資源簡介

2024-2025學年江西省南昌外國語學校教育集團九年級（上）期中
數學試卷
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個正確選項）
1．（3分）中國“二十四節氣”已被列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知m是關于x的方程x2﹣2x﹣4＝0的一個根，則2m2﹣4m+2＝（　　）
A．5 B．10 C．﹣10 D．6
3．（3分）將關于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次項系數和常數項分別為（　　）
A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣6
4．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠AOD＝50°，則∠BCD的度數為（　　）
A．20° B．50° C．70° D．65°
5．（3分）在平面直角坐標系中，如果拋物線y＝﹣x2+2x﹣1經過平移可以與拋物線y＝﹣x2互相重合，那么這個平移是（　　）
A．向上平移1個單位 B．向下平移1個單位
C．向左平移1個單位 D．向右平移1個單位
6．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，下列四個結論：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④當﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．
其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分）若關于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 　 　．
8．（3分）如圖，△ABC與△A'B'C'成中心對稱，ED是△ABC的中位線，E'D'是△A'B'C'的中位線，已知BC＝4，則E'D'＝　 　．
9．（3分）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D．若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，則AC＝ 　 　．
10．（3分）定義運算：m&n＝m2﹣mn+5．例如1&2＝12﹣1×2+5＝4，則方程x&6＝0的解為 　 　．
11．（3分）已知二次函數y＝x2﹣（m+1）x+1，當x＞2時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 　 　．
12．（3分）如圖，O是等邊三角形ABC內一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，連接OD，當α為　 　度時，△AOD是等腰三角形．
三、簡答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
14．（6分）已知拋物線y＝﹣x2+4x+7．
（1）將y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
15．（6分）如圖，已知點A，B，C均在圓上，請用無刻度的直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不需寫出畫法）．
（1）如圖1，若點D是AC的中點，作出∠ABC的平分線；
（2）如圖2，若AC∥BD，作出∠ABC的平分線．
16．（6分）如圖，三角形ABC經過某種變換后得到三角形DEF，點A、B、C的對應點分別是點D、E、F，請觀察它們之間的關系，完成以下問題：
（1）請分別寫出點A，D的坐標：A 　 　，D 　 　；
（2）若三角形ABC內任意一點M的坐標是（x，y），點M經過這種變換后得到點N，點N的坐標是 　 　；
（3）在上述變換情況下，點P（a+3，﹣b+6）與點Q（2b﹣3，﹣2a）為對應點，求a+b的值．
17．（6分）關于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）試判斷該方程根的情況；
（2）若x1，x2是該方程的兩個實數根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．（8分）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°．將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．
（1）求證：EF＝FM；
（2）當AE＝1時，求EF的長．
19．（8分）如圖，點P在以MN為直徑的⊙O上，MN＝8，PQ⊥MN交⊙O于點Q，垂足H，PQ≠MN，．
（1）連接OP，證明△OPH為等腰直角三角形；
（2）連接CD，若點C，D在⊙O上，且，求證：OP∥CD．
20．（8分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+mx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0）．
（1）求m的值及拋物線的頂點坐標．
（2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．（9分）如圖，在⊙O中，弦AC⊥BC，延長BC到D，使DC＝BC，連接AD交⊙O于點E，連接CE、BE．
（1）求證：EC＝BC；
（2）若AD＝5，BD＝6，求BE的長．
22．（9分）綜合與應用
如果將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，運動員從點A（0，10）起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度y（m）與水平距離x（m）滿足二次函數的關系．
