資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2.4 有理數(shù)的除法 同步講練
知識(shí)點(diǎn)（一）有理數(shù)除法法則
有理數(shù)除法法則：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；零除以任何一個(gè)不等于零的數(shù)都得零。
【題型1】有理數(shù)的除法
【例題1】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1）； （2）．
【答案】（1）5；（2）10
【分析】本題考查了多個(gè)有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)除法運(yùn)算法則．
（1）（2）先確定符號(hào)，除法轉(zhuǎn)乘法，再計(jì)算；
解：（1）
；
（2）
．
【變式1】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【答案】 8 0
【分析】本題考查了有理數(shù)的除法，根據(jù)有理數(shù)的除法法則求解即可．
解：（1）
故答案為：；
（2）
故答案為：8；
（3）；
故答案為：0；
（4）；
故答案為：；
（5）；
故答案為：；
（6）．
故答案為：．
【變式2】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本題考查了多個(gè)有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．
（1）先確定符號(hào)，小數(shù)化分?jǐn)?shù)，除法轉(zhuǎn)乘法，再計(jì)算；
（2）先確定符號(hào)，小數(shù)化分?jǐn)?shù)，除法轉(zhuǎn)乘法，再計(jì)算．
解：（1）
；
（2）
．
由例題可知：（1）進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，先確定符號(hào)，然后再把除法換成乘法，再計(jì)算；（2）有小數(shù)時(shí)，一般來說把小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式。
【題型2】有理數(shù)除法的應(yīng)用
【例題2】（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽·期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師拿來5張數(shù)字卡片（如圖），讓同學(xué)們按照要求抽出相應(yīng)的卡片，并完成下列問題．
（1）從中抽取2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除商最小；
（2）從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．寫出運(yùn)算式子．（寫出一種即可）
【答案】（1）和；（2）（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是平時(shí)強(qiáng)化計(jì)算能力的訓(xùn)練，提高計(jì)算的速度和技巧．
（1）要找相除商最小的就要找符號(hào)相異且絕對(duì)值最大的數(shù)和絕對(duì)值最小的數(shù)，進(jìn)而求解即可；
（2）答案不唯一，用加減乘除只要答數(shù)是24即可．
解：（1）解：根據(jù)題意得，要找相除商最小的就要找符號(hào)相異且絕對(duì)值最大的數(shù)和絕對(duì)值最小的數(shù)，
∴應(yīng)抽取的卡片為和，
∴；
（2）解：抽取，5，，3
∴（答案不唯一）．
【變式1】（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知非零實(shí)數(shù)，，滿足，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，對(duì)已知條件進(jìn)行分析，借助有理數(shù)的加法法則，假設(shè)，，之間的關(guān)系，是本題解題關(guān)鍵．對(duì)已知條件進(jìn)行分析，由，，的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，由此即可求解
解：∵，且，
∴，，中有一個(gè)為，
不妨設(shè)，則，
∴，
不妨設(shè)，則，
∴
故選：．
【變式2】（24-25七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）已知有理數(shù)滿足等式，有理數(shù)在數(shù)軸上分別用點(diǎn)表示，若動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過3秒到達(dá)點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間是 秒．
【答案】4
【分析】本題主要查了絕對(duì)值的非負(fù)性，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，有理數(shù)的減法．根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，可得，從而得到點(diǎn)，點(diǎn)間的距離，點(diǎn)，點(diǎn)間的距離，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的速度，即可求解．
解：∵，
∴，，，
∴，
∴點(diǎn)，點(diǎn)間的距離為，點(diǎn)，點(diǎn)間的距離為，
∵動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過3秒到達(dá)點(diǎn)，
∴動(dòng)點(diǎn)每秒移動(dòng)個(gè)單位長度，
∴動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間是秒．
故答案為：4．
知識(shí)點(diǎn)（二）除法與乘法的關(guān)系
除以一個(gè)數(shù)（不等于零），等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
【題型3】利用進(jìn)行運(yùn)算
【例題3】（24-25七年級(jí)上·河南焦作·階段練習(xí)）閱讀下列材料：
計(jì)算：，
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式的倒數(shù)
所以原式
（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法 ______是錯(cuò)誤的；
（2）計(jì)算：______；
（3）請(qǐng)你選擇合適的解法計(jì)算：
【答案】（1）一；（2）15；（3）
【分析】此題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)運(yùn)算法則的掌握．
（1）有理理數(shù)的除法沒有分配律，據(jù)此可判斷；
（2）利用乘法的分配律進(jìn)行求解即可；
（3）仿照解法三進(jìn)行解答即可．
解：（1）解：除法沒有分配律，故解法一錯(cuò)誤，
故答案為：一；
（2）解：


，
故答案為：；
（3）解：原式的倒數(shù)



，
【變式1】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算的值．
【答案】
【分析】利用有理數(shù)乘法分配律求出的結(jié)果，即可求解．
解：
所以原式
【變式2】（23-24七年級(jí)上·廣東河源·期中）
計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)乘除的簡便運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘除的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
解：
，
∵與互為倒數(shù)的關(guān)系，
∴，
∴原式．
利用則是常考重點(diǎn)之一
【題型4】有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算
【例題4】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是∶
（1）先確定符號(hào)，除法轉(zhuǎn)乘法，再計(jì)算即可；
（2）先確定符號(hào)，除法轉(zhuǎn)乘法，再計(jì)算即可．
解：（1）解：；
（2）解：．
【變式1】（23-24九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）閱讀下面的解題過程并解答問題：
計(jì)算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）上面解題過程從第______步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是______．
（2）請(qǐng)寫出正確的解答過程．
【答案】（1）二，運(yùn)算順序不對(duì)；（2）見分析
【分析】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算；
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算的運(yùn)算順序可得答案；
（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可.
