資源簡介

2024-2025學年江蘇省南京師大附中新城中學八年級（上）期中數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．（2分）下面四個博物館圖標中不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）正方形的面積是13，估計它的邊長大小在（　　）
A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間
3．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列條件能判斷△ABC為直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝7：40：41 D．∠A＝40°，∠B＝70°
4．（2分）在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，則∠B的度數是（　　）
A．70° B．55°
C．55°或70° D．40°或55°或70°
5．（2分）如圖，若△ABC≌△DEF，四個點B、E、C、F在同一直線上，BF＝9，EC＝5，則CF的長是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．（2分）如圖，圖1是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為22，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（　　）
A．38 B．40 C．42 D．44
7．（2分）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC＝14，若過△ABC的頂點的一條直線將△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為6的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（　　）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
8．（2分）下列條件中，能判斷兩個三角形全等的是（　　）
A．兩個面積相等的等腰三角形
B．兩邊及第三邊上的中線對應相等
C．兩個周長相等的等腰三角形
D．兩邊及第三邊上的高線對應相等
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
9．（2分）9的算術平方根是 　 　．
10．（2分）比較大小：﹣　 　﹣3．（填：“＞、＜、＝”）
11．（2分）等腰三角形的對稱軸是　 　．
12．（2分）已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、10cm，則該等腰三角形的周長為 　 　cm．
13．（2分）如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且AD＝CD＝BD．若∠C＝25°，則∠ADB的度數為 　 　°．
14．（2分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，且△ABD的面積為4，則△ABC的面積為 　 　．
15．（2分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，邊AB上的高為3，則BC＝ 　 　．
16．（2分）如圖，△ABC≌△DEC，點E在線段AB上，∠B＝75°，則∠ACD的度數為 　 　°．
17．（2分）如圖，在同一平面內，直線l同側有三個正方形A，B，C，若A，C的面積分別為25和9，則陰影部分的總面積為 　 　．
18．（2分）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．則下列結論①BF＝AC；②；③DG＝FG；④BD+DF＝BC；其中正確的有 　 　．（填序號）
三、解答題（本大題共7小題，共64分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別在邊AB、AC上，且BD＝CE．求證：BE＝CD．
20．（8分）如圖，已知△ABC（AB＜BC），用不帶刻度的直尺和圓規完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（1）在圖1中，作△ABC的高BD；
（2）在圖2中，在邊BC上求作一點E，使得△ABE與△ACE的面積相等．
21．（8分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中點，F是CD上一點，且，求證：∠AEF＝90°．
22．（8分）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點都在小正方形的頂點上．
（1）在圖中利用無刻度直尺畫出線段AB的垂直平分線EF；
（2）在圖中利用無刻度直尺畫出線段BC的垂直平分線l．
23．（10分）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA．
（1）求證：；
（2）當點D在CB延長線上時，其他條件不變，直接寫出∠DAE與∠BAC的關系．
24．（12分）閱讀材料：勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關于a、b、c的方程，我們知道這個方程有無數組解，滿足該方程的正整數解（a，b，c）通常叫做勾股數組，我國古籍《周髀算經》中記載的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一組最簡單的勾股數．為了進一步了解勾股數的奧秘，數學劉老師給出下面的兩個表格．（以下a，b，c為Rt△ABC的三邊，且a＜b＜c）
表1
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
表2
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
（1）請你根據上述表格的規律寫出勾股數：11、　 　、　 　；
（2）當a＝2n+1（n為奇數，且n≥3）時，若b＝ 　 　，c＝ 　 　時可以構造出勾股數（用含n的代數式表示）；并證明你的猜想；
（3）構造勾股數的方法很多，請你尋找當a或b＝20時，c＝ 　 　．（寫出所有滿足條件的c）．
25．（10分）數學書第69頁數學活動《折紙與證明》中提到：折紙，常常能夠為證明一個命題提供思路和方法．
【初步體驗】
操作①：取一張矩形A4紙ABMN，將AB邊折疊到BM邊上，折痕為BD，點A的對應點為C．（如圖1所示）
操作②：將BD折疊到BM邊上，折痕為BO．（如圖2所示）
（1）若BD與BM恰好重合，則AN：AB＝ 　 　．
【初步探究】