（1）在平時的訓練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表：
水平距離x（m） 0 1 1.5
豎直高度y（m） 10 10 6.25
根據上述數據，求出y關于x的關系式；
（2）在（1）的這次訓練中，求運動員甲從起點A到入水點的水平距離OD的長；
（3）信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度為k（m），從到達到最高點B開始計時，則他到水面的距離h（m）與時間t（s）之間滿足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270C動作．
問題解決：
①請通過計算說明，在（1）的這次訓練中，運動員甲能否成功完成此動作？
②運動員甲進行第二次跳水訓練，此時他的豎直高度y（m）與水平距離x（m）的關系為y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若選手在達到最高點后要順利完成270C動作，則a的取值范圍是 　 　．
六、解答題（本大題12分）
23．（12分）如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，過點B作射線BD⊥AB，垂足為B，點P在CB上．
（1）【動手操作】
如圖②，若點P在線段CB上，畫出射線PA，并將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，根據題意在圖中畫出圖形，圖中∠PBE的度數為 　 　度；
（2）【問題探究】
根據（1）所畫圖形，探究線段PA與PE的數量關系，并說明理由；
（3）【拓展延伸】
如圖③，若點P在射線CB上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，探究線段BA，BP，BE之間的數量關系，并說明理由．
2024-2025學年江西省南昌外國語學校教育集團九年級（上）期中
數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.每小題只有一個正確選項）
1．（3分）中國“二十四節氣”已被列入聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．（3分）已知m是關于x的方程x2﹣2x﹣4＝0的一個根，則2m2﹣4m+2＝（　　）
A．5 B．10 C．﹣10 D．6
【答案】B
3．（3分）將關于x的一元二次方程x2+x＝2（x﹣3）化成一般形式后，一次項系數和常數項分別為（　　）
A．1，﹣4 B．﹣1，6 C．﹣1，﹣6 D．1，﹣6
【答案】B
4．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠AOD＝50°，則∠BCD的度數為（　　）
A．20° B．50° C．70° D．65°
【答案】D
5．（3分）在平面直角坐標系中，如果拋物線y＝﹣x2+2x﹣1經過平移可以與拋物線y＝﹣x2互相重合，那么這個平移是（　　）
A．向上平移1個單位 B．向下平移1個單位
C．向左平移1個單位 D．向右平移1個單位
【答案】C
6．（3分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，下列四個結論：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④當﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．
其中正確結論的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（3分）若關于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 　k＜4　．
8．（3分）如圖，△ABC與△A'B'C'成中心對稱，ED是△ABC的中位線，E'D'是△A'B'C'的中位線，已知BC＝4，則E'D'＝　2　．
9．（3分）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D．若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，則AC＝ 　8﹣2　．
10．（3分）定義運算：m&n＝m2﹣mn+5．例如1&2＝12﹣1×2+5＝4，則方程x&6＝0的解為 　x＝5或x＝1　．
11．（3分）已知二次函數y＝x2﹣（m+1）x+1，當x＞2時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 　m≤3　．
12．（3分）如圖，O是等邊三角形ABC內一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，連接OD，當α為　110或140或125　度時，△AOD是等腰三角形．
三、簡答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
【答案】
解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝13，
（x﹣3）2＝13，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
5（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣10﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或5x﹣10﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
14．（6分）已知拋物線y＝﹣x2+4x+7．
（1）將y＝﹣x2+4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．
【答案】
