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2.6 有理數(shù)的混合運算和近似數(shù) 同步講練
知識點（一）有理數(shù)混合運算的法則
先算乘方，再算乘除，最后算加減。如有括號，先進行括號里的運算。
【題型1】基本混合運算
【解題方法】（1）有乘方算乘方；（2）乘除運算（從左到右）；（2）算加減.
【例題1】（24-25六年級下·上海·假期作業(yè)）計算：
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算．
先算乘方，再算乘法，最后算加減，如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．
解：
．
【變式1】（24-25七年級下·四川瀘州·期末）計算：．
【答案】4
【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號的先算小括號里面的”．根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運算法則進行計算即可．
解：
．
【變式2】（24-25七年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）計算：
【答案】
【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，根據(jù)行乘方的有理數(shù)混合運算法則，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號的先算小括號里面的，進行計算即可．
解：
．
【變式3】（24-25七年級上·北京·期中）計算：．
【答案】3
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．
先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減．
解：
．
【題型2】 運用運算律簡化計算
【解題方法】用乘法分配律展開
【例題2】（24-25七年級上·廣東廣州·期末）計算：（1）
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．先利用有理數(shù)的乘法分配律和有理數(shù)的乘法運算法則求解，然后計算加減即可；
解：（1）
；
【變式1】（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算： ．
【答案】
【分析】此題考查有理數(shù)的混合運算，乘法分配律，計算原式的倒數(shù)，即可得到答案．熟練掌握有理數(shù)的混合運算是解題的關(guān)鍵．
解：
，
．
【變式2】（24-25七年級上·福建漳州·期中）計算
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算順序和法則，運算律，倒數(shù)的應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵
（1）先計算式的倒數(shù)，除法化為乘法后，利用乘法分配律展開計算，最后即得；
（2）先算乘方，再算括號內(nèi)的乘法，再用乘法分配律展開，最后計算減法．
解：
（1）解：∵
，
∴．
（2）解：
．
【題型3】 含多層括號的運算
【解題方法】（1）去小括號；（2）再算中括號內(nèi)的乘加；（3）最后算乘除加減.
【例題3】（24-25七年級上·福建漳州·期中）計算
（1） （2）
【答案】（1）41；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算順序和法則，運算律，倒數(shù)的應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵
（1）先算乘方，再算括號內(nèi)的，再乘法，最后計算加法；
（2）先算乘方，再算括號內(nèi)的乘法，再用乘法分配律展開，最后計算減法．
（1）解：
．
（2）解：
．
【變式1】（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算： ．
【答案】
【分析】此題考查有理數(shù)的混合運算，乘法分配律，計算原式的倒數(shù)，即可得到答案．熟練掌握有理數(shù)的混合運算是解題的關(guān)鍵．
解：
，
．
【變式2】（24-25七年級上·全國·期中）計算： ．
【答案】
【分析】本題主要考查含乘方的有理數(shù)混合運算，根據(jù)運算順序先算括號里面的，算乘方算乘除，再算加減，進而得到結(jié)果即可；
解：，
，
，
，
．
【變式3】（21-22七年級上·天津和平·期中）計算：
（1） （2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先算乘法，再去括號，再算同分母分數(shù)，再計算加減法；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算；
（3）根據(jù)乘法分配律簡便計算．
（1）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
（2）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（3）解：
原式＝
＝
＝
＝
【點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，簡化運算過程．
【題型4】 含絕對值的混合運算
【解題方法】先算絕對值，再按順序運算.
【例題4】（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）計算：
（1）
【答案】（1）
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握其運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．
解：（3）解：原式
．
【變式1】（24-25六年級上·上海·期中）計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)計算，熟知有理數(shù)的相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法，有括號先計算括號的運算順序求解即可．
解：
．
【變式2】（24-25六年級上·山東東營·期中）計算
（1）． （2）；
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先計算乘方和括號內(nèi)減法，再計算乘法和絕對值，最后計算加減法即可；
（2）先計算乘方和絕對值，再計算乘法，最后計算加減法即可；
解：（1）解：
；
（2）解：
；
【題型5】 有理數(shù)混合運算的應(yīng)用——算“24”點
【例題5】（24-25六年級上·山東煙臺·期中）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請按要求抽出卡片，完成下列問題：
（1）從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)字的乘積最大．應(yīng)該抽取到哪2張卡片？最大乘積是多少？
（2）從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)字相除的商最小．應(yīng)該抽取到哪2張卡片？最小的商是多少？
（3）從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運算方法，使結(jié)果為24，寫出抽取到的卡片以及利用這4張卡片上的數(shù)字寫出的兩個符合題意的運算式子．
【答案】（1）抽取到2張卡片上的數(shù)字分別是6和4，24；（2）抽取到2張卡片上的數(shù)字分別是6和，最小的商是；（3）見分析
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
（1）從中抽2張卡片，要使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，則兩個數(shù)必須同號，據(jù)此求解即可；
（2）從中抽取2張卡片，要使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，則一個是正數(shù)，另一個是負數(shù)，據(jù)此求出最小值是多少即可．
（3）用學(xué)過的運算方法，構(gòu)造出算式，使結(jié)果為24即可．
