資源簡介

浙江省寧波市2025年九年級三模數學試卷
一、單選題
1．（2025·寧波三模）下列四個有理數中，既是整數又是負數的是（　?。?br/>A．4 B． C． D．0
2．（2025·寧波三模）國家能源局發布數據，2024年全國累計光伏發電量達到7830000000千瓦時，將7830000000用科學記數法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2025·寧波三模）如圖是由6個大小相同的小正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（　?。?br/>A． B．
C． D．
4．（2025·寧波三模）下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．2
5．（2025·寧波三模）甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數（單位：米）與方差如下表所示．
運動員 甲 乙 丙 丁
1.90 1.85 1.90 1.85
2.9 2.65 0.16 7.85
根據表中數據，從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025·寧波三模）下列選項中，可以用來說明命題是假命題的反例是（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2025·寧波三模）一張三角形紙片如圖所示，已知，若沿著虛線剪掉陰影部分紙片，記，則下列選項正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．無法比較α和的大小
8．（2025·寧波三模）已知數軸上的點A，B分別表示數a，，其中，．若，數在數軸上用點表示，則點A，B，C在數軸上的位置可能是（　?。?br/>A． B．
C． D．
9．（2025·寧波三模）已知點在反比例函數（為常數）的圖象上，若，且，則（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·寧波三模）如圖，在中，是的中線，延長至點，使，連接，若，，則的長為（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空題
11．（2025·寧波三模）分解因式：　 ?。?br/>12．（2025·寧波三模）如圖，已知A、B、C是⊙O上的三個點，∠ACB=110°，則∠AOB=　 ?。?br/>13．（2025·寧波三模）分式方程的解為　 ?。?br/>14．（2025·寧波三模）不透明的袋子中只裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出兩個球，則恰好抽到一個紅球和一個白球的概率是　 ?。?br/>15．（2025·寧波三模）如圖，在中，，為的中點，若為上一點，使得，且，則　 　．
16．（2025·寧波三模）如圖，在矩形中，為對角線的中點，，將繞著點順時針旋轉得到，連結交于點交于點．當時，則與四邊形的面積比為　 ?。?br/>三、解答題
17．（2025·寧波三模）計算：
18．（2025·寧波三模）解不等式組：
19．（2025·寧波三模）已知：如圖，是的一條對角線．延遲至點，反向延遲至點，使得．
（1）求證：．
（2）若，，求的度數．
20．（2025·寧波三模）教育部印發《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時間應達9小時．某初級中學為了解學生睡眠時間情況，從本校學生中隨機抽取500名進行問卷調查，調查問卷和統計結果描述如下：
調查問卷 1．近兩周你平均每天睡眠時間大約是 ▲ 小時． 如果你平均每天睡眠時間不足9小時，請回答第2個問題． 2．影響你睡眠時間的主要原因是 ▲ （單選）． A．校內課業負擔重 B．校外學習任務重 C．學習效率低 D．其他
500名學生平均每天睡眠時間統計表
組別 睡眠時間（小時） 人數
① 30
② 125
③ 145
④ 150
⑤ 50
睡眠不足9小時的學生中影響睡眠時間的主要原因統計圖
根據以上信息，解答下列問題：
（1）本次調查中，平均每天睡眠時間的中位數落在第 ▲ 組中，睡眠不足9小時學生人數占被調查人數的百分比為 ▲ ．
（2）若該校學生有3000學生，根據統計信息，平均每天睡眠時間不足9小時的學生中，估計睡眠時間受“學習效率低”影響的學生人數．
21．（2025·寧波三模）如圖，在中，，利用尺規以點為圓心，線段的長為半徑作弧，交于點，分別以點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線，交邊于點．
（1）求證：．
（2）求的長．
22．（2025·寧波三模）小明和小白兩人從同一地方出發，分別自駕前往外的景點游玩，小明與小白在服務區均休息了一次，每人每次休息30分鐘．行駛過程中，兩人的速度始終保持不變，具體時間與路程信息如圖所示．
（1）求兩人的行駛速度．
（2）求小白休息后的（段）行駛路程關于時間x的函數．
（3）求小明追上小白時的時間a．
23．（2025·寧波三模）如圖，二次函數的圖象與軸交于兩點，與軸交于點．
（1）求二次函數解析式和頂點坐標．
（2）坐標平面內存在點P，滿足向左、向右或向下平移個單位后均落在二次函數圖象上，求平移的距離．
（3）在二次函數圖象上取點（不與點重合），使得在之間的圖象上（含兩點），該二次函數最大值與最小值的和等于1，請直接寫出點的坐標．
24．（2025·寧波三模）如圖，四邊形為圓的內接四邊形，連結和，在的延長線上取一點，連結，延長交于點．
（1）若為的中點，，求的度數．
（2）當時，
①求證：．
②若點為的中點，求證：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】自然數及整數的概念；正數、負數的概念與分類
