資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.5 有理數的乘方 同步講練
知識點（一）有理數的乘方
一般地，在數學上我們把個相同的因數相乘的積記作，即
這種求幾個相同因數積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪，在中，叫底數，叫指數，讀作“的次方”或“的次冪”。
一個數可以看作這個數的1次方，1可以省略不寫，二次方也叫平方，三次方也叫立方。
【題型1】有理數乘方的概念與意義
【例題1】（23-24七年級·全國·假期作業）與有什么不同？結果相等嗎？
【變式1】（24-25七年級上·安徽合肥·期中）的意義是（　　）
A．4個相乘 B．4個相加
C．乘以4 D．的相反數
【變式2】（24-25六年級下·上海·假期作業）的底數是 ，指數是 ；的底數是 ，指數是 ；的底數是 ，指數是 ．
知識點（二）有理數的乘方的符號規律
正數的任何次乘方結果均為正數；負數的乘方中，指數是奇數時結果為負數，指數是偶數時結果為正數，即：，。
【題型2】乘方符號規律
【例題2】（22-23七年級上·廣東深圳·期中）下列各數，，，，中，負數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式1】（23-24七年級上·全國·課堂例題）有下列各數：①；②；③；④，其中結果等于的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【變式2】（23-24七年級上·河南漯河·階段練習）若有理數，，滿足，求的值．
【題型3】乘方的運算
【例題3】（24-25七年級上·甘肅蘭州·期中）已知有理數滿足：，且，則請求的值．
【變式1】（23-24七年級上·重慶·期中）下列計算結果相等為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式2】（24-25七年級上·河南洛陽·期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【變式3】24-25七年級上·山東濟寧·期中）比較大小： （填或）．
【題型4】乘方的應用
【例題4】（24-25七年級下·重慶開州·開學考試）在日常生活中，我們最熟悉最常用的是十進制，逢十進一，計算技術中廣泛采用的是二進制，是用0和1兩個數字計數是逢二進一，十進制和二進制可以相互轉化，如將二進制1101換算成十進制數應為，按此方式，把二進制數轉化為十進制數結果是 ．
【變式1】（24-25七年級上·山西晉中·期中）如圖，某種細胞每過便由個分裂成個．經過，這種細胞能由個分裂成（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式2】（2024七年級上·云南·專題練習）閱讀材料：求的值．
解：設，
將等式兩邊同時乘以2得：，
將下式減去上式得，
即，
即．
請你仿照此法計算：
（1）；
（2）．
知識點（三）科學記數法
把一個大于10的數表示成的形式（其中是整數數位只有一位的數，（），這種記數法叫做科學記數法。
【要點說明】熟悉：（1）1萬=；（2）1億=。
【題型5】科學記數法
【例題5】（2025·四川成都·三模）錦州是遼寧省主要產食鹽區之一，擁有海岸線總長977000米，素有“海上錦州”的美譽，用科學記數法可表示為（　　）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25七年級上·吉林·階段練習）防疫工作一刻都不能放松，截至年月日時，全球累計確診感染新冠肺炎約為億人，將數字億用科學記數法表示為 ．
【變式2】（2025·河南新鄉·二模）據統計，2024年我國新能源汽車的產量為1316萬輛，比上年增長，其中1316萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【題型6】科學記數法表示原數
【例題6】（2024七年級上·全國·專題練習）下列是用科學記數法表示的數，把原數填在橫線上： ； ．
【變式1】（2025九年級下·廣西·專題練習）截至2025年3月25日，中國國家博物館文創鳳冠冰箱貼累計銷量突破件，帶動鳳冠全系列產品銷售額跨越億元．用科學記數法表示的數原來是（ ）
A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001
【變式2】（2025·湖南婁底·一模）僅上映28天，電影《哪吒之魔童鬧海》全球票房突破135億元人民幣、超越《頭腦特工隊》登頂全球動畫電影票房榜，13500000000用科學記數法可表示為，則a的值是（ ）
A．135 B． C． D．
【基礎鞏固（16題）】
一、單選題
1．（2025·江蘇無錫·模擬預測）無錫博物院位于太湖廣場中央，博物院內擁有文物近40000件，以古代書畫、歷代紫砂、惠山泥人和無錫近現代革命文物和民族工商業文物為主要收藏文物．數據40000用科學記數法可表示為（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·四川宜賓·模擬預測）下列四個數：，，，，其中負數的個數是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
3．（24-25七年級下·福建三明·期中）對于與，下列敘述中正確的是（ ）
A．底數相同，運算結果相同 B．底數相同，運算結果不同
C．底數不同，運算結果相同 D．底數不同，運算結果不同
4．（23-24九年級下·山東德州·階段練習）計算（m個3，n個4）的結果是（ ）
