解決問題即可．
【詳解】（1）解：如圖，點即為所求，
（2）解：如圖，點或（）即為所求，
．
20．(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形的高的定義；
（1）在中，由，得出，由平分得出；
（2）根據角平分線以及三角形的高的定義，含的式子求出的度數即可；
【詳解】（1）在中，，
平分
（2）證明：在中，

平分


即．
21．(1)
(2)
【分析】此題考查了三角形的中線和高、角平分線有關的三角形內角和問題，熟練掌握三角形相關線段的性質是解題的關鍵．
（1）根據三角形的面積求出，再根據三角形中線得到的長；
（2）求出，由和三角形內角和定理即可求出答案．
【詳解】（1）解：∵為邊上的高，的面積為20，
∴，
∵，
∴，
∵點為邊上的中點，
∴．
（2）∵為邊上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
22．(1)
(2)
(3)5
【分析】本題主要考查了求三角形的面積，熟練掌握等面積法求線段的長是解題的關鍵．
（1）根據題意可得，即可求解；
（2）根據題意可得，即可求解；
（3）根據可得，再由，可得，即可求解．
【詳解】（1）解：∵在中，， ，
∴，
∵，，，
∴；
故答案為：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
（3）解：∵，
且，
∴，
又∵，
∴，
∵ ，，
∴．
23．（1）見解析 （2）30° （3）
【分析】本題主要考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，對頂角相等，利用類比的思想解答是解題的關鍵．
（1）根據三角形的內角和定理，對頂角相等，即可求證；
（2），得，再由角平分線的定義，得到 ，即可求解；
（3）利用（1）的結論及（2）的思路得、；結合、，推出、；代入得到含、、的兩個等式①②；對①式乘后與②式相加，消去、，整理得 。
【詳解】解：（1）和，
，．
，
（2）分別平分，
，
由（1）可知：
由①+②可得，
，即，
，，
．
（3）直接寫出結論：．
由（1）可知：，
，
，，
，，
①，
②，
由①②得：
，
．
24．（2），理由見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析；（4）
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、角平分線的定義、三角形外角的性質、角的和差等知識點，弄清角之間的關系成為解題的關鍵．
（1）由三角形內角和定理可得，再根據角平分線的定義可得、，易得，然后再根據三角形內角和定理即可解答；
（2）由角平分線的定義可得，易得，然后根據等量代換以及角的和差即可解答；
（3）由角平分線的定義可得，再根據三角形外角的性質可得，進而得到；同理可得，再根據等量代換即可解答；
（4）由角平分線的定義可得，再結合三角形內角和定理以及等量代換可得，再結合，運用等量代換即可解答．
【詳解】解：（1），理由如下：
∵在中，，
∴，
∵是∠ABC的平分線，
∴，
同理可得：
∴，
∵在中，，
∴；
（2），理由如下：
∵是的角平分線，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3），理由如下：
∵分別平分，
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（4），理由如下：
∵分別平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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