【解析】【解答】解：A. 4既是整數又是正數，該選項不符合題意；
B.-5.5既是分數又是負數，該選項不符合題意；
C. -2既是整數又是負數，該選項符合題意；
D. 0是整數不是負數，該選項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據整數和負數的定義對每個選項逐一判斷求解即可.
2．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 7830000000=7.83×109，
故答案為：C.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數。根據科學記數法的定義計算求解即可.
3．【答案】A
【知識點】小正方體組合體的三視圖
【解析】【解答】解：根據從正面看的圖形是主視圖可知該幾何體的主視圖是
，
故答案為：A.
【分析】根據從正面看的圖形是主視圖對每個選項逐一判斷求解即可.
4．【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A.，運算錯誤，不符合題意；
B.，運算錯誤，不符合題意；
C.，運算正確，符合題意；
D.，運算錯誤，不符合題意；
故答案為：C.
【分析】利用同底數冪的乘除法則，冪的乘方，積的乘方以及合并同類項法則計算求解即可.
5．【答案】C
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：∵1.90＞1.85，
∴甲和丙的平均數大于乙和丁的平均數，
∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，
∵2.9＞0.16，
∴甲的方差大于乙的方差，
∴應該選擇丙參加比賽，
故答案為：C.
【分析】結合表格中的數據，根據平均數和方差求解即可.
6．【答案】B
【知識點】舉反例判斷命題真假；化簡含絕對值有理數
【解析】【解答】解：A.當a=2時，|a|=a，不能說明命題是假命題，不符合題意；
B.當a=-4時，|a|=-a，能說明命題是假命題，符合題意；
C.當a=0時，|a|=a，不能說明命題是假命題，不符合題意；
D.當a=5時，|a|=a，不能說明命題是假命題，不符合題意；
故答案為：B.
【分析】根據絕對值的性質，對每個選項逐一判斷求解即可.
7．【答案】A
【知識點】三角形內角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴ ，
故答案為：A.
【分析】根據三角形的內角和求出∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，再求出∠B+∠C=∠1+∠2，最后計算求解即可.
8．【答案】D
【知識點】有理數在數軸上的表示
【解析】【解答】解：∵，，
∴點A在-1和0之間，點B在0和1之間，-1＜-b＜0，
∴-2＜a-b＜0，
∴選項D符合題意，
故答案為：D.
【分析】根據題意先求出點A在-1和0之間，點B在0和1之間，-1＜-b＜0，再求出-2＜a-b＜0，最后對每個選項逐一判斷求解即可.
9．【答案】B
【知識點】反比例函數的圖象；反比例函數的性質
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵ 點在反比例函數（為常數）的圖象上，
∴，
∴ ，
故答案為：B.
【分析】根據題意先求出，再求出，最后判斷求解即可.
10．【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；解直角三角形；三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，延長CD交AE于點G，過點B作BF⊥AB于點F，
∴∠AFB=90°，
∵，
∴∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，
∴∠AGD=180°-∠EAB-∠ADG=90°，AG=DG，AF=BF，
∴CG//BF，
∵，
∴，，
∴，
∴FG=AF-AG=3，
∵CG//BF，
∴，
∵，
∴，
∴EF=9，
∴，
∴，
故答案為：D.
【分析】根據題意先求出∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，再根據平行線分線段成比例求出，最后利用勾股定理計算求解即可.
11．【答案】
【知識點】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】提公因式a，分解即可。
12．【答案】140°
【知識點】圓周角定理；圓內接四邊形的性質
【解析】【解答】解：如圖所示，取點D，連接AD，BD，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ACB=110°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案為：140°.
【分析】根據圓內接四邊形的性質求出∠ADB+∠ACB=180°，再求出∠ADB=180°-∠ACB=70°，最后根據圓周角的定理計算求解即可.