A． B． C．+4n D．
5．（24-25七年級上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·廣西柳州·三模）“結繩計數”是遠古時代人類智慧的結晶，即人們通過在繩子上打結來記錄數量，類似我們現在熟悉的“進位制”，如圖所示是一位古人記錄的當天采摘果實的個數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿四進一，根據圖示可知，這位古人當天采摘果實的個數是（ ）
A．186 B．185 C．184 D．183
二、填空題
7．（24-25六年級上·上海崇明·期末）若4個相乘，寫成乘方的形式是 ，計算結果為 ．
8．（24-25七年級上·河南洛陽·期末）《康熙字典》是清朝康熙年間出版的圖書，字典全書共收錄漢字余個，則的原數為 ．
9．（23-24七年級上·重慶·期中）計算： ．
10．（24-25七年級上·四川南充·期中）已知的最大值為 ．
11．（24-25七年級上·江蘇泰州·期中）如圖，在下列計算程序中填寫適當的數 ．
12．（24-25七年級下·山東棗莊·期中）閱讀理解：我們知道一般地，加減運算是互逆運算，乘除運算也是互逆運算；其實乘方運算也有逆運算；如我們規定式子可以變形為，也可以變形為．在式子中，3叫做以2為底8的對數，記為．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數，記為，即．根據上面的規定，請計算 ．
三、解答題
13．（24-25七年級上·福建漳州·期中）把數在數軸上表示出來，然后用“”把它們連接起來．
14．（24-25七年級上·湖北·期中）小明同學設計了4張如圖寫有不同運算的卡片，，，，小明選擇一個有理數，讓小聰選擇，，，的順序，進行一次列式計算．如：選擇了2和的順序，其結果是...
（1）當小明選擇了3，小聰選擇的順序，列出算式并計算結果；
（2）當小明選擇了，小聰選擇了的順序，若列式計算的結果剛好為，請判斷小聰選擇的順序并列出算式．
15．（24-25七年級上·山西長治·期中）探尋規律，學以致用
（1）把左右兩邊計算結果相等的式子用線連接起來：
觀察上面計算結果相等的各式之間的關系，可歸納出的結論是：______．
（2）利用上述規律計算下式的值：
．
16．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）數學興趣小組在合作學習過程中獲得知識的同時，也提出新的問題．例如：根據，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值嗎？他們對此進行了研究，并規定：若，那么，例如：若，則．根據他們的研究結果，解答下列各題：
（1）填空：_________，________；
（2）計算：；
（3）若，求的值．
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（2025·河南新鄉·二模）據統計，2024年我國新能源汽車的產量為1316萬輛，比上年增長，其中1316萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年級上·全國·專題練習）已知，則值是（ ）
A． B．6 C． D．9
3．（22-23七年級上·江蘇南通·階段練習）①；②；③；④；⑤；⑥，其結果為正數的有幾個（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（24-25六年級下·上海·假期作業）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示即；，，，，，…，請你推算的個位數字是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．8
5．（2025·寧夏銀川·一模）若實數在數軸上的對應點的位置如圖所示，則以下結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七年級上·全國·專題練習）觀察下面兩行數：
第一行：4，，16，，36，…；
第二行：6，，18，，38，…．
則第二行中的第6個數是 ．
二、填空題
7．（22-23七年級上·陜西渭南·期中）的底數是 ．
8．（2025·廣西梧州·一模）廣西區統計局公布了廣西區2024年經濟運行情況，統計顯示，2024年廣西區GDP總量為萬億元．“萬億”用科學記數法表示為 ．
9．（21-22六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）已知，，且，則的值是 ．
10．（24-25七年級上·北京·期中）在數軸上，所表示的點在所表示的點的左邊，且，則的值為 ．
11．（24-25七年級上·河南周口·期中）若，則a，的大小關系用“<”連接為 ．
12．（2024七年級上·全國·專題練習）觀察下面一列數：，…，將這列數排成如圖的圖形．按照此規律排下去，那么第10行從左邊數第1個數是 ，數2024是第 行從左邊數第 個數．
三、解答題
13．（24-25七年級上·廣西防城港·期中）在數軸上表示下列各數，并將這些數按從小到大的順序排列，再用“”連接起來：
，，，，0，3．
14．（24-25七年級上·福建莆田·期中）計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數來表示數，滿二進一，例：二進制數10000轉化為十進制數：；其他進制也有類似的算法．
（1）根據以上信息，將二進制數“1011”轉化為十進制數．