解：（1）由題意，∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣x2+4x﹣4+4+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴y＝﹣（x﹣2）2+11；
（2）由題意，∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣x2+4x﹣4+4+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝2，拋物線的頂點坐標為（2，11）．
15．（6分）如圖，已知點A，B，C均在圓上，請用無刻度的直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不需寫出畫法）．
（1）如圖1，若點D是AC的中點，作出∠ABC的平分線；
（2）如圖2，若AC∥BD，作出∠ABC的平分線．
【答案】
解：（1）如圖1，連接OD并延長，交⊙O于點E，作射線BE，
則射線BE即為所求．
（2）如圖2，連接AD交BC于點M，連接OM并延長，交⊙O于點N，作射線BN，
則射線BN即為所求．
16．（6分）如圖，三角形ABC經過某種變換后得到三角形DEF，點A、B、C的對應點分別是點D、E、F，請觀察它們之間的關系，完成以下問題：
（1）請分別寫出點A，D的坐標：A 　（5，4）　，D 　（﹣5，﹣4）　；
（2）若三角形ABC內任意一點M的坐標是（x，y），點M經過這種變換后得到點N，點N的坐標是 　（﹣x，﹣y）　；
（3）在上述變換情況下，點P（a+3，﹣b+6）與點Q（2b﹣3，﹣2a）為對應點，求a+b的值．
【答案】
解：（1）由平面直角坐標系得點A的坐標是（5，4），點D的坐標是（﹣5，﹣4），
故答案為：（5，4）；（﹣5，﹣4）；
（2）∵點A（5，4）與點D（﹣5，﹣4），點B（4，0）與點E（﹣4，0），點C（1，2）與點F（﹣1，﹣2），兩點的橫縱坐標互為相反數，
∴這三組對應點均關于原點對稱，
∴若三角形ABC內任意一點M的坐標是（x，y），點M經過這種變換后得到點N，點N的坐標是（﹣x，﹣y），
故答案為：（﹣x，﹣y）；
（3）根據題意得，
，
解得，
∴a+b＝4﹣2＝2．
17．（6分）關于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）試判斷該方程根的情況；
（2）若x1，x2是該方程的兩個實數根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
【答案】
解：（1）Δ＝[﹣（3+m）]2﹣4×3m×1＝m2+6m+9﹣12m＝（m﹣3）2，
∴當m＝3時，Δ＝0，方程有兩個相等的實數根；
當m≠3時，△＞0，方程有兩個不相等的實數根．
（2）由題意得，
∵2x1﹣x1x2+2x2＝12，
∴2（3+m）﹣3m＝12，
解得：m＝﹣6．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．（8分）正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°．將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．
（1）求證：EF＝FM；
（2）當AE＝1時，求EF的長．
【答案】
解：（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三點共線，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；
（2）設EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
則EF＝．
19．（8分）如圖，點P在以MN為直徑的⊙O上，MN＝8，PQ⊥MN交⊙O于點Q，垂足H，PQ≠MN，．
（1）連接OP，證明△OPH為等腰直角三角形；
（2）連接CD，若點C，D在⊙O上，且，求證：OP∥CD．
【答案】
證明：（1）∵MN為直徑，PQ⊥MN，PQ＝4，
∴PH＝PQ＝2，
∵MN＝8，
∴OP＝MN＝4，
∴OH＝＝2，
∴PH＝OH，
∵PH⊥MN，
∴△OPH為等腰直角三角形；
（2）連接OQ，OQ交CD于A，
∵＝，
∴OQ⊥CD，
∵△OPH為等腰直角三角形，
∴∠OPQ＝45°，
∵OP＝OQ，
∴△OPQ為等腰直角三角形，
∴∠POQ＝90°，
∴OP⊥OQ，
∴OP∥CD．
20．（8分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+mx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0）．
（1）求m的值及拋物線的頂點坐標．
（2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標．
【答案】
解：（1）把點B的坐標為（3，0）代入拋物線y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點坐標為：（1，4）．
（2）連接BC交拋物線對稱軸l于點P，則此時PA+PC的值最小，
設直線BC的解析式為：y＝kx+b，
∵點C（0，3），點B（3，0），
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
當x＝1時，y＝﹣1+3＝2，
∴當PA+PC的值最小時，點P的坐標為：（1，2）．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．（9分）如圖，在⊙O中，弦AC⊥BC，延長BC到D，使DC＝BC，連接AD交⊙O于點E，連接CE、BE．
（1）求證：EC＝BC；
（2）若AD＝5，BD＝6，求BE的長．
【答案】
（1）證明：∵弦AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∴∠DEB＝180°﹣∠AEB＝90°，