13．【答案】x=1
【知識點】分式方程的解及檢驗
【解析】【解答】解： 分式方程 ，
兩邊都乘以（x-3）得，2+x-3=0，
解得：x=1，
經檢驗x=1是原方程的根，
所以分式方程的解為x=1，
故答案為：x=1.
【分析】先去分母求出2+x-3=0，再解方程并檢驗求解即可.
14．【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：設紅球為A，2個白球為B1，B2，列表如下：
　 A B1 B2
A / （A，B1） （A，B2）
B1 （B1，A） / （B1，B2）
B2 （B2，A） （B2，B1） /
由表格可知，共有6種等可能的結果，其中恰好抽到一個紅球和一個白球的情況有4種，
∴ 恰好抽到一個紅球和一個白球的概率是，
故答案為：.
【分析】先列表，再求出共有6種等可能的結果，其中恰好抽到一個紅球和一個白球的情況有4種，最后利用概率公式計算求解即可.
15．【答案】13
【知識點】三角形外角的概念及性質；勾股定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：∵， D為AC的中點，
∴BD=AD=CD，
∴∠CBD=∠C，
∵∠AEB=∠ADB，∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠DBC=∠EAC=∠C，
∴AE=CE，
∵，
∴，
故答案為：13.
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線求出BD=AD=CD，再根據三角形的外角性質求出∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，最后利用勾股定理計算求解即可.
16．【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理；矩形的性質；相似三角形的判定；旋轉的性質
【解析】【解答】解：如圖所示，連接OD，
由題意可得：△AOD≌△EOF，
∴∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，
設AB=3m，則BC=AD=EF=4m，
∴，
∴AO=OC=OD=，
∴，
∴∠OAD=∠BDA，
∴∠E=∠DAO=∠F=∠ADO，
∵∠E=∠AOM，∠ENM=∠DAO，
∴∠E=∠AOM=∠ENM=∠DAO=∠F=∠ADO，
∴，AM=OM，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：.
【分析】利用全等三角形的性質求出∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，再利用勾股定理求出，最后根據相似三角形的判定與性質計算求解即可.
17．【答案】解：
【知識點】負整數指數冪；化簡含絕對值有理數；開立方（求立方根）
【解析】【分析】利用絕對值，立方根和負整數指數冪計算求解即可.
18．【答案】解：
解不等式①，得：x≤-3，
解不等式②，得：x＜-5，
所以不等式組的解集為：x＜-5.
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】利用不等式的性質求出x≤-3，x＜-5，再求出不等式組的解集即可.
19．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵∠BCF=180°-ACB，∠DAE=180°-∠CAD，
∴∠DAE=∠BCF，
∵在△ADE和△CBF中，AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴∠E=∠F=15°，
∵∠DAC=35°，
∴∠EDA=∠DAC-∠E=20°.
【知識點】三角形全等及其性質；平行四邊形的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質求出AD=BC，AD//BC，再求出∠DAE=∠BCF，最后利用SAS證明三角形全等即可；
（2）根據全等三角形的性質求出∠E=∠F=15°，再根據∠DAC=35°計算求解即可.
20．【答案】（1）③；60%
（2）解：3000×60%=1800（人），
1800×（1-35%-37%-18%）=180（人）
答：睡眠時間受“學習效率低”影響的學生人數約為180人.
【知識點】用樣本估計總體；頻數（率）分布表；扇形統計圖；中位數
【解析】【解答】解：（1）∵ 從本校學生中隨機抽取500名進行問卷調查，
∴中位數應為該組數據按從小到大或從大到小排列的第250和251個數據的平均數，
∵30+125=155＜250，30+125+145=300＞251，
∴ 本次調查中，平均每天睡眠時間的中位數落在第③組中，
由題意可得：30+125+145=300（人），
∴睡眠不足9小時學生人數占被調查人數的百分比為：，
故答案為：③；60%。
【分析】（1）根據題意先求出中位數應為該組數據按從小到大或從大到小排列的第250和251個數據的平均數，再結合表格數據計算求解即可；
（2）先求出平均每天睡眠時間不足9小時的學生人數，再根據樣本估計總體計算求解即可.
21．【答案】（1）證明：如圖，連接AD，BE，DE，
∴AB=AD，BE=DE，
∴點A、E在線段BD的垂直平分線上，
∴AE垂直平分BD，
∴AE⊥BC.
（2）解：設BF=DF=x，則CF=BC-BF=6-x，
∵∠AFB=∠AFC=90°，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；線段垂直平分線的判定
【解析】【分析】（1）根據圖形先求出AB=AD，BE=DE，再求出點A、E在線段BD的垂直平分線上，最后證明求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再解方程求出x的值，最后計算求解即可.