（2）中國古代《易經》一書中記載，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結，滿五進一，用來記錄采集到的野果數量．請計算采集到的野果數量．
15．（24-25七年級上·遼寧鞍山·階段練習）善于反思的小聰在學習了有理數及其運算后，進行了如下總結與反思．請你仔細閱讀并補全小聰的探究過程．
[典例再現]，；，；
[總結歸納]
（1）觀察上述例題，發現結論：
①互為相反數的兩個數的絕對值______；
②互為相反數的兩個數的______；
[知識應用]
（2）已知，，則______，______，若，則______，______．
16．（24-25七年級上·河南開封·期中）閱讀材料，解決問題：
我們學習了乘方的定義和意義，根據乘方和乘法兩種運算之間的轉化了解到： ;觀察上述算式:
可以得到：
類比上述式子，你能夠得到：
（1） ， ；
（2）利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整數）；我們把類似于和這樣的式子叫同底數冪；因此可以得到“同底數冪的乘法”法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
（3）知識運用： ， ；
（4）已知 求的值．
【中考真題5題】
一、單選題
1．（2025·廣東·中考真題）依據《廣東省推動低空經濟高質量發展行動方案（2024-2026年）》，預計2026年廣東省低空經濟規模將超過3000億元．數據3000億用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龍江綏化·中考真題）據統計，2025年端午期間，我國民航客運累計發送旅客萬人次，把萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·遼寧營口·中考真題）有下列四個算式：①；②；③；④．其中，正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
二、填空題
4．（2022·西藏·中考真題）已知，都是實數，若，則 ．
5．（2025·江蘇揚州·中考真題）2025年3月30日，揚州鑒真半程馬拉松暨大運河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數據30000用科學記數法表示為 ．
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2.5 有理數的乘方 同步講練
知識點（一）有理數的乘方
一般地，在數學上我們把個相同的因數相乘的積記作，即
這種求幾個相同因數積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪，在中，叫底數，叫指數，讀作“的次方”或“的次冪”。
一個數可以看作這個數的1次方，1可以省略不寫，二次方也叫平方，三次方也叫立方。
【題型1】有理數乘方的概念與意義
【例題1】（23-24七年級·全國·假期作業）與有什么不同？結果相等嗎？
【答案】表示2個-3相乘，而表示2個3的乘積的相反數；它們的結果不相等．
【分析】根據乘方的意義，即可求解．
解：表示2個-3相乘，而表示2個3的乘積的相反數；
它們的結果不相等，理由如下：
∵，，
∴．
【點撥】本題主要考查了乘方的運算及其意義，熟練掌握乘方的運算法則及其意義是解題的關鍵．
【變式1】（24-25七年級上·安徽合肥·期中）的意義是（　　）
A．4個相乘 B．4個相加
C．乘以4 D．的相反數
【答案】D
【分析】本題考查了乘法與乘方的定義，以及相反數．掌握相關區別是解題關鍵．根據乘方和乘法以及相反數的定義逐項判斷即可．
解：A、4個相乘對應，不符合題意；
B、4個相加對應，不符合題意；
C、乘以4對應，不符合題意；
D、的相反數對應，符合題意；
故選：D．
【變式2】（24-25六年級下·上海·假期作業）的底數是 ，指數是 ；的底數是 ，指數是 ；的底數是 ，指數是 ．
【答案】 3 2 4 5 3
【分析】本題考查了乘方的定義．
乘方的結果叫做冪，在中，叫做底數，叫做指數．
解：的底數是3，指數是2；的底數是，指數是4；的底數是5，指數是3．
故答案為：3，2；，4；5，3．
知識點（二）有理數的乘方的符號規律
正數的任何次乘方結果均為正數；負數的乘方中，指數是奇數時結果為負數，指數是偶數時結果為正數，即：，。
【題型2】乘方符號規律
【例題2】（22-23七年級上·廣東深圳·期中）下列各數，，，，中，負數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】根據有理數乘方符號法則：負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，以及相反數和絕對值去判斷負數的個數．
解：，，，，，所以負數有3個．
故選：B
【點撥】本題主要考查了有理數的乘方，以及絕對值和相反數，牢記乘方的符號法則是解題的關鍵．
【變式1】（23-24七年級上·全國·課堂例題）有下列各數：①；②；③；④，其中結果等于的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根據有理數的乘方，以及相反數的求法，逐項判定即可．
解：①，
②，
③，
④，
∴其中結果等于的是：①②③④．
故選：D．
【點撥】此題主要考查了有理數的乘方，以及相反數的求法，求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“”．
