資源簡介

2024-2025學(xué)年寧夏銀川外國語實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列四組線段是成比例線段的是（　?。?br/>A．lcm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．5cm，6cm，7cm，8cm D．7cm，8cm，9cm，10cm
2．（3分）如圖，直線a∥b∥c，直線AC分別交a，b、c于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若DE＝2EF，AC＝9，則AB的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（　?。?br/>A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
4．（3分）下列圖形相似的是（　　）
A．兩個等腰三角形 B．兩個矩形
C．兩個正方形 D．兩個菱形
5．（3分）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝2，則BC＝（　?。?br/>A． B．
C． D．或
6．（3分）在一次籃球聯(lián)賽中，每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場，然后決定小組出線的球隊．如果某一小組共有x個隊，該小組共賽了90場，那么列出正確的方程是（　　）
A． B．x（x﹣1）＝90
C． D．x（x+1）＝90
7．（3分）如圖，小程的爸爸用一段10m長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長5.5m）的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個1m寬的門（由其它材料制成），則BC長為（　?。?br/>A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m
8．（3分）用圓中兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲，分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
9．（3分）已知：如圖，E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣1，﹣1），以O(shè)為位似中心，相似比為，把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（　?。?br/>A．（8，﹣4） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個結(jié)論：
①△AEF∽△CAB；
②CF＝2AF；
③FC＝DC；
④．
其中正確的結(jié)論有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（每小題3分，共30分）
11．（3分）已知方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣bx﹣1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 　 ?。?br/>12．（3分）若t是方程x2﹣x﹣1＝0的一個實數(shù)根，則代數(shù)式2t2﹣2t+2024的值為 　 ?。?br/>13．（3分）如果線段a、b滿足＝，那么的值等于 　 　．
14．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB邊上，已知AC∥BD，添加一個條件，使△BDE∽△ABC．你添加的條件是 　 ?。?br/>15．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中有四個三角形，其中與△ABC相似（不包括△ABC本身）的三角形有 　 　個．
16．（3分）在一個暗箱里放有a個除顏色外其它完全相同的球，這a個球中紅球只有3個．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，那么可以推算出a大約是 　 ?。?br/>17．（3分）如圖，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要551米2，求修建的路寬．設(shè)路寬為x m，可列方程 　 ?。?br/>18．（3分）有一種流感病毒，若一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患流感．如果設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么可列方程為 　 ?。?br/>19．（3分）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一個正方形零件，使一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．則該正方形的邊長是 　 　m．
20．（3分）如圖，等邊△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，線段AB被截成三等份．若△ABC的面積為12cm2，圖中陰影部分的面積為 　 　cm2．
三、解答題（共60分）
21．（8分）用合適的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
22．（4分）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周長為24，求各邊的長并判斷該三角形的形狀．
23．（4分）已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5．k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．
24．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）以原點(diǎn)O為位似中心，畫出△ABC的位似三角形，使它與△ABC的相似比為2：1；
（2）△ABC與其位似三角形的面積比為 　 ?。?br/>25．（6分）為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學(xué)生對這五項活動的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有 　 　名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù) 　 ??；