在操作①中，沿CD剪開，易得一張正方形紙ABCD，讓我們繼續折疊下去…
操作③：把正方形ABCD對折后再展開，折痕為EF；
操作④：點N在邊AB上，翻折△CBN，使得點B落在折痕EF上的點H處，連接BH，則△CBH是等邊三角形．（如圖3所示）
（2）求證：△CBH是等邊三角形；
【深入探究】
操作⑤：把正方形ABCD對折后再展開，折痕為EF；
操作⑥：將AB沿BE翻折到BP位置，延長EP交CD于點Q，則點Q是CD的三等分點．（如圖4所示）
（3）通過計算證明：點Q是CD的三等分點．
2024-2025學年江蘇省南京師大附中新城中學八年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．（2分）下面四個博物館圖標中不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．（2分）正方形的面積是13，估計它的邊長大小在（　　）
A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間
【答案】B
3．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列條件能判斷△ABC為直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝7：40：41 D．∠A＝40°，∠B＝70°
【答案】A
4．（2分）在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，則∠B的度數是（　　）
A．70° B．55°
C．55°或70° D．40°或55°或70°
【答案】D
5．（2分）如圖，若△ABC≌△DEF，四個點B、E、C、F在同一直線上，BF＝9，EC＝5，則CF的長是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
6．（2分）如圖，圖1是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為22，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（　　）
A．38 B．40 C．42 D．44
【答案】B
7．（2分）如圖，已知△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC＝14，若過△ABC的頂點的一條直線將△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為6的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（　　）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【答案】C
8．（2分）下列條件中，能判斷兩個三角形全等的是（　　）
A．兩個面積相等的等腰三角形
B．兩邊及第三邊上的中線對應相等
C．兩個周長相等的等腰三角形
D．兩邊及第三邊上的高線對應相等
【答案】B
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
9．（2分）9的算術平方根是 　3　．
10．（2分）比較大小：﹣　＞　﹣3．（填：“＞、＜、＝”）
11．（2分）等腰三角形的對稱軸是　底邊上的高（頂角平分線或底邊的中線）所在的直線　．
12．（2分）已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm、10cm，則該等腰三角形的周長為 　25　cm．
13．（2分）如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且AD＝CD＝BD．若∠C＝25°，則∠ADB的度數為 　50　°．
14．（2分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，且△ABD的面積為4，則△ABC的面積為 　7　．
15．（2分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，邊AB上的高為3，則BC＝ 　或　．
16．（2分）如圖，△ABC≌△DEC，點E在線段AB上，∠B＝75°，則∠ACD的度數為 　30　°．
17．（2分）如圖，在同一平面內，直線l同側有三個正方形A，B，C，若A，C的面積分別為25和9，則陰影部分的總面積為 　15　．
18．（2分）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．則下列結論①BF＝AC；②；③DG＝FG；④BD+DF＝BC；其中正確的有 　①②④　．（填序號）
三、解答題（本大題共7小題，共64分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E分別在邊AB、AC上，且BD＝CE．求證：BE＝CD．
【答案】
證明：∵AB＝AC，
∴∠DBC＝∠ECB，
在△DBC和△ECB中，
，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴BE＝CD．
20．（8分）如圖，已知△ABC（AB＜BC），用不帶刻度的直尺和圓規完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（1）在圖1中，作△ABC的高BD；
（2）在圖2中，在邊BC上求作一點E，使得△ABE與△ACE的面積相等．
【答案】
解：（1）如圖1，BD即為所求．
（2）如圖2，作線段BC的垂直平分線，交BC于點E，
則點E即為所求．
21．（8分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中點，F是CD上一點，且，求證：∠AEF＝90°．
【答案】
證明：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E是BC的中點，且CF＝CD，
∴BE＝EC＝2，CF＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2＝AB2+BE2＝20，
同理可得：EF2＝EC2+FC2＝5，AF2＝AD2+DF2＝25，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF為直角三角形，
∴∠AEF＝90°．
22．（8分）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點都在小正方形的頂點上．
（1）在圖中利用無刻度直尺畫出線段AB的垂直平分線EF；
（2）在圖中利用無刻度直尺畫出線段BC的垂直平分線l．
【答案】
解：（1）如圖，直線EF即為所求；
（2）如圖，直線l即為所求．