解：（1）解：上面解題過程從第二步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是運(yùn)算順序不對(duì)；
（2）解：
.
【變式2】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法和有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和除法法則．
（1）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計(jì)算即可．
（2）利用有理數(shù)的乘法和除法法則計(jì)算即可．
解：（1）解：
（2）解：
知識(shí)點(diǎn)（三）有理數(shù)四則運(yùn)算法則
再算乘除（從左到右依次計(jì)算）；
最后算加減（從左到右依次計(jì)算）；
有括號(hào)時(shí)，先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)。
【題型5】有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算
【例題5】（24-25七年級(jí)上·天津和平·階段練習(xí)）計(jì)算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【答案】（1）10；（2）；（3）7；（4）
【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，“先算算乘除，最后算加減，有小括號(hào)的先算小括號(hào)里面的”．
（1）（2）先減法變加法，再利用有理數(shù)加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）先算小括號(hào)，再算乘除即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【變式1】（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·開學(xué)考試）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律等知識(shí)點(diǎn)，正確應(yīng)用乘法分配律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則以及乘法運(yùn)算律逐項(xiàng)判斷即可解答．
解：A：左邊為，根據(jù)乘法分配律，應(yīng)展開為，但選項(xiàng)A的右邊為，符號(hào)錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B．左邊為，正確展開應(yīng)為，但選項(xiàng)B的右邊為，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤，不符合題意；
C．左邊為，根據(jù)分配律展開為，計(jì)算得，與左邊結(jié)果一致，故C正確，符合題意；
D．除法不滿足分配律，左邊，右邊，明顯不等，故D錯(cuò)誤，不符合題意．
故選C．
【變式2】（24-25七年級(jí)上·貴州·期末）我們知道：，…，那么 ．
利用上面的規(guī)律計(jì)算： ．
【答案】
【分析】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于利用拆分法得出的規(guī)律變形，再計(jì)算即可．
根據(jù)已知等式得出拆項(xiàng)方法，寫出規(guī)律；原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．
解：∵，…，
∴；
∴
．
故答案為：，．
【題型6】帶中括號(hào)的有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算
【例題6】（24-25六年級(jí)上·上海·期中）計(jì)算：
【答案】
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，先計(jì)算小括號(hào)內(nèi)的減法，再計(jì)算中括號(hào)內(nèi)的除法，接著把括號(hào)外的除法變成乘法后利用乘法分配律求解即可．
解：
．
【變式1】（24-25七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）計(jì)算
【答案】
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，按照先計(jì)算乘除法，再計(jì)算加減法，有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)的運(yùn)算順序求解即可．
解：
．
【變式2】（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）
計(jì)算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，有理數(shù)乘法運(yùn)算律：先用乘法分配律去小括號(hào)，再計(jì)算加減法，最后計(jì)算除法即可．
解：
【題型7】有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用
【例題7】（25-26七年級(jí)上·重慶渝北·自主招生）商場的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)，結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)有多少級(jí)？
【答案】當(dāng)該扶梯靜止時(shí)有100級(jí)
【分析】本題主要考查有理數(shù)四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，上樓的速度可以分為兩部分：一部分是兩個(gè)孩子自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度．男孩40秒鐘走了（級(jí)），女孩50秒鐘走了（級(jí)），女孩比男孩少走了（級(jí)），多用了（秒），說明電梯10秒鐘走5級(jí)，即1秒鐘走0.5級(jí)．由男孩40秒鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（級(jí)），據(jù)此解答．
解：電梯每秒鐘走的級(jí)數(shù)：
（級(jí)），
電梯的總級(jí)數(shù)：
（級(jí)），
答：當(dāng)該扶梯靜止時(shí)有100級(jí)．
【變式1】（24-25七年級(jí)上·云南·階段練習(xí)）某超市賣一種輪滑鞋，售價(jià)的是進(jìn)價(jià)，售價(jià)的是賺的錢．現(xiàn)在要搞促銷活動(dòng)，原來每雙售價(jià)為150元的這種輪滑鞋，為保證一雙賺的錢不少于30元，最多打（ ）折．
A．七 B．七五 C．八 D．八五
【答案】C
【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，先計(jì)算出進(jìn)價(jià)，再由進(jìn)價(jià)加上利潤求出打折后的售價(jià)，再用打折后的售價(jià)除以原售價(jià)即可得到答案．
解：，
∴打八折時(shí)剛好賺30元，
∴為保證一雙賺的錢不少于30元，最多打八折，
故選：C．
【變式2】（24-25六年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）已知A、B、C三站是長途客車在一條筆直公路同側(cè)停靠的三個(gè)站點(diǎn)，A、B兩站相距160千米，A、C兩站的距離是A、B兩站的距離的，一輛長途客車從A站出發(fā)沿公路開往B站，到達(dá)B站停靠20分鐘后沿公路返回C站．若長途客車的行駛速度為60千米/時(shí)，則從A站出發(fā)到C站停止一共用了 小時(shí)．
【答案】5或