（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，則甲和乙同學(xué)同時被選中的概率是多少？
26．（6分）某數(shù)學(xué)興趣小組在測量學(xué)校旗桿的高度時，讓一名同學(xué)直立在點(diǎn)F處，手拿一塊直角三角板CDE，保持斜邊CE與地面BF平行，延長CE交AB于點(diǎn)G，如圖，并沿著射線CD的方向觀察，剛好看到旗桿的頂端A點(diǎn)，已知該同學(xué)的身高CF為1.6米，點(diǎn)F到旗桿底端的距離BF為12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗桿AB的高度．
27．（6分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，EF⊥CE于點(diǎn)E
（1）求證：△AEF∽△BCE．
（2）若，求的值．
28．（6分）某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲0.5元/個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？
29．（8分）若關(guān)于x的方程的若干個解中，存在兩個不相等的解，且這兩個解為互為相反數(shù)，則稱這兩個解為這個方程的對稱解，這個方程稱為對稱解方程．例如方程：x＝2和x＝﹣2是方程x2﹣4＝0的對稱解，則x2﹣4＝0為對稱解方程．
（1）下列方程是對稱解方程的有 　 ?。?br/>①x3﹣4x＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③．
（2）已知關(guān)于x的方程|2x+b|＝1恰好是對稱解方程，若函數(shù)y＝|2x+b|﹣1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積．
30．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作矩形PQFE，使，點(diǎn)F落在射線BC上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．
（1）求PQ的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求點(diǎn)E落在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；
（3）連接PC，當(dāng)△CPQ與△ABC相似時，求t的值；
（4）當(dāng)PQ將△ABC的面積分成1：3兩部分時，直接寫出點(diǎn)E到AC的距離．
2024-2025學(xué)年寧夏銀川外國語實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列四組線段是成比例線段的是（　　）
A．lcm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．5cm，6cm，7cm，8cm D．7cm，8cm，9cm，10cm
【答案】B
2．（3分）如圖，直線a∥b∥c，直線AC分別交a，b、c于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若DE＝2EF，AC＝9，則AB的長為（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
3．（3分）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（　?。?br/>A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
【答案】D
4．（3分）下列圖形相似的是（　?。?br/>A．兩個等腰三角形 B．兩個矩形
C．兩個正方形 D．兩個菱形
【答案】C
5．（3分）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝2，則BC＝（　?。?br/>A． B．
C． D．或
【答案】D
6．（3分）在一次籃球聯(lián)賽中，每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場，然后決定小組出線的球隊．如果某一小組共有x個隊，該小組共賽了90場，那么列出正確的方程是（　　）
A． B．x（x﹣1）＝90
C． D．x（x+1）＝90
【答案】B
7．（3分）如圖，小程的爸爸用一段10m長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長5.5m）的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個1m寬的門（由其它材料制成），則BC長為（　?。?br/>A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m
【答案】C
8．（3分）用圓中兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲，分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
9．（3分）已知：如圖，E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣1，﹣1），以O(shè)為位似中心，相似比為，把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（　?。?br/>A．（8，﹣4） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
【答案】D
10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個結(jié)論：
①△AEF∽△CAB；
②CF＝2AF；
③FC＝DC；
④．
其中正確的結(jié)論有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
二、填空題（每小題3分，共30分）
11．（3分）已知方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣bx﹣1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 　﹣1?。?br/>12．（3分）若t是方程x2﹣x﹣1＝0的一個實數(shù)根，則代數(shù)式2t2﹣2t+2024的值為 　2026　．