22．【答案】（1）解：30分鐘=0.5小時，
小明的行駛速度為：，
小白的行駛速度為：.
（2）解：由題意可得：1+0.5=1.5，
∴點A的坐標為（1.5，80），
設小白休息后的（段）行駛路程關于時間x的函數解析式為y=80x+b，
∴80=80×1.5+b，
解得：b=-40，
∴小白休息后的（段）行駛路程關于時間x的函數解析式為y=80x-40.
（3）解：設小白休息后的行駛路程關于時間x的函數解析式為y=100x+m，
將（2.2，120）代入y=100x+m，得：120=100×2.2+m，
解得：m=-100，
∴y=100x-100，
由題意可得：80x-40=100x-100，
解得：x=3，
∴ 小明追上小白時的時間a=3.
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【分析】（1）根據“路程÷時間=速度”結合函數圖象計算求解即可；
（2）先求出點A的坐標為（1.5，80），再利用待定系數法求函數解析式即可；
（3）利用待定系數法求出y=100x-100，再求出80x-40=100x-100，最后計算求解即可.
23．【答案】（1）解：∵ 二次函數的圖象與軸交于兩點，
∴將點A和點B的坐標代入可得：，
解得：，
∴二次函數的解析式為：，
∵，
∴頂點坐標為（1，-4）.
（2）解：∵ 點P滿足向左、向右或向下平移個單位后均落在二次函數圖象上，
∴點P在對稱軸上，
設P（1，m-4），
∴點P向右平移m個單位后的坐標為（m+1，m-4），
∴，
解得：m=0（舍去）或m=1，
即平移的距離m=1.
（3）解：點D的坐標為或.
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數與一元二次方程的綜合應用；沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：點D的坐標為或.理由如下：
∵當x=0時，y=-3，
∴點C的坐標為（0，-3），
當點D在點C左側時，二次函數的最小值為-3，
∵ 在之間的圖象上（含兩點），該二次函數最大值與最小值的和等于1，
∴點D的縱坐標為4，
∴，
解得：（舍去）或，
∴點D的坐標為；
當點D在對稱軸右側時，二次函數的最小值為-4，
∵ 在之間的圖象上（含兩點），該二次函數最大值與最小值的和等于1，
∴點D的縱坐標為5，
∴，
解得：（舍去）或（舍去），
∴點D的坐標為（4，5），
當點D在點C右側且在對稱軸左側時，二次函數的最大值為-3，不符合題意，舍去，
綜上所述：點D的坐標為或.
【分析】（1）將點A和點B的坐標代入計算求解即可；
（2）先求出點P在對稱軸上，再求出點P向右平移m個單位后的坐標為（m+1，m-4），最后解方程計算求解即可；
（3）先求出點C的坐標為（0，-3），再分類討論，計算求解即可.
24．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD 為圓的內接四邊形，為的中點，
∴，
∴∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，
∵，
∴∠BAC=∠CAD=25°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=50°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠DBA=50°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠DBA=80°.
（2）①證明：∵ 四邊形為圓的內接四邊形，延長交于點，
∴∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，
∴∠DAB=∠FCD，
∵∠DAB=∠ABD，
∴∠FCD=∠ABD，
∵DE//AB，
∴∠FDB=∠ABD，
∴∠FDB=∠FCD，
∵∠DFC=∠BFD，
∴.
②∵，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠CDE=∠DAE，
∵∠AED=∠DEC，
∴，
∴，
∴，
∵AB//DE，
∴，
∴，
∵點F為DE的中點，
∴DE=2EF，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠DAB，
∴∠DAB=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∵∠FDC=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD=BD，
∴．
【知識點】平行線的性質；三角形內角和定理；圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據題意先求出∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，再求出∠BAC=∠CAD=25°，最后利用三角形的內角和定理計算求解即可；
（2）①根據圓內接四邊形的性質求出∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，再根據平行線的性質求出∠FDB=∠ABD，最后根據相似三角形的判定方法證明求解即可；
②根據相似三角形的判定方法求出，再根據相似三角形的性質求出，最后證明求解即可.