【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意，列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．分兩種情況：①C在A、B兩站之間；②A在C、B兩站之間，列式求解即可．
解：①當(dāng)C在A、B兩站之間時(shí)，
（小時(shí)）；
②當(dāng)A在C、B兩站之間時(shí)，
=（小時(shí)）；
∴從A站出發(fā)到C站停止一共用了5或小時(shí)，
故答案為：5或．
同步練習(xí)
【基礎(chǔ)鞏固（15題）】
一、單選題
1．（2025·湖南·模擬預(yù)測）下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算，有理數(shù)比較大小，算出每個(gè)選項(xiàng)的值，再比較大小即可．
解：，，，，
∵，
∴值最大的是，
故選：C．
2．（24-25七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)法則計(jì)算并判斷即可．
解：A、，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、，故此選項(xiàng)不正確，符合題意；
C、，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：B．
3．（2025·山東濟(jì)南·二模）已知表示有理數(shù)a，b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的除法計(jì)算，根據(jù)數(shù)軸可得，據(jù)此化簡絕對(duì)值后計(jì)算求解即可．
解：由數(shù)軸可得，
∴
，
，
故選：C．
4．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）將下列運(yùn)算符號(hào)填入算式的“”中，使運(yùn)算結(jié)果最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算出四種運(yùn)算下的結(jié)果即可得．
解：
使運(yùn)算結(jié)果最小的是
故選：D．
5．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖是一個(gè)計(jì)算程序框圖，若輸入的值為，則輸出的結(jié)果為（　　）

A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】本題主要考查了程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算，有理數(shù)四則混合運(yùn)算，有理數(shù)大小比較等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，弄清程序流程圖的計(jì)算步驟與判斷邏輯是解題的關(guān)鍵．
先將輸入的值按照程序框圖的計(jì)算步驟計(jì)算一遍，然后根據(jù)判斷結(jié)果確定是否再次進(jìn)入循環(huán)或者跳出循環(huán)進(jìn)行輸出，最終即可得出答案．
解：由程序框圖可知：
，
，
需要再循環(huán)一次，
，
，
輸出的結(jié)果為，
故選：．
6．（24-25七年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著．它介紹了分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的另一種方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用這種方法計(jì)算的．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，根據(jù)《九章算術(shù)》的方法，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)需先通分使分母相同，再將分子直接相除，熟練掌握通分和分子直接相除的方法是解題的關(guān)鍵．通過以上知識(shí)點(diǎn)，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，判斷是否符合此步驟．
解：選項(xiàng)A：將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)后計(jì)算，未通分，不符合題意；
選項(xiàng)B：通過乘以倒數(shù)計(jì)算，屬于常規(guī)分?jǐn)?shù)除法，未通分，不符合題意；
選項(xiàng)C：通過分子分母同乘一個(gè)數(shù)使除數(shù)變?yōu)?，屬于商不變規(guī)律的應(yīng)用，未通分成同分母，不符合題意；
選項(xiàng)D：將和通分為和，再直接相除分子9和8，完全符合題目所述方法；
故選：D．
二、填空題
7．（24-25七年級(jí)上·廣東廣州·期末）計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法法則計(jì)算即可．
解：
．
故答案為：．
8．（25-26六年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）減去一個(gè)分?jǐn)?shù)，加上這個(gè)分?jǐn)?shù)，兩次計(jì)算結(jié)果相同，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查有理數(shù)的減法運(yùn)算和有理數(shù)的除法運(yùn)算；根據(jù)題意列式，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
解：
，
故答案為：．
9．（24-25七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點(diǎn)，分別表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，并且這兩個(gè)點(diǎn)的距離是8，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，則點(diǎn)表示的數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了相反數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；相反數(shù)分為兩類：一、0的相反數(shù)為0，二、可以是一個(gè)正數(shù)與一個(gè)負(fù)數(shù)，但它們的絕對(duì)值相等，即這兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，掌握相反數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)相反數(shù)的概念得和是一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)，且距離為8；由相反數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，所以可以得出兩點(diǎn)所表示的數(shù)，即可得到結(jié)果．
解：，
在原點(diǎn)的左側(cè)，
表示的數(shù)為．
故答案為：．
10．（24-25七年級(jí)下·江蘇南京·期末）已知兩組數(shù)，第一組：，，，，；第二組：，，，．將第一組中的每一個(gè)數(shù)與第二組中的每一個(gè)數(shù)相乘，則所有乘積的和是 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握混合運(yùn)算的順序和法則是解題的關(guān)鍵，注意結(jié)果的符號(hào)．根據(jù)題意列出算式，再逆運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，那么所有這樣的乘積總和即為兩組數(shù)分別求和再相乘．