【變式2】（23-24七年級上·河南漯河·階段練習）若有理數，，滿足，求的值．
【答案】1
【分析】根據非負數的性質可得，再把求解的a，b，c的值代入計算即可．
解：∵，
∴，
即，
∴．
【點撥】本題考查的是非負數的性質，求解代數式的值，乘方運算的含義，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．
【題型3】乘方的運算
【例題3】（24-25七年級上·甘肅蘭州·期中）已知有理數滿足：，且，則請求的值．
【答案】4或8或
【分析】本題考查絕對值的意義，有理數的乘方，根據絕對值的意義，和乘方法則，求出的值，再進行減法運算即可．
解：∵，，
∴或，或，
∵，
∴，
∴，或，或
∴或或．
【變式1】（23-24七年級上·重慶·期中）下列計算結果相等為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】本題主要考查了有理數的乘方運算，絕對值的意義，解題的關鍵是熟練掌握有理數乘方運算法則和絕對值的意義，準確進行計算．
根據乘方運算法則和絕對值的意義逐項進行計算即可．
解：A： ，，
，
故該選項不符合題意；
B：，，
，
故該選項不符合題意；
C：，，，
，
故該選項符合題意；
D：，，，
，
故該選項不符合題意；
故選：C．
【變式2】（24-25七年級上·河南洛陽·期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了有理數的乘方運算，變形為，即可求解．
解：原式
．
故選：A．
【變式3】24-25七年級上·山東濟寧·期中）比較大小： （填或）．
【答案】<
【分析】本題考查了有理數的大小比較， 1、在數軸上表示的兩個數，右邊的總比左邊的數大．2、正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數．3、兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小．
先計算各數，再利用有理數大小的比較方法比較即可．
解：，，
∵，
，
．
故答案為：．
【題型4】乘方的應用
【例題4】（24-25七年級下·重慶開州·開學考試）在日常生活中，我們最熟悉最常用的是十進制，逢十進一，計算技術中廣泛采用的是二進制，是用0和1兩個數字計數是逢二進一，十進制和二進制可以相互轉化，如將二進制1101換算成十進制數應為，按此方式，把二進制數轉化為十進制數結果是 ．
【答案】19
【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，由題意知可表示為，然后根據含乘方的有理數混合運算法則計算即可．
解：由題意得，
即轉化為十進制數結果是19，
故答案為：19．
【變式1】（24-25七年級上·山西晉中·期中）如圖，某種細胞每過便由個分裂成個．經過，這種細胞能由個分裂成（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】D
【分析】本題考查了有理數乘方的應用，由細胞每過便由個分裂成個可知分裂次，即得小時分裂次.，再由一個細胞第次分裂成個，即個，第次分裂成個，即個， 第次分裂成個， 即個，據此即可求解，掌握細胞分裂的變化規律是解題的關鍵．
解：∵細胞每過便由個分裂成個，
∴分裂次，
∴小時分裂次.，
一個細胞第次分裂成個，即個，
第次分裂成個，即個，
第次分裂成個， 即個，
由上述規律可知，此細胞分裂次分裂成個，
故選：．
【變式2】（2024七年級上·云南·專題練習）閱讀材料：求的值．
解：設，
將等式兩邊同時乘以2得：，
將下式減去上式得，
即，
即．
請你仿照此法計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查有理數的乘方，解題的關鍵是明確題意，運用題目中的解題方法，運用類比的數學思想解答問題．
（1）設，將等式兩邊同時乘以2，然后按照材料中的方法進行計算，即可得到答案；
（2）設，將等式兩邊同時乘以3，然后按照材料中的方法進行計算，即可得到答案．
解：（1）解：設，
兩邊乘以2得：，
兩式相減得：，
則原式；
（2）解：設，
兩邊乘以3得：，
兩式相減得：，即，
則原式．
知識點（三）科學記數法
把一個大于10的數表示成的形式（其中是整數數位只有一位的數，（），這種記數法叫做科學記數法。
【要點說明】熟悉：（1）1萬=；（2）1億=。
【題型5】科學記數法
【例題5】（2025·四川成都·三模）錦州是遼寧省主要產食鹽區之一，擁有海岸線總長977000米，素有“海上錦州”的美譽，用科學記數法可表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查科學記數法的表示方法，科學記數法的標準形式為，其中，為整數，熟練掌握科學記數法是解題的關鍵．
由即可得到答案．
解：，
故選：B．
【變式1】（24-25七年級上·吉林·階段練習）防疫工作一刻都不能放松，截至年月日時，全球累計確診感染新冠肺炎約為億人，將數字億用科學記數法表示為 ．
【答案】
【分析】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，解題關鍵是正確確定的值以及的值．
根據科學記數法的定義即可求解．
解：億，
故答案為：．
【變式2】（2025·河南新鄉·二模）據統計，2024年我國新能源汽車的產量為1316萬輛，比上年增長，其中1316萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a、n的值是解題的關鍵．
將1316萬寫成其中，n為整數的形式即可．