1 / 1浙江省寧波市2025年九年級三模數學試卷
一、單選題
1．（2025·寧波三模）下列四個有理數中，既是整數又是負數的是（　?。?br/>A．4 B． C． D．0
【答案】C
【知識點】自然數及整數的概念；正數、負數的概念與分類
【解析】【解答】解：A. 4既是整數又是正數，該選項不符合題意；
B.-5.5既是分數又是負數，該選項不符合題意；
C. -2既是整數又是負數，該選項符合題意；
D. 0是整數不是負數，該選項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據整數和負數的定義對每個選項逐一判斷求解即可.
2．（2025·寧波三模）國家能源局發布數據，2024年全國累計光伏發電量達到7830000000千瓦時，將7830000000用科學記數法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 7830000000=7.83×109，
故答案為：C.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數。根據科學記數法的定義計算求解即可.
3．（2025·寧波三模）如圖是由6個大小相同的小正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】小正方體組合體的三視圖
【解析】【解答】解：根據從正面看的圖形是主視圖可知該幾何體的主視圖是
，
故答案為：A.
【分析】根據從正面看的圖形是主視圖對每個選項逐一判斷求解即可.
4．（2025·寧波三模）下列運算正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．2
【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A.，運算錯誤，不符合題意；
B.，運算錯誤，不符合題意；
C.，運算正確，符合題意；
D.，運算錯誤，不符合題意；
故答案為：C.
【分析】利用同底數冪的乘除法則，冪的乘方，積的乘方以及合并同類項法則計算求解即可.
5．（2025·寧波三模）甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數（單位：米）與方差如下表所示．
運動員 甲 乙 丙 丁
1.90 1.85 1.90 1.85
2.9 2.65 0.16 7.85
根據表中數據，從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（　?。?br/>A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：∵1.90＞1.85，
∴甲和丙的平均數大于乙和丁的平均數，
∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，
∵2.9＞0.16，
∴甲的方差大于乙的方差，
∴應該選擇丙參加比賽，
故答案為：C.
【分析】結合表格中的數據，根據平均數和方差求解即可.
6．（2025·寧波三模）下列選項中，可以用來說明命題是假命題的反例是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】舉反例判斷命題真假；化簡含絕對值有理數
【解析】【解答】解：A.當a=2時，|a|=a，不能說明命題是假命題，不符合題意；
B.當a=-4時，|a|=-a，能說明命題是假命題，符合題意；
C.當a=0時，|a|=a，不能說明命題是假命題，不符合題意；
D.當a=5時，|a|=a，不能說明命題是假命題，不符合題意；
故答案為：B.
【分析】根據絕對值的性質，對每個選項逐一判斷求解即可.
7．（2025·寧波三模）一張三角形紙片如圖所示，已知，若沿著虛線剪掉陰影部分紙片，記，則下列選項正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．無法比較α和的大小
【答案】A
【知識點】三角形內角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴ ，
故答案為：A.
【分析】根據三角形的內角和求出∠B+∠C=180°-∠A，∠1+∠2=180°-∠A，再求出∠B+∠C=∠1+∠2，最后計算求解即可.
8．（2025·寧波三模）已知數軸上的點A，B分別表示數a，，其中，．若，數在數軸上用點表示，則點A，B，C在數軸上的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】有理數在數軸上的表示
【解析】【解答】解：∵，，
∴點A在-1和0之間，點B在0和1之間，-1＜-b＜0，
∴-2＜a-b＜0，
∴選項D符合題意，
故答案為：D.
【分析】根據題意先求出點A在-1和0之間，點B在0和1之間，-1＜-b＜0，再求出-2＜a-b＜0，最后對每個選項逐一判斷求解即可.
9．（2025·寧波三模）已知點在反比例函數（為常數）的圖象上，若，且，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】反比例函數的圖象；反比例函數的性質
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵ 點在反比例函數（為常數）的圖象上，
∴，
∴ ，
故答案為：B.
【分析】根據題意先求出，再求出，最后判斷求解即可.
10．（2025·寧波三模）如圖，在中，是的中線，延長至點，使，連接，若，，則的長為（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；勾股定理；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；解直角三角形；三角形的中線
【解析】【解答】解：如圖，延長CD交AE于點G，過點B作BF⊥AB于點F，
∴∠AFB=90°，
∵，
∴∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，
∴∠AGD=180°-∠EAB-∠ADG=90°，AG=DG，AF=BF，
∴CG//BF，
∵，
∴，，
∴，
∴FG=AF-AG=3，
∵CG//BF，
∴，
∵，
∴，
∴EF=9，
∴，
∴，
故答案為：D.