解：由題意得所有乘積的和是：
故答案為：．
11．（24-25八年級(jí)上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）我們知道；；；…，根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算 ．
【答案】 /
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)已知等式得出拆項(xiàng)方法，寫出規(guī)律；原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．
解：，
故答案為：．
12．（24-25七年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)3元（即行駛距離不超過都需3元車費(fèi)），超過以后，每增加，加收元（不足按計(jì)算），某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)9元，設(shè)從甲地到乙地的路程為，那么的最大值是 ．
【答案】8
【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)求出超過的部分的路程（取整收費(fèi)）即可得到答案．
解：千米，
∴超過的部分是按照的距離收費(fèi)的，
∴的最大值是，
故答案為：8．
三、解答題
13．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)有理數(shù)除法法則，除以一個(gè)數(shù)等于乘以它的倒數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法法則計(jì)算即可；
（2）將有理數(shù)除法轉(zhuǎn)為有理數(shù)乘法，然后根據(jù)乘法法則計(jì)算即可．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（24-25七年級(jí)下·北京·開學(xué)考試）計(jì)算：
【答案】
【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
先算小括號(hào)里的加減法，再算中括號(hào)里的除法，然后算中括號(hào)里的減法，最后算括號(hào)外的乘法；
解：
．
15．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期末）閱讀以下材料，完成相關(guān)的填空和計(jì)算：
（1）若，則______．
（2）計(jì)算：．
（3）根據(jù)以上信息可知：______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算、倒數(shù)，靈活運(yùn)用倒數(shù)求解是解答的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)求解即可；
（2）根據(jù)除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)和乘法分配律求解即可；
（3）根據(jù)（2）中計(jì)算結(jié)果和倒數(shù)定義可求解．
解：（1）解：∵，
∴，
故答案為：；
（2）解：
；
（3）解：由上知，
∴，
故答案為：．
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期末）下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算法則逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算并判斷，即可解答．
解：A、，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，故C選項(xiàng)正確；
D、，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
2．（24-25七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）下列各式中，與的運(yùn)算結(jié)果相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則逐一計(jì)算，并與題中的計(jì)算結(jié)果比較即可．
本題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
解：
A中、，不相同，故選項(xiàng)不符合題意；
B中、相同，故選項(xiàng)符合題意：
C中、，不相同，故選項(xiàng)不符合題意；
D中、，不相同，故選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
3．（24-25六年級(jí)下·廣東汕頭·自主招生）端午節(jié)到來之際，甲、乙、丙三個(gè)超市都進(jìn)行促銷活動(dòng)，同一品牌原件20元一袋的八寶糯米粽子，甲超市每袋降價(jià)，乙超市買三送一，丙超市每袋打八折出售，媽媽要買4袋粽子，去（ ）超市購買更省錢．
A．甲 B．乙 C．丙 D．都一樣
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，有理數(shù)大小比較，分別計(jì)算出三個(gè)超市優(yōu)惠后的價(jià)格，進(jìn)行比較法解決問題即可．
解：（元），
甲超市優(yōu)惠后價(jià)格：
（元），
乙超市優(yōu)惠后價(jià)格：
（元），
丙超市優(yōu)惠后價(jià)格：（元），
，
則從乙超市購買最省錢，
故選：B．
4．（24-25七年級(jí)上·福建泉州·期末）已知，則的最大值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)，得到的符號(hào)為2正1負(fù)，或者2負(fù)1正，根據(jù)絕對(duì)值的意義，以及式子的特點(diǎn)得到，時(shí)，式子的值最大，進(jìn)行求解即可．
解：∵，
∴的符號(hào)為2正1負(fù)，或者2負(fù)1正，
∴，，為2個(gè)1，1個(gè)或1個(gè)，2個(gè)
∵最大，
∴，，
∴ 的最大值為；
故選C．
5．（24-25七年級(jí)上·重慶長壽·期中）如圖，邊長為2個(gè)單位長度的正方形一邊與數(shù)軸重合，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的，將正方形沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)，則數(shù)軸上的數(shù)字2024對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與正方形的（ ）重合
A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D
【答案】C
【分析】本題考查了數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問題，有理數(shù)的除法的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)軸上數(shù)字在正方形滾動(dòng)過程中的對(duì)應(yīng)規(guī)律，找到滾動(dòng)過程中數(shù)字的對(duì)應(yīng)方式即可解答．
解：，
∴正方形到達(dá)數(shù)軸上的數(shù)字2024時(shí)，正方形滾動(dòng)253圈后再滾動(dòng)1次，
正方形的頂點(diǎn)每次循環(huán)一次，即第一次為點(diǎn)C，第二次為點(diǎn)B，第三次為點(diǎn)A，第四次為點(diǎn)D，；
∴數(shù)軸上的數(shù)字2024將與字母C重合，
故選：C．
