資源簡介

2024-2025學年廣東省廣州市番禺區廣雅集團、祈福新村學校聯考九年級（上）期中數學試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（3分）下列圖形屬于中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知⊙O的半徑為5．若OP＝6，則點P與⊙O的位置關系是（　　）
A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷
3．（3分）將二次函數y＝5x2的圖象向下平移2個單位，得到的函數圖象的解析式為（　　）
A．y＝5x2+2 B．y＝5x2﹣2 C．y＝5（x+2）2 D．y＝5（x﹣2）2
4．（3分）若關于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一個根是0，則a的值為（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
5．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，若AB＝12，點O到AB的距離是8，則⊙O的半徑是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（3分）已知點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函數y＝﹣2x2+4的圖象上，則（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
7．（3分）青山村種的水稻2023年平均每公頃產720kg，2025年平均每公頃產845kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率．若設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則根據題意列出方程為（　　）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
8．（3分）如圖，將Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉90°后得到Rt△DEC，連接AD，若∠B＝55°，則∠ADE等于（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
9．（3分）設a、b是兩個整數，若定義一種運算“△”，a△b＝a2+b2+ab，則方程（x+2）△x＝1的實數根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
10．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點C的坐標為（　　）
A．（2，） B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標為　 　．
12．（3分）已知點A（m，2）與點B（﹣3，n）關于原點對稱，則m+n的值為 　 　．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，則代數式﹣3a2+6a+2024的值為 　 　．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E為DC延長線上一點．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數為 　 　．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為　 　cm．
16．（3分）如圖①，點A、B是⊙O上兩定點，圓上一動點P從定點B出發，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是x（s），線段AP的長度是y（cm）．圖②是y隨x變化的關系圖象，則圖中m的值是 　 　．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．（4分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．將△ABC繞原點逆時針旋轉90°可得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標．
19．（6分）如圖：＝，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．
20．（6分）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有兩個相等的實數根，求的值．
21．（8分）如圖所示，某學校有一道長為12米的墻，計劃用26米長的圍欄靠墻圍成一個面積為80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的長．
22．（10分）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設計了一款新型汽車，現在對它的剎車性能（車速不超過150km/h）進行測試，測得數據如表：
車速x（km/h） 0 30 60 90 120 150
剎車距離y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75
（1）以車速x為橫坐標，剎車距離y為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數值所對應的點，并用平滑曲線連接這些點；
（2）若車速和剎車距離的函數關系近似看作二次函數，請求出這個函數的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，請根據（2）中求出的函數解析式，估計該車的速度．
23．（10分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）已知AD＝8，點P為⊙O上一個動點，若點P到弦AD的距離最大值為8．
①尺規作圖：作出點P到弦AD的距離最大時的位置，保留作圖痕跡；
②求DE的長．
24．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+mx+m+與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣），點
P為拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線y＝﹣x2+mx+m+在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，點D是△ABC外一動點（點B，點D位于AC兩側），連接CD，AD．
（1）如圖1，點O是AB的中點，連接OC，OD，當△AOD為等邊三角形時，∠ADC的度數是 　 　；
（2）如圖2，連接BD，當∠ADC＝135°時，探究線段BD，CD，DA之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，點D在上，點E為AB上一點，連接CE，DE，當AE＝1，BE＝7時，直接寫出△CDE面積的最大值及此時線段BD的長．
2024-2025學年廣東省廣州市番禺區廣雅集團、祈福新村學校聯考九年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（3分）下列圖形屬于中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
2．（3分）已知⊙O的半徑為5．若OP＝6，則點P與⊙O的位置關系是（　　）
A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．無法判斷
【答案】C