【分析】根據題意先求出∠ADG=∠BDC=45°，∠ABF=90°-∠EAB=45°，再根據平行線分線段成比例求出，最后利用勾股定理計算求解即可.
二、填空題
11．（2025·寧波三模）分解因式：　 ?。?br/>【答案】
【知識點】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】提公因式a，分解即可。
12．（2025·寧波三模）如圖，已知A、B、C是⊙O上的三個點，∠ACB=110°，則∠AOB=　 ?。?br/>【答案】140°
【知識點】圓周角定理；圓內接四邊形的性質
【解析】【解答】解：如圖所示，取點D，連接AD，BD，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ACB=110°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠ADB=140°，
故答案為：140°.
【分析】根據圓內接四邊形的性質求出∠ADB+∠ACB=180°，再求出∠ADB=180°-∠ACB=70°，最后根據圓周角的定理計算求解即可.
13．（2025·寧波三模）分式方程的解為　 　．
【答案】x=1
【知識點】分式方程的解及檢驗
【解析】【解答】解： 分式方程 ，
兩邊都乘以（x-3）得，2+x-3=0，
解得：x=1，
經檢驗x=1是原方程的根，
所以分式方程的解為x=1，
故答案為：x=1.
【分析】先去分母求出2+x-3=0，再解方程并檢驗求解即可.
14．（2025·寧波三模）不透明的袋子中只裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出兩個球，則恰好抽到一個紅球和一個白球的概率是　 ?。?br/>【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：設紅球為A，2個白球為B1，B2，列表如下：
　 A B1 B2
A / （A，B1） （A，B2）
B1 （B1，A） / （B1，B2）
B2 （B2，A） （B2，B1） /
由表格可知，共有6種等可能的結果，其中恰好抽到一個紅球和一個白球的情況有4種，
∴ 恰好抽到一個紅球和一個白球的概率是，
故答案為：.
【分析】先列表，再求出共有6種等可能的結果，其中恰好抽到一個紅球和一個白球的情況有4種，最后利用概率公式計算求解即可.
15．（2025·寧波三模）如圖，在中，，為的中點，若為上一點，使得，且，則　 ?。?br/>【答案】13
【知識點】三角形外角的概念及性質；勾股定理；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：∵， D為AC的中點，
∴BD=AD=CD，
∴∠CBD=∠C，
∵∠AEB=∠ADB，∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠DBC=∠EAC=∠C，
∴AE=CE，
∵，
∴，
故答案為：13.
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線求出BD=AD=CD，再根據三角形的外角性質求出∠AEB=∠EAC+∠C，∠ADB=∠DBC+∠C，最后利用勾股定理計算求解即可.
16．（2025·寧波三模）如圖，在矩形中，為對角線的中點，，將繞著點順時針旋轉得到，連結交于點交于點．當時，則與四邊形的面積比為　 　．
【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理；矩形的性質；相似三角形的判定；旋轉的性質
【解析】【解答】解：如圖所示，連接OD，
由題意可得：△AOD≌△EOF，
∴∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，
設AB=3m，則BC=AD=EF=4m，
∴，
∴AO=OC=OD=，
∴，
∴∠OAD=∠BDA，
∴∠E=∠DAO=∠F=∠ADO，
∵∠E=∠AOM，∠ENM=∠DAO，
∴∠E=∠AOM=∠ENM=∠DAO=∠F=∠ADO，
∴，AM=OM，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：.
【分析】利用全等三角形的性質求出∠DAO=∠E，∠ADO=∠F，AD=EF，AO=OE，再利用勾股定理求出，最后根據相似三角形的判定與性質計算求解即可.
三、解答題
17．（2025·寧波三模）計算：
【答案】解：
【知識點】負整數指數冪；化簡含絕對值有理數；開立方（求立方根）
【解析】【分析】利用絕對值，立方根和負整數指數冪計算求解即可.
18．（2025·寧波三模）解不等式組：
【答案】解：
解不等式①，得：x≤-3，
解不等式②，得：x＜-5，
所以不等式組的解集為：x＜-5.
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】利用不等式的性質求出x≤-3，x＜-5，再求出不等式組的解集即可.
19．（2025·寧波三模）已知：如圖，是的一條對角線．延遲至點，反向延遲至點，使得．
（1）求證：．
（2）若，，求的度數．
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵∠BCF=180°-ACB，∠DAE=180°-∠CAD，
∴∠DAE=∠BCF，
∵在△ADE和△CBF中，AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴∠E=∠F=15°，
∵∠DAC=35°，
∴∠EDA=∠DAC-∠E=20°.