6．（24-25七年級(jí)下·四川樂山·期中）已知：則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，觀察所給式子得到一般規(guī)律，即可求解
解：∵，
∴，
，
故選：A．
二、填空題
7．（24-25七年級(jí)上·北京順義·期末）計(jì)算： .
【答案】/
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘除法則．
先根據(jù)有理數(shù)的除法法則，把除法化成乘法，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．
解：原式，
，
，
故答案為：．
8．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，將一把刻度尺放在數(shù)軸上，刻度尺上的數(shù)字2、4、9分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x、0、10，則x的值應(yīng)該是 ．
【答案】
【分析】本題考查數(shù)軸，有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)數(shù)軸的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題即可．
解：由題可知，
數(shù)軸0到10之間的距離是，
則每格代表的距離為，
因?yàn)閤在原點(diǎn)的左側(cè)，代表負(fù)數(shù)，
則x代表的數(shù)是，
故答案為：．
9．（24-25七年級(jí)上·陜西渭南·期末）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是 ．
【答案】/
【分析】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，化簡絕對(duì)值，有理數(shù)的大小比較，先分別求出a，b，c的值，再比較大小即可
解：∵，，，
∴，
∵，,
∴，即，
故答案為：.
10．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）按如圖所示程序計(jì)算，若輸入為，輸出結(jié)果為，步驟①是一次除法運(yùn)算，則該步驟是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，設(shè)①為，依題意，，進(jìn)而即可求解．
解：設(shè)①為，依題意，
∴
解得：
故答案為：．
11．（22-23七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，厘米，點(diǎn)C在線段上，且厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，在直線上運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不同，則經(jīng)過 秒時(shí)，線段的長為6厘米．
【答案】或
【分析】此題考查了兩點(diǎn)間的距離有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，以及分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．首先根據(jù)厘米，厘米，求出的長度是多少；然后分兩種情況：點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)；求出經(jīng)過多少秒時(shí)線段的長為6厘米即可．
解：∵厘米，厘米，
∴（厘米）；
（1）點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（秒）
（2）點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（秒）
∴經(jīng)過或秒時(shí)線段的長為6厘米．
故答案為：或．
12．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）新定義用“”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)和，規(guī)定．例如：．
（1）計(jì)算： ；
（2）從，中任選兩個(gè)有理數(shù)作為和，并計(jì)算，那么所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是 ．
【答案】
【分析】（）直接利用規(guī)定的運(yùn)算方法計(jì)算即可；
（）要使結(jié)果最大，必須使這兩個(gè)數(shù)的和最大，且兩個(gè)數(shù)的差最小，由此可知和符合題意，由此按照規(guī)定的運(yùn)算計(jì)算得出答案即可；
此題考查了新定義，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，掌握規(guī)定的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．
解：（），
故答案為：；
（）根據(jù)題意和兩個(gè)有理數(shù)符合題意，
則，
故答案為：．
三、解答題
13．（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期中）計(jì)算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（）先通過有理數(shù)的乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算進(jìn)行求解即可；
（）根據(jù)有理數(shù)的乘除法即可進(jìn)行求解；
本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（24-25七年級(jí)上·湖南婁底·階段練習(xí)）計(jì)算：
（1）． （2）．
【答案】（1）﹣；（2）
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法運(yùn)算和有理數(shù)的除法運(yùn)算，解決此題的關(guān)鍵是注意計(jì)算的正確性．
（1）根據(jù)法則可以判斷符號(hào)為負(fù)，再根據(jù)除法法則變乘法，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)有理數(shù)的除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于陳乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，再根據(jù)乘法分配律，即可得到結(jié)果．
解：（1）解：
（2）解：
15．（24-25七年級(jí)上·江西南昌·期中）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算：”甲乙丙三位同學(xué)仔細(xì)思考了一番，分別用了一種不同的方法解決了這個(gè)問題．
甲同學(xué)的解法是：原式；
乙同學(xué)的解法是：原式的倒數(shù)為，
所以；
丙同學(xué)的解法是：原式；
（1）你認(rèn)為解答過程完全正確的是 ．（將正確答案的序號(hào)填在橫線上）
A．只有甲同學(xué) B．只有乙同學(xué)
C．甲乙同學(xué)都正確 D．三位同學(xué)解題過程都正確
（2）請(qǐng)你運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕夥ń獯鹣旅娴膯栴}．
計(jì)算：；
【答案】（1）C；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，乘法分配律，熟練掌握有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則、準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則即可做出判斷；