3．（3分）將二次函數y＝5x2的圖象向下平移2個單位，得到的函數圖象的解析式為（　　）
A．y＝5x2+2 B．y＝5x2﹣2 C．y＝5（x+2）2 D．y＝5（x﹣2）2
【答案】B
4．（3分）若關于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一個根是0，則a的值為（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】C
5．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，若AB＝12，點O到AB的距離是8，則⊙O的半徑是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
6．（3分）已知點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在二次函數y＝﹣2x2+4的圖象上，則（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
【答案】B
7．（3分）青山村種的水稻2023年平均每公頃產720kg，2025年平均每公頃產845kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率．若設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則根據題意列出方程為（　　）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
【答案】A
8．（3分）如圖，將Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉90°后得到Rt△DEC，連接AD，若∠B＝55°，則∠ADE等于（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】B
9．（3分）設a、b是兩個整數，若定義一種運算“△”，a△b＝a2+b2+ab，則方程（x+2）△x＝1的實數根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣2
【答案】C
10．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線交于原點O，，．將菱形繞原點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點C的坐標為（　　）
A．（2，） B． C． D．
【答案】C
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）
11．（3分）拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點坐標為　（1，8）　．
12．（3分）已知點A（m，2）與點B（﹣3，n）關于原點對稱，則m+n的值為 　1　．
13．（3分）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，則代數式﹣3a2+6a+2024的值為 　2021　．
14．（3分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，E為DC延長線上一點．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數為 　140°　．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為　42　cm．
16．（3分）如圖①，點A、B是⊙O上兩定點，圓上一動點P從定點B出發，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是x（s），線段AP的長度是y（cm）．圖②是y隨x變化的關系圖象，則圖中m的值是 　　．
三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】
解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，
則x2﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝2，
開方得：，
∴，．
18．（4分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．將△ABC繞原點逆時針旋轉90°可得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標．
【答案】
解：如圖，△A1B1C1即為所求．A1（﹣5，2），B1（﹣1，1），C1（﹣2，4）．
19．（6分）如圖：＝，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．
【答案】
證明：連接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分別是半徑OA和OB的中點，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共邊），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的對應邊相等）．
20．（6分）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有兩個相等的實數根，求的值．
【答案】
解：∵ax2+bx+1＝0（a≠0）有兩個相等的實數根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即b2﹣4a＝0，
b2＝4a，
∵＝＝＝
∵a≠0，
∴＝＝＝4．
21．（8分）如圖所示，某學校有一道長為12米的墻，計劃用26米長的圍欄靠墻圍成一個面積為80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的長．
【答案】
解：設矩形草坪AB邊的長為x米，則BC邊的長為（26﹣2x）米，
根據題意得：x（26﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
∵26﹣2x≤12，
∴x≥7，
∴x＝8，
答：AB的長為8米．
22．（10分）由于慣性的作用，行駛中的汽車在剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．某公司設計了一款新型汽車，現在對它的剎車性能（車速不超過150km/h）進行測試，測得數據如表：
車速x（km/h） 0 30 60 90 120 150
剎車距離y（m） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75
（1）以車速x為橫坐標，剎車距離y為縱坐標，在坐標系中描出表中各組數值所對應的點，并用平滑曲線連接這些點；
（2）若車速和剎車距離的函數關系近似看作二次函數，請求出這個函數的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）若該型汽車某次測試的剎車距離為40m，請根據（2）中求出的函數解析式，估計該車的速度．
【答案】
解：（1）如圖，
（2）由題意，設y與x的關系式為y＝ax2+bx，
把（30，7.8）和（60，19.2）代入得，
∴，
∴y與x的關系式為y＝x2+x．
（3）由題意，由（2）y＝x2+x．
令y＝40，則40＝x2+x．
解得x＝100或﹣200（負值舍去），
∴該型汽車某次測試的剎車距離為40m，估計該車的速度約為100km/h．
23．（10分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，在△ABC中，AB＝BC，AC交⊙O于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）已知AD＝8，點P為⊙O上一個動點，若點P到弦AD的距離最大值為8．