13．（3分）如果線段a、b滿足＝，那么的值等于 　?。?br/>14．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB邊上，已知AC∥BD，添加一個條件，使△BDE∽△ABC．你添加的條件是 　∠BDE＝∠ABC或∠BED＝∠ACB?。?br/>15．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中有四個三角形，其中與△ABC相似（不包括△ABC本身）的三角形有 　1　個．
16．（3分）在一個暗箱里放有a個除顏色外其它完全相同的球，這a個球中紅球只有3個．每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，那么可以推算出a大約是 　12?。?br/>17．（3分）如圖，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要551米2，求修建的路寬．設(shè)路寬為x m，可列方程 ?。?0﹣x）（20﹣x）＝551　．
18．（3分）有一種流感病毒，若一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患流感．如果設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么可列方程為 　（1+x）2＝81　．
19．（3分）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝12m，高AD＝8m，要把它加工成一個正方形零件，使一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．則該正方形的邊長是 　4.8　m．
20．（3分）如圖，等邊△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，線段AB被截成三等份．若△ABC的面積為12cm2，圖中陰影部分的面積為 　4　cm2．
三、解答題（共60分）
21．（8分）用合適的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【答案】
解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程無實數(shù)根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1＝，x2＝1．
22．（4分）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周長為24，求各邊的長并判斷該三角形的形狀．
【答案】
解：（1）∵，
設(shè)a＝3x，b＝5x，c＝4x，
∴；
（2）設(shè)a＝3x，b＝5x，c＝4x，
∵△ABC的周長為24，
可得3x+5x+4x＝24，
12x＝24，
解得：x＝2，
∴a＝3x＝6，b＝5x＝10，c＝4x＝8，
∵a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
23．（4分）已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5．k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．
【答案】
解：分兩種情況：
①當(dāng)AB＝AC時，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0，
解得k不存在；
②當(dāng)AB＝BC時，即AB＝5，
，
解得 或，
則△ABC的周長為：5+5+4＝14或5+5+6＝16．
綜上所述，當(dāng)k＝3或4時，△ABC是等腰三角形．其相應(yīng)的△ABC的周長是14或16．
24．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）以原點(diǎn)O為位似中心，畫出△ABC的位似三角形，使它與△ABC的相似比為2：1；
（2）△ABC與其位似三角形的面積比為 　　．
【答案】
解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求．
（2）∵△ABC與△A′B′C′的相似比為1：2，
∴△ABC與△A′B′C′的面積比為．
故答案為：．
25．（6分）為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學(xué)生對這五項活動的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：
（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有 　100　名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù) 　36°?。?br/>（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，則甲和乙同學(xué)同時被選中的概率是多少？
【答案】
解：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為30÷30%＝100（名）．
選擇“足球”的人數(shù)為35%×100＝35（名）．
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：
（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為 ×360°＝36°．
故答案為：36°．
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時被選中的結(jié)果有2種，
∴甲和乙同學(xué)同時被選中的概率為＝．
26．（6分）某數(shù)學(xué)興趣小組在測量學(xué)校旗桿的高度時，讓一名同學(xué)直立在點(diǎn)F處，手拿一塊直角三角板CDE，保持斜邊CE與地面BF平行，延長CE交AB于點(diǎn)G，如圖，并沿著射線CD的方向觀察，剛好看到旗桿的頂端A點(diǎn)，已知該同學(xué)的身高CF為1.6米，點(diǎn)F到旗桿底端的距離BF為12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗桿AB的高度．
【答案】