（2）觀察所求的式子，可以按照乙同學(xué)的解法求解．
解：（1）解：甲同學(xué)的解法：原式，運(yùn)算過程正確；
乙同學(xué)的解法：原式的倒數(shù)為，
所以，運(yùn)算過程正確；
丙同學(xué)的解法：原式，除法沒有分配率，運(yùn)算過程錯(cuò)誤；
所以甲乙同學(xué)的運(yùn)算過程都正確，丙同學(xué)的運(yùn)算過程錯(cuò)誤；
故選：C；
（2）解：
；
．
16．（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·期中）某廠本周計(jì)劃每天生產(chǎn)200輛自行車，由于工作人員輪休等原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃生產(chǎn)量相比情況如下表（增加的車輛數(shù)為正數(shù)，減少的車輛數(shù)為負(fù)數(shù)）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增減（單位：輛）
（1）該廠星期三生產(chǎn)電動(dòng)車________輛；
（2）請(qǐng)求出該廠在本周實(shí)際生產(chǎn)自行車的數(shù)量；
（3）該廠實(shí)行“每周計(jì)件工資制”，每生產(chǎn)一輛自行車可以得60元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛在60元基礎(chǔ)上另獎(jiǎng)15元；少生產(chǎn)一輛則倒扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？
【答案】（1）195；（2）1410輛；（3）84750元
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，正數(shù)和負(fù)數(shù)，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義列式計(jì)算即可；
（3）結(jié)合（2）中所求列式計(jì)算即可．
解：（1）解：（輛，
即該廠星期三生產(chǎn)電動(dòng)車195輛，
故答案為：195；
（2）解：
（輛，
即該廠在本周實(shí)際生產(chǎn)自行車的數(shù)量為1410輛；
（3）解：
（元，
即該廠工人這一周的工資總額是84750元．
【中考真題5題】
一、單選題
1．（2025·天津·中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本題考查有理數(shù)的除法運(yùn)算，利用除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
解：；
故選B．
2．（2025·北京·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，絕對(duì)值的意義，利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
先由數(shù)軸得，，且，再逐項(xiàng)分析即可．
解：由數(shù)軸得，，且
∴，，
故A，B，C均錯(cuò)誤，不符合題意，D正確，符合題意，
故選：D．
3．（2023·青海西寧·中考真題）算式的值最小時(shí)，□中填入的運(yùn)算符號(hào)是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】B
【分析】分別將各運(yùn)算符號(hào)代入算式求值，再比較即可．
解：∵，，，，
又∵，
∴最小，
∴□中填入的運(yùn)算符號(hào)是“-”．
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查有理數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，有理數(shù)的大小比較．掌握有理數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
4．（2025·湖北·中考真題）數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)如圖所示，下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了數(shù)軸上數(shù)的大小比較，掌握數(shù)軸的特點(diǎn)是關(guān)鍵．
根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)得到，由此即可求解．
解：根據(jù)題意，，
∴，
故選：A ．
二、填空題
5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）“五月天山雪，無花只有寒”，反映出地形對(duì)氣溫的影響．大致海拔每升高100米，氣溫約下降．有一座海拔為2350米的山，在這座山上海拔為350米的地方測得氣溫是，則此時(shí)山頂?shù)臍鉁丶s為 ．
【答案】－6或零下6
【分析】根據(jù)題意“海拔每升高100米，氣溫約下降”，列出式子即可求解．
解：山頂?shù)臍鉁丶s為
故答案為：－6或零下6．
【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算（不帶乘方）的應(yīng)用，正負(fù)數(shù)的意義，理解題意是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2.4 有理數(shù)的除法 同步講練
知識(shí)點(diǎn)（一）有理數(shù)除法法則
有理數(shù)除法法則：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；零除以任何一個(gè)不等于零的數(shù)都得零。
【題型1】有理數(shù)的除法
【例題1】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1）； （2）．
【變式1】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【變式2】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1）； （2）．
由例題可知：（1）進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，先確定符號(hào)，然后再把除法換成乘法，再計(jì)算；（2）有小數(shù)時(shí)，一般來說把小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式。
【題型2】有理數(shù)除法的應(yīng)用
【例題2】（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽·期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師拿來5張數(shù)字卡片（如圖），讓同學(xué)們按照要求抽出相應(yīng)的卡片，并完成下列問題．
（1）從中抽取2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除商最小；
（2）從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．寫出運(yùn)算式子．（寫出一種即可）
【變式1】（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知非零實(shí)數(shù)，，滿足，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）已知有理數(shù)滿足等式，有理數(shù)在數(shù)軸上分別用點(diǎn)表示，若動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過3秒到達(dá)點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間是 秒．