①尺規作圖：作出點P到弦AD的距離最大時的位置，保留作圖痕跡；
②求DE的長．
【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD為⊙O的半徑，
∴直線DE是⊙O的切線；
（2）①作弦AD的垂直平分線，交于點P，則點P為所求．如圖，
②連接DB，
由作圖可知：PF為AD的垂直平分線，
∴PF⊥AD，PF經過圓心，AF＝FD＝AD＝4，PF＝8，
設圓的半徑為r，則OA＝OP＝r，
∴OF＝8﹣r，
∵OF2+AF2＝OA2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5．
∴AB＝10，
∴BD＝＝6，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴DB⊥AC，
∵BA＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠DEB＝90°，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE＝4.8．
24．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+mx+m+與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣），點
P為拋物線在直線AC上方圖象上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線y＝﹣x2+mx+m+在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍．
【答案】
解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+mx+m+與y軸交于點C（0，﹣），
∴m+＝﹣，
解得：m＝﹣3，
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x﹣；
（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，
得：﹣x2﹣3x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
設直線AC的解析式為y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x，
如圖1，設P（t，﹣t2﹣3t﹣），過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，
則H（t，t），
∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（t）＝﹣t2﹣t，
∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH
＝ PH （xP﹣xA）+ PH （xC﹣xP）
＝ PH （xC﹣xA）
＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]
＝t2﹣t
＝（t+）2+，
∴當t＝﹣時，S△PAC取得最大值，
此時，點P的坐標為（﹣，）；
（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2﹣3x﹣在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G，
∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，頂點為（﹣3，2），
∴圖象G的函數解析式為：y＝（x+3）2﹣2，頂點坐標為（﹣3，﹣2），
∵圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M，頂點運動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴圖象M的頂點坐標為（n，﹣n﹣），
∴圖象M的函數解析式為：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，
當圖象M經過點C（0，﹣）時，
則：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，
解得：n＝﹣1或n＝2，
當圖象M的端點B在PC上時，
∵線段PC的解析式為：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），點B（﹣1，0）運動的路徑為直線y＝﹣x﹣，
∴聯立可得：，
解得：，
將代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍為：﹣≤n≤﹣1（n≠﹣3）或n＝2．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，點D是△ABC外一動點（點B，點D位于AC兩側），連接CD，AD．
（1）如圖1，點O是AB的中點，連接OC，OD，當△AOD為等邊三角形時，∠ADC的度數是 　135°　；
（2）如圖2，連接BD，當∠ADC＝135°時，探究線段BD，CD，DA之間的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，點D在上，點E為AB上一點，連接CE，DE，當AE＝1，BE＝7時，直接寫出△CDE面積的最大值及此時線段BD的長．
【答案】
解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，點O是AB的中點，
∴∠COA＝90°，CO＝AB＝OA，
∵△AOD是等邊三角形，
∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，
∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，
故答案為：135°；
（2）線段BD，CD，DA之間的數量關系為：BD＝CD+DA，理由如下：
過點C作CH⊥CD交AD的延長線于點H，如圖2所示：
則∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD，HD＝CD，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACH＝∠BCD，
∴△ACH≌△BCD（SAS），
∴BD＝AH＝HD+DA＝CD+AD；
（3）連接OC，如圖3所示：
∵∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴O是AB的中點，
∴OC⊥AB，OC＝OA＝AB＝（AE+BE）＝×（1+7）＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5，
∵CE是定值，
∴點D到CE的距離最大時，△CDE面積的面積最大，
∵AB是⊙O的直徑，
過點O作ON⊥CE于N，延長ON與⊙O的交點恰好是點D時，點D到CE的距離最大，△CDE面積的面積最大，
∵S△OCE＝OC OE＝CE ON，
∴ON＝＝＝，
∵OD＝OC＝4，
∴DN＝OD﹣ON＝4﹣＝，
此時，在Rt△CNO中，CN＝＝＝，
在Rt△CND中，CD＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，
由（2）知，BD＝CD+AD＝×+AD＝+AD，
∴82﹣AD2＝（+AD）2，
∴AD＝（舍去不符合題意），
∴BD＝+AD＝+＝，
即△CDE面積的面積最大值為4，此時，BD＝．
第20頁（共21頁）

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