23．（10分）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA．
（1）求證：；
（2）當點D在CB延長線上時，其他條件不變，直接寫出∠DAE與∠BAC的關系．
【答案】
（1）證明：∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠BAC+∠E，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠DAE+∠E，
∴∠BAD＝∠DAE+∠E，
∵∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，
∴∠DAE＝（∠BAC+∠E）﹣（∠DAE+∠E）＝∠BAC﹣∠DAE，
∴2∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAC；
（2）解：如圖，∠BAC＝2∠DAE﹣180°，理由如下：
設∠CAD＝m，∠DAE＝n，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝n﹣m，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝n﹣m，
∴∠ADC＝180°﹣∠E﹣∠DAE＝180°﹣（n﹣m）﹣n＝180°﹣2n+m，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠ADC＝180°﹣2n+m，
∴∠BAC＝∠DAE﹣∠BAD﹣∠CAE＝n﹣（180°﹣2n+m）﹣（n﹣m）＝2n﹣180°，
∴∠BAC＝2∠DAE﹣180°．
24．（12分）閱讀材料：勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關于a、b、c的方程，我們知道這個方程有無數組解，滿足該方程的正整數解（a，b，c）通常叫做勾股數組，我國古籍《周髀算經》中記載的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一組最簡單的勾股數．為了進一步了解勾股數的奧秘，數學劉老師給出下面的兩個表格．（以下a，b，c為Rt△ABC的三邊，且a＜b＜c）
表1
a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
表2
a b c
6 8 10
8 15 17
10 24 26
（1）請你根據上述表格的規律寫出勾股數：11、　60　、　61　；
（2）當a＝2n+1（n為奇數，且n≥3）時，若b＝ 　2n2+2n　，c＝ 　2n2+2n+1；　時可以構造出勾股數（用含n的代數式表示）；并證明你的猜想；
（3）構造勾股數的方法很多，請你尋找當a或b＝20時，c＝ 　101或52或29　．（寫出所有滿足條件的c）．
【答案】
解：（1）∵112＝121＝（60+61）（60﹣61），
∴勾股數：11，60，61，
故答案為：60；61；
（2）根據表1，32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，……，
∴a2＝b+c，且c＝b+1，
∴當a＝2n+1時，a2＝4n2+4n+1，
又∵c＝b+1．
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1，
故答案為：2n2+2n，2n2+2n+1；
證明：∵a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1，
∴b+c＝4n2+4n+1，b﹣c＝1，
∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∵c2＝a2+b2；
（3）當a＝20時，a2+b2＝c2 a2＝（c+b）（c﹣b）＝400，
∵a＜b＜c，
∴，……，
∴c＝101或c＝52或c＝29或c＝25（舍去），
當b＝20時，b2＝（c+a）（c﹣a）＝400，
同理可得c＝101或c＝52或c＝29，
故答案為：101或52或29．
25．（10分）數學書第69頁數學活動《折紙與證明》中提到：折紙，常常能夠為證明一個命題提供思路和方法．
【初步體驗】
操作①：取一張矩形A4紙ABMN，將AB邊折疊到BM邊上，折痕為BD，點A的對應點為C．（如圖1所示）
操作②：將BD折疊到BM邊上，折痕為BO．（如圖2所示）
（1）若BD與BM恰好重合，則AN：AB＝ 　　．
【初步探究】
在操作①中，沿CD剪開，易得一張正方形紙ABCD，讓我們繼續折疊下去…
操作③：把正方形ABCD對折后再展開，折痕為EF；
操作④：點N在邊AB上，翻折△CBN，使得點B落在折痕EF上的點H處，連接BH，則△CBH是等邊三角形．（如圖3所示）
（2）求證：△CBH是等邊三角形；
【深入探究】
操作⑤：把正方形ABCD對折后再展開，折痕為EF；
操作⑥：將AB沿BE翻折到BP位置，延長EP交CD于點Q，則點Q是CD的三等分點．（如圖4所示）
（3）通過計算證明：點Q是CD的三等分點．
【答案】
解：（1）根據折疊的性質，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∴△ABD和△CBD都是等腰直角三角形．
∴四邊形ABCD為正方形．
∴BD＝AB．
又∵D、M兩點關于BO對稱，
∴BD＝BM．
根據矩形的性質，BM＝AN．
∴AN＝BD＝AB．
∴AN：AB＝：1．
（2）根據翻折的性質，NC是線段HB的垂直平分線，
∴HC＝BC，
同理，EF為線段BC的垂直平分線，
∴HC＝HB，
∴HC＝HB＝BC，
∴△CBH是等邊三角形．
（3）如圖，連接BQ，EC.
根據折疊的性質，△ABE≌△PBE，∴AB＝BP＝BC，∠BPE＝∠BAE＝90°．在Rt△BPQ和Rt△BCQ中，BP＝BC，QB＝QB，
∴Rt△BPQ≌Rt△BCQ（HL）．
∴PQ＝CQ．
證法一：采用勾股定理．
設CD＝2m，QC＝n，則DE＝m，DQ＝2m﹣n，EQ＝EP+PQ＝AE+QC＝m+n．
在Rt△EDQ中，由勾股定理得：DE2+DQ2＝EQ2．
即m2+（2m﹣n）2＝（m+n）2．
整理得2m（2m﹣3n）＝0．
解得2m＝3n．
∴CD＝3QC．
證法二：面積法．
根據矩形和正方形的性質，S△ABE＝S矩形ABFE＝S ABCD．
∴S四邊形ABPE＝S△ABE+S△PBE＝2S△ABE＝S ABCD．
∴S△DQE+S四邊形BCQP＝S ABCD＝S△DQE+S四邊形EFCQ．
∴S四邊形BCQP＝S四邊形EFCQ．
∵S△EQC＝QC CF＝QC BC ＝S△BCQ，
S△BCQ＝S四邊形BCQP＝S四邊形EFCQ，S△EFC＝S△DCE．
∴S△EQC＝S四邊形EFCQ＝S△EFC＝S△DCE．
∴QC＝CD．
故點Q是CD的三等分點．
第16頁（共17頁）

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