知識(shí)點(diǎn)（二）除法與乘法的關(guān)系
除以一個(gè)數(shù)（不等于零），等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
【題型3】利用進(jìn)行運(yùn)算
【例題3】（24-25七年級(jí)上·河南焦作·階段練習(xí)）閱讀下列材料：
計(jì)算：，
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式的倒數(shù)
所以原式
（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法 ______是錯(cuò)誤的；
（2）計(jì)算：______；
（3）請(qǐng)你選擇合適的解法計(jì)算：
【變式1】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算的值．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·廣東河源·期中）
計(jì)算：．
利用則是常考重點(diǎn)之一
【題型4】有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算
【例題4】（24-25六年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）計(jì)算：
（1）； （2）．
【變式1】（23-24九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）閱讀下面的解題過程并解答問題：
計(jì)算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）上面解題過程從第______步開始出錯(cuò)，錯(cuò)誤的原因是______．
（2）請(qǐng)寫出正確的解答過程．
【變式2】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算．
（1）； （2）．
知識(shí)點(diǎn)（三）有理數(shù)四則運(yùn)算法則
再算乘除（從左到右依次計(jì)算）；
最后算加減（從左到右依次計(jì)算）；
有括號(hào)時(shí)，先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào)。
【題型5】有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算
【例題5】（24-25七年級(jí)上·天津和平·階段練習(xí)）計(jì)算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【變式1】（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·開學(xué)考試）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式2】（24-25七年級(jí)上·貴州·期末）我們知道：，…，那么 ．
利用上面的規(guī)律計(jì)算： ．
【題型6】帶中括號(hào)的有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算
【例題6】（24-25六年級(jí)上·上海·期中）計(jì)算：
【變式1】（24-25七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）計(jì)算
【變式2】（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）
計(jì)算：．
【題型7】有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用
【例題7】（25-26七年級(jí)上·重慶渝北·自主招生）商場的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)，結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)有多少級(jí)？
【變式1】（24-25七年級(jí)上·云南·階段練習(xí)）某超市賣一種輪滑鞋，售價(jià)的是進(jìn)價(jià)，售價(jià)的是賺的錢．現(xiàn)在要搞促銷活動(dòng)，原來每雙售價(jià)為150元的這種輪滑鞋，為保證一雙賺的錢不少于30元，最多打（ ）折．
A．七 B．七五 C．八 D．八五
【變式2】（24-25六年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）已知A、B、C三站是長途客車在一條筆直公路同側(cè)停靠的三個(gè)站點(diǎn)，A、B兩站相距160千米，A、C兩站的距離是A、B兩站的距離的，一輛長途客車從A站出發(fā)沿公路開往B站，到達(dá)B站停靠20分鐘后沿公路返回C站．若長途客車的行駛速度為60千米/時(shí)，則從A站出發(fā)到C站停止一共用了 小時(shí)．
同步練習(xí)
【基礎(chǔ)鞏固（15題）】
一、單選題
1．（2025·湖南·模擬預(yù)測）下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·山東濟(jì)南·二模）已知表示有理數(shù)a，b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）將下列運(yùn)算符號(hào)填入算式的“”中，使運(yùn)算結(jié)果最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖是一個(gè)計(jì)算程序框圖，若輸入的值為，則輸出的結(jié)果為（　　）

A． B． C． D．3
6．（24-25七年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著．它介紹了分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的另一種方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用這種方法計(jì)算的．
A． B．
C． D．
二、填空題
7．（24-25七年級(jí)上·廣東廣州·期末）計(jì)算： ．
8．（25-26六年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）減去一個(gè)分?jǐn)?shù)，加上這個(gè)分?jǐn)?shù)，兩次計(jì)算結(jié)果相同，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)是 ．
9．（24-25七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點(diǎn)，分別表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，并且這兩個(gè)點(diǎn)的距離是8，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，則點(diǎn)表示的數(shù)為 ．
10．（24-25七年級(jí)下·江蘇南京·期末）已知兩組數(shù)，第一組：，，，，；第二組：，，，．將第一組中的每一個(gè)數(shù)與第二組中的每一個(gè)數(shù)相乘，則所有乘積的和是 ．
11．（24-25八年級(jí)上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）我們知道；；；…，根據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算 ．