解：1316萬．
故選C．
【題型6】科學記數法表示原數
【例題6】（2024七年級上·全國·專題練習）下列是用科學記數法表示的數，把原數填在橫線上： ； ．
【答案】
【分析】本題考查了科學記數法，熟練掌握科學記數法是解題的關鍵．科學記數法的形式為，其中，為整數，當時，原數等于把小數點向右移動位，據此解答．
解：；
．
故答案為：；．
【變式1】（2025九年級下·廣西·專題練習）截至2025年3月25日，中國國家博物館文創鳳冠冰箱貼累計銷量突破件，帶動鳳冠全系列產品銷售額跨越億元．用科學記數法表示的數原來是（ ）
A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001
【答案】B
【分析】本題主要考查了用科學記數法表示較大（或較小）的數，一般形式為，其中，n為整數，確定a與n的值是解題的關鍵．根據科學記數法的方法進行解題即可．
解：A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項符合題意；
C、，故該選項不符合題意；
D、，故該選項不符合題意．
故選：B．
【變式2】（2025·湖南婁底·一模）僅上映28天，電影《哪吒之魔童鬧海》全球票房突破135億元人民幣、超越《頭腦特工隊》登頂全球動畫電影票房榜，13500000000用科學記數法可表示為，則a的值是（ ）
A．135 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了科學記數法“將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數的方法叫做科學記數法”，熟記科學記數法的定義是解題關鍵．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．根據科學記數法的定義即可得．
解：；
∴，
故選：C
同步練習
【基礎鞏固（16題）】
一、單選題
1．（2025·江蘇無錫·模擬預測）無錫博物院位于太湖廣場中央，博物院內擁有文物近40000件，以古代書畫、歷代紫砂、惠山泥人和無錫近現代革命文物和民族工商業文物為主要收藏文物．數據40000用科學記數法可表示為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查科學記數法的表示方法，科學記數法的形式為，其中，為整數，需將40000轉化為符合該形式即可．
解：，
故選：C．
2．（2025·四川宜賓·模擬預測）下列四個數：，，，，其中負數的個數是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】本題考查的是負數的含義，化簡多重符號，乘方運算的含義，熟練的化簡各數再作判斷是解本題的關鍵．
解：，，，，
∴負數有：，共2個；
故選：B．
3．（24-25七年級下·福建三明·期中）對于與，下列敘述中正確的是（ ）
A．底數相同，運算結果相同 B．底數相同，運算結果不同
C．底數不同，運算結果相同 D．底數不同，運算結果不同
【答案】C
【分析】本題主要考查了冪的認識和運算，準確分析判斷是解題的關鍵．
根據冪的性質判斷即可．
解：∵，，
∴與，底數不同，運算結果相同．
故選：C．
4．（23-24九年級下·山東德州·階段練習）計算（m個3，n個4）的結果是（ ）
A． B． C．+4n D．
【答案】D
【分析】本題考查乘法的意義，乘方的意義，根據乘法的意義和乘方的意義即可作出判斷．
解：∵m個3相加可記為，n個4相乘可記為，
∴計算，
故選：D．
5．（24-25七年級上·湖南株洲·期中）若，，，那么，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查有理數的乘法、乘方運算及大小比較，先根據運算法則求出、、，再結合正數大于0，0大于負數判斷即可得到答案．
解：由題意可得：
，，，
∵，
∴，
故選：B．
6．（2025·廣西柳州·三模）“結繩計數”是遠古時代人類智慧的結晶，即人們通過在繩子上打結來記錄數量，類似我們現在熟悉的“進位制”，如圖所示是一位古人記錄的當天采摘果實的個數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿四進一，根據圖示可知，這位古人當天采摘果實的個數是（ ）
A．186 B．185 C．184 D．183
【答案】D
【分析】本題考查有理數的運算，讀懂題意，理解古代記數規則，再轉化為現代的十進制數是解決問題的關鍵．
解：根據題意，繩子上按照古代記數規則是，由于滿四進一，將其轉化為現在的十進制數為，
故選：D．
二、填空題
7．（24-25六年級上·上海崇明·期末）若4個相乘，寫成乘方的形式是 ，計算結果為 ．
【答案】
【分析】此題可根據有理數的乘方運算法則，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；
根據有理數的乘方定義和運算法則直接解答即可．
解：
故答案為：，．
8．（24-25七年級上·河南洛陽·期末）《康熙字典》是清朝康熙年間出版的圖書，字典全書共收錄漢字余個，則的原數為 ．
【答案】47000
【分析】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值時，n是負整數．據此解答即可．
解：．
故答案為：47000．
9．（23-24七年級上·重慶·期中）計算： ．
【答案】1
【分析】本題考查乘方與絕對值的運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