【知識點】三角形全等及其性質；平行四邊形的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質求出AD=BC，AD//BC，再求出∠DAE=∠BCF，最后利用SAS證明三角形全等即可；
（2）根據全等三角形的性質求出∠E=∠F=15°，再根據∠DAC=35°計算求解即可.
20．（2025·寧波三模）教育部印發《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時間應達9小時．某初級中學為了解學生睡眠時間情況，從本校學生中隨機抽取500名進行問卷調查，調查問卷和統計結果描述如下：
調查問卷 1．近兩周你平均每天睡眠時間大約是 ▲ 小時． 如果你平均每天睡眠時間不足9小時，請回答第2個問題． 2．影響你睡眠時間的主要原因是 ▲ （單選）． A．校內課業負擔重 B．校外學習任務重 C．學習效率低 D．其他
500名學生平均每天睡眠時間統計表
組別 睡眠時間（小時） 人數
① 30
② 125
③ 145
④ 150
⑤ 50
睡眠不足9小時的學生中影響睡眠時間的主要原因統計圖
根據以上信息，解答下列問題：
（1）本次調查中，平均每天睡眠時間的中位數落在第 ▲ 組中，睡眠不足9小時學生人數占被調查人數的百分比為 ▲ ．
（2）若該校學生有3000學生，根據統計信息，平均每天睡眠時間不足9小時的學生中，估計睡眠時間受“學習效率低”影響的學生人數．
【答案】（1）③；60%
（2）解：3000×60%=1800（人），
1800×（1-35%-37%-18%）=180（人）
答：睡眠時間受“學習效率低”影響的學生人數約為180人.
【知識點】用樣本估計總體；頻數（率）分布表；扇形統計圖；中位數
【解析】【解答】解：（1）∵ 從本校學生中隨機抽取500名進行問卷調查，
∴中位數應為該組數據按從小到大或從大到小排列的第250和251個數據的平均數，
∵30+125=155＜250，30+125+145=300＞251，
∴ 本次調查中，平均每天睡眠時間的中位數落在第③組中，
由題意可得：30+125+145=300（人），
∴睡眠不足9小時學生人數占被調查人數的百分比為：，
故答案為：③；60%。
【分析】（1）根據題意先求出中位數應為該組數據按從小到大或從大到小排列的第250和251個數據的平均數，再結合表格數據計算求解即可；
（2）先求出平均每天睡眠時間不足9小時的學生人數，再根據樣本估計總體計算求解即可.
21．（2025·寧波三模）如圖，在中，，利用尺規以點為圓心，線段的長為半徑作弧，交于點，分別以點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線，交邊于點．
（1）求證：．
（2）求的長．
【答案】（1）證明：如圖，連接AD，BE，DE，
∴AB=AD，BE=DE，
∴點A、E在線段BD的垂直平分線上，
∴AE垂直平分BD，
∴AE⊥BC.
（2）解：設BF=DF=x，則CF=BC-BF=6-x，
∵∠AFB=∠AFC=90°，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；線段垂直平分線的判定
【解析】【分析】（1）根據圖形先求出AB=AD，BE=DE，再求出點A、E在線段BD的垂直平分線上，最后證明求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再解方程求出x的值，最后計算求解即可.
22．（2025·寧波三模）小明和小白兩人從同一地方出發，分別自駕前往外的景點游玩，小明與小白在服務區均休息了一次，每人每次休息30分鐘．行駛過程中，兩人的速度始終保持不變，具體時間與路程信息如圖所示．
（1）求兩人的行駛速度．
（2）求小白休息后的（段）行駛路程關于時間x的函數．
（3）求小明追上小白時的時間a．
【答案】（1）解：30分鐘=0.5小時，
小明的行駛速度為：，
小白的行駛速度為：.
（2）解：由題意可得：1+0.5=1.5，
∴點A的坐標為（1.5，80），
設小白休息后的（段）行駛路程關于時間x的函數解析式為y=80x+b，
∴80=80×1.5+b，
解得：b=-40，
∴小白休息后的（段）行駛路程關于時間x的函數解析式為y=80x-40.