解：由題意得：CF⊥BF，AB⊥BF，CG⊥AB，
∴∠BFC＝∠ABF＝BGC＝90°，
∴四邊形CFBG是矩形，
∴CG＝FB＝12m，CF＝GB＝1.6m，
∵∠CDE＝90°，CE＝50cm，CD＝40cm，
∴DE＝＝＝30cm，
∵∠CDE＝∠CGA＝90°，∠DCE＝∠ACG，
∴△CDE∽△CGA，
∴＝，
∴＝，
∴GA＝9m，
∴AB＝AG+BG＝9+1.6＝10.6m，
答：旗桿AB的高度為10.6米．
27．（6分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，EF⊥CE于點(diǎn)E
（1）求證：△AEF∽△BCE．
（2）若，求的值．
【答案】
解：（1）∵∠A＝∠B＝90°，∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠CEB＝90°．
∴∠AFE＝∠CEB．
∴△AEF∽△BCE；
（2）由，設(shè)BE＝x，則AE＝2x，AB＝3x＝BC．
∵△AEF∽△BCE，
∴＝．
28．（6分）某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲0.5元/個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？
【答案】
解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意得：150（1+x）2＝216，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；
（2）設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元/個，
依題意得：，
整理得y2﹣130y+4000＝0，
解得y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，
答：該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為50元/個．
29．（8分）若關(guān)于x的方程的若干個解中，存在兩個不相等的解，且這兩個解為互為相反數(shù)，則稱這兩個解為這個方程的對稱解，這個方程稱為對稱解方程．例如方程：x＝2和x＝﹣2是方程x2﹣4＝0的對稱解，則x2﹣4＝0為對稱解方程．
（1）下列方程是對稱解方程的有 ?、佗邸?；
①x3﹣4x＝0；
②2x2+x﹣1＝0；
③．
（2）已知關(guān)于x的方程|2x+b|＝1恰好是對稱解方程，若函數(shù)y＝|2x+b|﹣1與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積．
【答案】
解：（1）①x3﹣4x＝0，因式分解得x（x2﹣4）＝0，
即x（x+2）（x﹣2）＝0，
解得x＝0或x＝2或x＝﹣2，
則x3﹣4x＝0為對稱解方程；
②2x2+x﹣1＝0，因式分解得（2x﹣1）（x+1）＝0，
解得或x＝﹣1，
則2x2+x﹣1＝0不是對稱解方程；
③，解得x＝4或x＝﹣4，
則為對稱解方程；
故答案為：①③；
（2）解方程|2x+b|＝1，得，，
∵x的方程|2x+b|＝1恰好是對稱解方程．
又∵x1+x2＝0，即，
∴b＝0，
則函數(shù)y＝|2x+b|﹣1為y＝|2x|﹣1，
令y＝0，則|2x|﹣1＝0，
解得或，
令x＝0，則y＝﹣1，
∴函數(shù)y＝|2x+b|﹣1與x軸的交點(diǎn)為，，
與y軸的交點(diǎn)為C（0，﹣1），
∴△ABC的面積為．
30．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作矩形PQFE，使，點(diǎn)F落在射線BC上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（t＞0）秒．
（1）求PQ的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求點(diǎn)E落在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；
（3）連接PC，當(dāng)△CPQ與△ABC相似時，求t的值；
（4）當(dāng)PQ將△ABC的面積分成1：3兩部分時，直接寫出點(diǎn)E到AC的距離．
【答案】
解：（1）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，
∴PQ∥AC，
∴△ABC∽△PBQ，
∴，
由題意可知，BP＝5t，則，
∴PQ＝4t；
（2）在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得：
，
當(dāng)點(diǎn)E在AC上時，F(xiàn)和C重合，在△ABC的邊界上，若再繼續(xù)向點(diǎn)A運(yùn)動，則點(diǎn)E不在△ABC內(nèi)，如圖1，
此時，BP＝5t，PQ＝4t，則PE＝2t，PA＝10﹣5t，
∵四邊形PQFE是矩形，
∴PE∥BC，EF＝PQ＝4t，則AE＝8﹣4t，
∴△APE∽△ABC，
∴，即：，
解得：，
即：點(diǎn)E落在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長為秒；
（3）由（1）可知，BP＝5t，PQ＝4t，則，
則CQ＝6﹣3t，
∵∠ACB＝∠CQP＝90°，
當(dāng)△CPQ與△ABC相似時，分兩種情況討論：當(dāng)時，△ABC∽△CPQ；當(dāng)時，△ABC∽△PCQ；
①當(dāng)時，△ABC∽△CPQ，即：，
解得：；
②當(dāng)時，△ABC∽△PCQ，即：，
解得：t＝1；
綜上，當(dāng)△CPQ與△ABC相似時，t的值為或1；
（4），
當(dāng)PQ將△ABC的面積分成1：3兩部分時，
分兩種情況討論：S△PBQ：S梯形PQCA＝1：3或S△PBQ：S梯形PQCA＝3：1；
當(dāng)S△PBQ：S梯形PQCA＝1：3時，S△PBQ：S△ABC＝1：4，
∴，
解得：t＝1，
此時，BQ＝3，PE＝QF＝2t＝2，則BF＝5，
∴點(diǎn)F在線段BC上，則CF＝BC﹣BF＝1，
即：點(diǎn)E到AC的距離為1；
當(dāng)S△PBQ：S梯形PQCA＝3：1時，S△PBQ：S△ABC＝3：4，
∴，
解得：，
此時，，，則，
∴點(diǎn)F在射線BC上，則，
即：點(diǎn)E到AC的距離為；
綜上，點(diǎn)E到AC的距離為1或．
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