先算乘方和絕對值，再算減法．
解：
．
故答案為：1．
10．（24-25七年級上·四川南充·期中）已知的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查乘方的非負性．熟練乘方的非負性是解題的關鍵．
根據乘方的非負性，確定最大值即可．
解：∵，
∴
∴，
∴的最大值為：；
故答案為：．
11．（24-25七年級上·江蘇泰州·期中）如圖，在下列計算程序中填寫適當的數 ．
【答案】4或
【分析】本題主要考查了有理數乘方的逆運算，根據得到要填寫的數與1的和為，據此可得答案．
解：∵，且，
∴填寫的數為4或，
故答案為；4或．
12．（24-25七年級下·山東棗莊·期中）閱讀理解：我們知道一般地，加減運算是互逆運算，乘除運算也是互逆運算；其實乘方運算也有逆運算；如我們規定式子可以變形為，也可以變形為．在式子中，3叫做以2為底8的對數，記為．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數，記為，即．根據上面的規定，請計算 ．
【答案】8
【分析】本題考查了同底數冪乘法的逆運算，乘方的逆運算，根據新定義運算，結合乘方運算，求解即可．
解：∵，，
∴，，
∴，
故答案為：8．
三、解答題
13．（24-25七年級上·福建漳州·期中）把數在數軸上表示出來，然后用“”把它們連接起來．
【答案】數軸見分析，
【分析】此題考查利用數軸比較有理數的大小，把各個數在數軸上表示出來，根據數軸右邊的數總比在左邊的數大，按照從左到右的順序排列起來即可．
解：
14．（24-25七年級上·湖北·期中）小明同學設計了4張如圖寫有不同運算的卡片，，，，小明選擇一個有理數，讓小聰選擇，，，的順序，進行一次列式計算．如：選擇了2和的順序，其結果是...
（1）當小明選擇了3，小聰選擇的順序，列出算式并計算結果；
（2）當小明選擇了，小聰選擇了的順序，若列式計算的結果剛好為，請判斷小聰選擇的順序并列出算式．
【答案】（1）；（2）；
【分析】本題考查程序流程圖與有理數的混合運算：
（1）按照選擇的順序列式計算即可；
（2）按照，兩種順序分別計算，看哪個結果剛好是即可．
解：（1）解：由題意，算式為：，
（2）解：若選擇，
可得：，
若選擇，
可得：，
∴小聰選擇的順序為．
15．（24-25七年級上·山西長治·期中）探尋規律，學以致用
（1）把左右兩邊計算結果相等的式子用線連接起來：
觀察上面計算結果相等的各式之間的關系，可歸納出的結論是：______．
（2）利用上述規律計算下式的值：
．
【答案】（1）連線見詳解，；（2）
【分析】本題主要考查含有乘方的有理數的混合運算，掌握含有乘方的有理數的混合運算是解題的關鍵．
（1）根據有理數的混合運算法則計算，連線，找出規律即可；
（2）根據（1）中的規律，先展開，再根據分數的乘法運算計算即可．
解：（1）解：連線如圖所示，
∴；
（2）解：
．
16．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）數學興趣小組在合作學習過程中獲得知識的同時，也提出新的問題．例如：根據，知道a和n的值，可以求b的值，如果知道a和b的值，可以求n的值嗎？他們對此進行了研究，并規定：若，那么，例如：若，則．根據他們的研究結果，解答下列各題：
（1）填空：_________，________；
（2）計算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）3；2；（2）；（3）2．
【分析】本題主要考查了有理數的乘方計算：
（1）根據結合新定義即可得到答案；
（2）根據新定義分別求出和的值即可得到答案；
（3）根據新定義分別求出a、b的值，進而求出的值，據此可得答案．
解：（1）解：∵，
∴，，
故答案為：3；2；
（2）解：∵，
∴
∴；
（3）解：∵，
∴．
∴．
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（2025·河南新鄉·二模）據統計，2024年我國新能源汽車的產量為1316萬輛，比上年增長，其中1316萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a、n的值是解題的關鍵．
將1316萬寫成其中，n為整數的形式即可．
解：1316萬．
故選C．
2．（2024七年級上·全國·專題練習）已知，則值是（ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】D
【分析】本題主要考查的是非負數的性質，先依據非負數的性質求得a、b的值，然后再代入求解即可．
解：∵，
∴，，
解得，，
∴．
故選：D．
3．（22-23七年級上·江蘇南通·階段練習）①；②；③；④；⑤；⑥，其結果為正數的有幾個（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根據相反數的意義，化簡絕對值以及乘方的運算化簡各數即可求解．
解：①是正數；
②，是負數；
③，是正數；
④，是負數；
⑤，是負數；
⑥，是正數，
①③⑥為正數．故選C．
【點撥】本題考查了相反數的意義，化簡絕對值以及乘方的運算，正確的化簡各數是解題的關鍵．
4．（24-25六年級下·上海·假期作業）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示即；，，，，，…，請你推算的個位數字是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了數字的變化規律，乘方運算．
根據尾數的循環性得出結論即可.