（3）解：設小白休息后的行駛路程關于時間x的函數解析式為y=100x+m，
將（2.2，120）代入y=100x+m，得：120=100×2.2+m，
解得：m=-100，
∴y=100x-100，
由題意可得：80x-40=100x-100，
解得：x=3，
∴ 小明追上小白時的時間a=3.
【知識點】一次函數的實際應用-行程問題
【解析】【分析】（1）根據“路程÷時間=速度”結合函數圖象計算求解即可；
（2）先求出點A的坐標為（1.5，80），再利用待定系數法求函數解析式即可；
（3）利用待定系數法求出y=100x-100，再求出80x-40=100x-100，最后計算求解即可.
23．（2025·寧波三模）如圖，二次函數的圖象與軸交于兩點，與軸交于點．
（1）求二次函數解析式和頂點坐標．
（2）坐標平面內存在點P，滿足向左、向右或向下平移個單位后均落在二次函數圖象上，求平移的距離．
（3）在二次函數圖象上取點（不與點重合），使得在之間的圖象上（含兩點），該二次函數最大值與最小值的和等于1，請直接寫出點的坐標．
【答案】（1）解：∵ 二次函數的圖象與軸交于兩點，
∴將點A和點B的坐標代入可得：，
解得：，
∴二次函數的解析式為：，
∵，
∴頂點坐標為（1，-4）.
（2）解：∵ 點P滿足向左、向右或向下平移個單位后均落在二次函數圖象上，
∴點P在對稱軸上，
設P（1，m-4），
∴點P向右平移m個單位后的坐標為（m+1，m-4），
∴，
解得：m=0（舍去）或m=1，
即平移的距離m=1.
（3）解：點D的坐標為或.
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；二次函數與一元二次方程的綜合應用；沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：點D的坐標為或.理由如下：
∵當x=0時，y=-3，
∴點C的坐標為（0，-3），
當點D在點C左側時，二次函數的最小值為-3，
∵ 在之間的圖象上（含兩點），該二次函數最大值與最小值的和等于1，
∴點D的縱坐標為4，
∴，
解得：（舍去）或，
∴點D的坐標為；
當點D在對稱軸右側時，二次函數的最小值為-4，
∵ 在之間的圖象上（含兩點），該二次函數最大值與最小值的和等于1，
∴點D的縱坐標為5，
∴，
解得：（舍去）或（舍去），
∴點D的坐標為（4，5），
當點D在點C右側且在對稱軸左側時，二次函數的最大值為-3，不符合題意，舍去，
綜上所述：點D的坐標為或.
【分析】（1）將點A和點B的坐標代入計算求解即可；
（2）先求出點P在對稱軸上，再求出點P向右平移m個單位后的坐標為（m+1，m-4），最后解方程計算求解即可；
（3）先求出點C的坐標為（0，-3），再分類討論，計算求解即可.
24．（2025·寧波三模）如圖，四邊形為圓的內接四邊形，連結和，在的延長線上取一點，連結，延長交于點．
（1）若為的中點，，求的度數．
（2）當時，
①求證：．
②若點為的中點，求證：．
【答案】（1）解：∵四邊形ABCD 為圓的內接四邊形，為的中點，
∴，
∴∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，
∵，
∴∠BAC=∠CAD=25°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=50°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠DBA=50°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠DBA=80°.
（2）①證明：∵ 四邊形為圓的內接四邊形，延長交于點，
∴∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，
∴∠DAB=∠FCD，
∵∠DAB=∠ABD，
∴∠FCD=∠ABD，
∵DE//AB，
∴∠FDB=∠ABD，
∴∠FDB=∠FCD，
∵∠DFC=∠BFD，
∴.
②∵，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠CDE=∠DAE，
∵∠AED=∠DEC，
∴，
∴，
∴，
∵AB//DE，
∴，
∴，
∵點F為DE的中點，
∴DE=2EF，
∴，
∴，
∵∠DCF=∠DAB，
∴∠DAB=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCF=∠ACD，
∵∠FDC=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD=BD，
∴．
【知識點】平行線的性質；三角形內角和定理；圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據題意先求出∠CDB=∠BAC=∠CAD=25°，再求出∠BAC=∠CAD=25°，最后利用三角形的內角和定理計算求解即可；
（2）①根據圓內接四邊形的性質求出∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB+∠FCD=180°，再根據平行線的性質求出∠FDB=∠ABD，最后根據相似三角形的判定方法證明求解即可；
②根據相似三角形的判定方法求出，再根據相似三角形的性質求出，最后證明求解即可.
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