∵DC＝BC，
∴EC＝BD，
∴EC＝BC；
（2）解：∵CD＝BC，BD＝6，
∴CD＝BD＝3，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，AD＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵sin∠BDE＝sin∠ADC，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝．
22．（9分）綜合與應用
如果將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，運動員從點A（0，10）起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度y（m）與水平距離x（m）滿足二次函數的關系．
（1）在平時的訓練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表：
水平距離x（m） 0 1 1.5
豎直高度y（m） 10 10 6.25
根據上述數據，求出y關于x的關系式；
（2）在（1）的這次訓練中，求運動員甲從起點A到入水點的水平距離OD的長；
（3）信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度為k（m），從到達到最高點B開始計時，則他到水面的距離h（m）與時間t（s）之間滿足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270C動作．
問題解決：
①請通過計算說明，在（1）的這次訓練中，運動員甲能否成功完成此動作？
②運動員甲進行第二次跳水訓練，此時他的豎直高度y（m）與水平距離x（m）的關系為y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若選手在達到最高點后要順利完成270C動作，則a的取值范圍是 　　．
【答案】
（1）解：由運動員的豎直高度y（m）與水平距離x（m）滿足二次函數的關系，
設二次函數的關系為y＝ax2+bx+c，
代入（0，10），（1，10），（1.5，6.25），
得，
解得，
∴y關于x的關系式為y＝﹣5x2+5x+10；
（2）把y＝0代入y＝﹣5x2+5x+10，
得﹣5x2+5x+10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍去），
∴運動員甲從起點A到入水點的水平距離OD的長為2米；
（3）①運動員甲不能成功完成此動作，理由如下：
由運動員的豎直高度y（m）與水平距離x（m）滿足二次函數的關系為y＝﹣5x2+5x+10，
整理得，
得運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度k為m，即，
把h＝0代入，
得，
解得t1＝1.5，t2＝﹣1.5（不合題意，舍去），
∵1.5＜1.6，
∴運動員甲不能成功完成此動作；
②由運動員甲進行第二次跳水訓練，豎直高度y（m）與水平距離x（m）的關系為y＝ax2﹣ax+10（a＜0），
得頂點為，
得，
得，
把h＝0代入，
得，
由運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270C動作，得t≥1.6，
則t2≥1.62，即，
解得．
故答案為：．
六、解答題（本大題12分）
23．（12分）如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，過點B作射線BD⊥AB，垂足為B，點P在CB上．
（1）【動手操作】
如圖②，若點P在線段CB上，畫出射線PA，并將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，根據題意在圖中畫出圖形，圖中∠PBE的度數為 　135　度；
（2）【問題探究】
根據（1）所畫圖形，探究線段PA與PE的數量關系，并說明理由；
（3）【拓展延伸】
如圖③，若點P在射線CB上移動，將射線PA繞點P逆時針旋轉90°與BD交于點E，探究線段BA，BP，BE之間的數量關系，并說明理由．
【答案】
解：（1）畫出圖形如下：
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠PBE＝∠ABC+∠ABD＝45°+90°＝135°；
故答案為：135；
（2）PA＝PE，理由如下：
過P作PM∥AB交AC于M，如圖：
∴∠MPC＝∠ABC＝45°，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴CP＝CM，∠PMC＝45°，
∴CA﹣CM＝CB﹣CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPB＝90°﹣∠APC＝∠PAC，
∴△APM≌△PEB（ASA），
∴PA＝PE；
（3）當P在線段BC上時，過P作PM∥AB交AC于M，如圖：
由（2）可知，BE＝PM，BP＝AM，
∵AB＝（AM+CM），
∴AB＝BP+CM，
∵PM＝CM，
∴AB＝BP+BE；
當P在線段CB的延長線上時，過P作PN⊥BC交BE于N，如圖：
∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠PBN＝180°﹣∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°，
∴BP＝NP，BN＝BP，∠PNB＝45°，
∴∠PNE＝135°＝∠ABP，
∵∠APE＝90°，
∴∠EPN＝90°﹣∠APN＝∠APB，
∴△EPN≌△APB（ASA），
∴EN＝BA，
∵BE＝EN+BN，
∴BE＝BA+BP；
綜上所述，當P在線段BC上時，AB＝BP+BE；當P在線段CB的延長線上時，BE＝BA+BP．
第22頁（共22頁）

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