12．（24-25七年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)3元（即行駛距離不超過都需3元車費(fèi)），超過以后，每增加，加收元（不足按計(jì)算），某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)9元，設(shè)從甲地到乙地的路程為，那么的最大值是 ．
三、解答題
13．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：
（1）； （2）．
14．（24-25七年級(jí)下·北京·開學(xué)考試）計(jì)算：
15．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期末）閱讀以下材料，完成相關(guān)的填空和計(jì)算：
（1）若，則______．
（2）計(jì)算：．
（3）根據(jù)以上信息可知：______．
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期末）下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）下列各式中，與的運(yùn)算結(jié)果相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25六年級(jí)下·廣東汕頭·自主招生）端午節(jié)到來之際，甲、乙、丙三個(gè)超市都進(jìn)行促銷活動(dòng)，同一品牌原件20元一袋的八寶糯米粽子，甲超市每袋降價(jià)，乙超市買三送一，丙超市每袋打八折出售，媽媽要買4袋粽子，去（ ）超市購買更省錢．
A．甲 B．乙 C．丙 D．都一樣
4．（24-25七年級(jí)上·福建泉州·期末）已知，則的最大值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（24-25七年級(jí)上·重慶長壽·期中）如圖，邊長為2個(gè)單位長度的正方形一邊與數(shù)軸重合，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的，將正方形沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)，則數(shù)軸上的數(shù)字2024對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與正方形的（ ）重合
A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D
6．（24-25七年級(jí)下·四川樂山·期中）已知：則（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（24-25七年級(jí)上·北京順義·期末）計(jì)算： .
8．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，將一把刻度尺放在數(shù)軸上，刻度尺上的數(shù)字2、4、9分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的x、0、10，則x的值應(yīng)該是 ．
9．（24-25七年級(jí)上·陜西渭南·期末）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是 ．
10．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）按如圖所示程序計(jì)算，若輸入為，輸出結(jié)果為，步驟①是一次除法運(yùn)算，則該步驟是 ．
11．（22-23七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，厘米，點(diǎn)C在線段上，且厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，在直線上運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不同，則經(jīng)過 秒時(shí)，線段的長為6厘米．
12．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）新定義用“”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)和，規(guī)定．例如：．
（1）計(jì)算： ；
（2）從，中任選兩個(gè)有理數(shù)作為和，并計(jì)算，那么所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是 ．
三、解答題
13．（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期中）計(jì)算：
（1）； （2）．
14．（24-25七年級(jí)上·湖南婁底·階段練習(xí)）計(jì)算：
（1）． （2）．
15．（24-25七年級(jí)上·江西南昌·期中）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算：”甲乙丙三位同學(xué)仔細(xì)思考了一番，分別用了一種不同的方法解決了這個(gè)問題．
甲同學(xué)的解法是：原式；
乙同學(xué)的解法是：原式的倒數(shù)為，
所以；
丙同學(xué)的解法是：原式；
（1）你認(rèn)為解答過程完全正確的是 ．（將正確答案的序號(hào)填在橫線上）
A．只有甲同學(xué) B．只有乙同學(xué)
C．甲乙同學(xué)都正確 D．三位同學(xué)解題過程都正確
（2）請(qǐng)你運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕夥ń獯鹣旅娴膯栴}．
計(jì)算：；
16．（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·期中）某廠本周計(jì)劃每天生產(chǎn)200輛自行車，由于工作人員輪休等原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃生產(chǎn)量相比情況如下表（增加的車輛數(shù)為正數(shù)，減少的車輛數(shù)為負(fù)數(shù)）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增減（單位：輛）
（1）該廠星期三生產(chǎn)電動(dòng)車________輛；
（2）請(qǐng)求出該廠在本周實(shí)際生產(chǎn)自行車的數(shù)量；
（3）該廠實(shí)行“每周計(jì)件工資制”，每生產(chǎn)一輛自行車可以得60元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛在60元基礎(chǔ)上另獎(jiǎng)15元；少生產(chǎn)一輛則倒扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？
【中考真題5題】
一、單選題
1．（2025·天津·中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2025·北京·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·青海西寧·中考真題）算式的值最小時(shí)，□中填入的運(yùn)算符號(hào)是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
4．（2025·湖北·中考真題）數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)如圖所示，下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）“五月天山雪，無花只有寒”，反映出地形對(duì)氣溫的影響．大致海拔每升高100米，氣溫約下降．有一座海拔為2350米的山，在這座山上海拔為350米的地方測得氣溫是，則此時(shí)山頂?shù)臍鉁丶s為 ．
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