解：由題意知，個位數字每四個數按2，4，8，6循環出現，
∵，
∴的個位數字與相同，為6，
故選：A．
5．（2025·寧夏銀川·一模）若實數在數軸上的對應點的位置如圖所示，則以下結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查用數軸上點表示實數，實數運算，掌握根據數軸上點的位置判斷式子的值是解題的關鍵．
根據數軸得到，結合實數運算法則判斷即可得到答案．
解：由數軸得，，
∴A、，此選項不符合題意，
B、，此選項不符合題意，
C、，，此選項符合題意，
D、，此選項不符合題意，
故選：C．
6．（2024七年級上·全國·專題練習）觀察下面兩行數：
第一行：4，，16，，36，…；
第二行：6，，18，，38，…．
則第二行中的第6個數是 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數的乘方的數字變化規律．解題關鍵是由特殊到一般，找出數字規律，符號規律．
由第一行可知，每個數字為完全平方數，即第n個數字為，符號是奇正為負，即，第二行每一個數比第一行對應的數大2，由此得出規律．
解：根據觀察的規律，
第一行第n個數是
第二行第n個數是
所以，第二行中的第6個數是；
故答案為：．
二、填空題
7．（22-23七年級上·陜西渭南·期中）的底數是 ．
【答案】
【分析】根據有理數的乘方的有關定義即可解答．
解：的底數為．
故答案為：．
【點撥】本題主要考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的定義是解本題的關鍵．求n個相同,因數的積的運算叫乘方,乘方的結果叫做冪，在a的n次方中。a叫做底數,n叫做指數．
8．（2025·廣西梧州·一模）廣西區統計局公布了廣西區2024年經濟運行情況，統計顯示，2024年廣西區GDP總量為萬億元．“萬億”用科學記數法表示為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a、n的值是解題的關鍵．
將“萬億”寫成其中，n為整數的形式即可．
解：“萬億”．
故答案為：．
9．（21-22六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）已知，，且，則的值是 ．
【答案】-2或-8/-8或-2
【分析】利用有理數的乘方運算，絕對值的性質求出a、b的值，再根據，判斷a，b即可解決問題．
解：∵a2=9，|b|=5，
∴a=±3，b=±5，
∵，
∴a=3，b=-5或a=-3，b=-5，
∴a+b=3+（-5）=-2或a+b=-3+（-5）=-8
故答案為：-2或-8．
【點撥】本題考查有理數的乘方、絕對值、有理數的加法運算，代數式求值等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
10．（24-25七年級上·北京·期中）在數軸上，所表示的點在所表示的點的左邊，且，則的值為 ．
【答案】或
【分析】本題考查有理數與數軸，有理數的運算，根據題意，得到，再根據絕對值的意義和有理數的乘法運算，求出，再利用減法法則進行計算即可．
解：∵在數軸上，所表示的點在所表示的點的左邊，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴或；
故答案為：或．
11．（24-25七年級上·河南周口·期中）若，則a，的大小關系用“<”連接為 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數的大小比較，有理數的乘方運算的含義，根據，可得，，，從而可得答案.
解：∵，
∴，，，
∴；
故答案為：.
12．（2024七年級上·全國·專題練習）觀察下面一列數：，…，將這列數排成如圖的圖形．按照此規律排下去，那么第10行從左邊數第1個數是 ，數2024是第 行從左邊數第 個數．
【答案】 82 45 88
【分析】本題考查了數的規律的探索，乘方運算的符號規律，找到規律是解題的關鍵；觀察知，從左邊數，每行最后一個數是行數的平方，且奇數行符號為負，偶數行符號為正，據此可完成解答．
解：根據規律知，第9行最后一個數為，則第10行左邊數第一個數為；
∵，
∴數2024是第45行左邊數的倒數第二個數，
∵第45行共有：個數，
∴第45行倒數第二個數是從左邊數第88個數；
故答案為：82；45；88．
三、解答題
13．（24-25七年級上·廣西防城港·期中）在數軸上表示下列各數，并將這些數按從小到大的順序排列，再用“”連接起來：
，，，，0，3．
【答案】數軸見分析，
【分析】本題主要考查了數軸，有理數乘方，絕對值，有理數大小比較的應用，先化簡各數，再表示各個數，再根據數軸上右邊的數總比左邊的數大比較即可．
解：，，，，
∴．
14．（24-25七年級上·福建莆田·期中）計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數來表示數，滿二進一，例：二進制數10000轉化為十進制數：；其他進制也有類似的算法．
（1）根據以上信息，將二進制數“1011”轉化為十進制數．
（2）中國古代《易經》一書中記載，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結，滿五進一，用來記錄采集到的野果數量．請計算采集到的野果數量．
【答案】（1）11；（2）采集到的野果數量為個
【分析】本題考查了有理數的乘方的應用，解的關鍵是：
（1）根據題意寫成，進而進行計算即可求解；
（2）由于滿五進一，類似于五進制數，轉化為十進制數為：，進而計算即可求解．
解：（1）解：1011轉化為十進制數是：
；
（2）解∶ 由于滿五進一，類似于五進制數，轉化為十進制數為：
．
答：采集到的野果數量為個．
15．（24-25七年級上·遼寧鞍山·階段練習）善于反思的小聰在學習了有理數及其運算后，進行了如下總結與反思．請你仔細閱讀并補全小聰的探究過程．
[典例再現]，；，；
[總結歸納]
（1）觀察上述例題，發現結論：
①互為相反數的兩個數的絕對值______；
②互為相反數的兩個數的______；
[知識應用]
（2）已知，，則______，______，若，則______，______．
【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；；
【分析】本題考查了絕對值、平方、相反數，解題的關鍵是讀懂材料信息，利用分類討論的思想進行求解．
（1）①根據絕對值的運算性質即可判斷；②根據平方運算的規律，觀察得出相應結論；
（2）根據（1）中的總結歸納及分類討論的思想即可求解．
解：（1）∵，；，；
①互為相反數的兩個數的絕對值相等；
②互為相反數的兩個數的平方相等；
（2），，
∴，，
∵，
∴，．
16．（24-25七年級上·河南開封·期中）閱讀材料，解決問題：
我們學習了乘方的定義和意義，根據乘方和乘法兩種運算之間的轉化了解到： ;觀察上述算式:
可以得到：
類比上述式子，你能夠得到：
（1） ， ；
（2）利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整數）；我們把類似于和這樣的式子叫同底數冪；因此可以得到“同底數冪的乘法”法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．
（3）知識運用： ， ；
（4）已知 求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）；（4）
【分析】本題主要考查了乘方的定義和意義，得到同底數冪的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加，是解題的關鍵．
（1）根據題目中給出的信息進行運算即可；
（2）總結題目信息得出同底數冪的運算法則；
（3）根據同底數冪的運算法則進行運算即可；
（4）逆用同底數的乘法公式進行運算即可．
解：（1）解：，，
故答案為，；
（2）（m、n都是正整數），
故答案為；
（3），，
故答案為，；
（4）∵，
∴．
【中考真題5題】
一、單選題
1．（2025·廣東·中考真題）依據《廣東省推動低空經濟高質量發展行動方案（2024-2026年）》，預計2026年廣東省低空經濟規模將超過3000億元．數據3000億用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，正確確定以及的值是解題的關鍵．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，據此即可求解．
解：3000億．
故選：D．
2．（2025·黑龍江綏化·中考真題）據統計，2025年端午期間，我國民航客運累計發送旅客萬人次，把萬用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為的形式，其中，n為整數，正確確定a、n的值是解題的關鍵．
將萬寫成其中，n為整數的形式即可．
解：萬．
故選C．
3．（2023·遼寧營口·中考真題）有下列四個算式：①；②；③；④．其中，正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】本題考查有理數加、減、乘、除及乘方運算法則，解題關鍵是準確運用對應法則計算各算式并判斷對錯．
運用有理數加、減、乘、除及乘方運算法則逐個計算判斷即可解答．
解：①，原式計算錯誤；
②，原式計算錯誤；；
③，原式計算正確；
④，原式計算正確；
綜上所述：計算正確的有③④共2個；
故選：C．
二、填空題
4．（2022·西藏·中考真題）已知，都是實數，若，則 ．
【答案】
【分析】根據絕對值，偶次冪的非負性求出，，再代入計算即可．
解：∵，
∴，，
即，，
∴，
故答案為：．
【點撥】本題主要考查了絕對值，偶次冪的非負性，求出，的值是解本題的關鍵．
5．（2025·江蘇揚州·中考真題）2025年3月30日，揚州鑒真半程馬拉松暨大運河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數據30000用科學記數法表示為 ．
【答案】
【分析】本題考查了科學記數法“將一個數表示成的形式，其中，為整數，這種記數的方法叫做科學記數法”，熟記科學記數法的定義是解題關鍵．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．根據科學記數法的定義即可得．
解：，
故答案為：．
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