解：（1）解：抽取到2張卡片上的數(shù)字分別是6和4，
最大乘積為：；
（2）解：抽取到2張卡片上的數(shù)字分別是6和，
最小的商為：；
（3）（答案不唯一）當(dāng)抽取到4張卡片上的數(shù)字分別是、3、4和
運算式子為：；
．
【變式1】（24-25七年級上·湖北武漢·開學(xué)考試）下面各組數(shù)中，不能通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24的是（　　）
A．1，1，7，7 B．2，2，8，8
C．1，1，2，8 D．1，1，4，6
【答案】A
【分析】本題考查有理數(shù)的四則運算，通過嘗試不同的四則運算組合，判斷每組數(shù)字是否能得到24．
解：A、無法通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24；
B、，即可以通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24；
C、，即可以通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24；
D、，即可以通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24．
故選：A
【變式2】（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）玩“24點”游戲，規(guī)則如下：任取四個整數(shù)（每個數(shù)只用一次）進行“、、、”四則運算，使其運算結(jié)果為24.現(xiàn)有四個整數(shù)、、4、5，請用上述規(guī)則，寫出算式 ．
【答案】或（答案不唯一）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，根據(jù)有理數(shù)混合運算的式子解答即可．
解：
；
．
故答案為：或（答案不唯一）．
【題型6】有理數(shù)混合運算的應(yīng)用——程序流程圖與有理數(shù)的運算
【例題6】（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖，這是一個計算程序．
（1）若輸入的值為1，求輸出的值．
（2）若輸入的值為，直接寫出輸出的值．
【答案】（1）輸出的值為；（2）
【分析】本題考查了程序流程圖，含乘方的有理數(shù)的混合運算，熟練掌握含乘方的有理數(shù)的混合運算是解題的關(guān)鍵．
（1）將1代入，得，將代入，得．然后輸出即可；
（2）由，可知輸出的值仍為．
解：（1）解：將1代入，得，
將代入，得．
∴輸出的值為；
（2）解：∵，
∴輸出的值仍為．
【變式1】（24-25七年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）【周期問題】如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為24、第2次輸出的結(jié)果為12、……第2012次輸出的結(jié)果為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本題考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的混合運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)輸入的x的值分別計算，直到找出規(guī)律為止，然后計算即可．
解：第1次輸入的，則輸出，
第2次輸入的，則輸出，
第3次輸入的，則輸出，
第4次輸入的，則輸出，
第5次輸入的，則輸出，
第6次輸入的，則輸出，
第7次輸入的，則輸出，
，
可以得出：從第3次開始，6，3，6，3，，循環(huán)出現(xiàn)，
∴，
∴第2012次輸出的結(jié)果為3，
故選：A．
【變式2】（24-25七年級上·福建泉州·期末）按如圖所示的程序計算，當(dāng)輸入的值為時，輸出的值為 ．
【答案】26
【分析】本題考查了程序流程圖與有理數(shù)的乘方，讀懂程序流程圖，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵．先將代入計算出結(jié)果為，再將代入計算，其結(jié)果大于10，由此即可得．
解：由程序圖得：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)輸入的值為時，輸出的值為26，
故答案為：26．
知識點（二）近似數(shù)
一個近似數(shù)的精確度可用四舍五入法表述。一個近似數(shù)四舍五入到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位。
【題型7】近似數(shù)
【例題7】（23-24七年級上·全國·課堂例題）按括號內(nèi)的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)，并將結(jié)果寫在后面的橫線上．
（）（精確到）； ； （）（精確到十分位）； ；
（）（精確到）； ； （）（精確到個位）； ；
（）（精確到）； ； （）（精確到千分位）． ．
【答案】
【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度進行求解即可．
解：（）（精確到）；
（）（精確到十分位） ；
（）（精確到）；
（）（精確到個位）；
（）（精確到）；
（）（精確到千分位）；
故答案為：；；；；；．
【點撥】此題考查了近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示，熟練掌握近似數(shù)與精確度的概念是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2024七年級上·云南·專題練習(xí)）下列關(guān)于近似數(shù)的說法：
①近似數(shù)精確到十分位；
②近似數(shù)萬精確到；
③近似數(shù)和近似數(shù)的精確度相同．
其中正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】本題考查了近似數(shù)，近似數(shù)精確到哪一位，看末位數(shù)字實際在哪一位即可，掌握近似數(shù)的有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
解：近似數(shù)精確到百分位，故①錯誤；
∵萬，
∴近似數(shù)萬精確到百位，故②錯誤；
近似數(shù)精確到十分位，近似數(shù)精確到百分位，故③錯誤；
綜上，正確的說法有個，
故選：．
【變式2】（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）用四舍五入法對取近似數(shù)，精確到十分位的結(jié)果是 ．
【答案】
【分析】本題考查了近似數(shù)，熟練掌握近似數(shù)的表示方法是解題的關(guān)鍵；精確到哪一位，則把后面與其相鄰的數(shù)位上的數(shù)字四舍五入得到近似數(shù)；由題意，把百分位的數(shù)四舍五入即可．
解：用四舍五入法對取近似數(shù)，精確到十分位結(jié)果是，
故答案為：
同步練習(xí)
【基礎(chǔ)鞏固（16題）】
一、單選題
1．（24-25七年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）最接近4.08萬的整數(shù)是（ ）
A．4.081萬 B．40801 C．40891 D．40809
【答案】B
【分析】本題考查數(shù)的大小比較，可以先4.08萬改寫成用“個”作單位的數(shù)，再把各選項的數(shù)分別與4.08萬相減，差最小的最接近4.08萬．
解：4.08萬，4.081萬
因為，
，
，
，
，
所以最接近4.08萬的整數(shù)是40801．
故選：B．
2．（24-25七年級上·河北邯鄲·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，根據(jù)有理數(shù)的混合運算，逐項分析判斷，即可求解．
解：A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項正確，符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B．
3．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）若，則計算的結(jié)果是（ ）
A． B．130 C． D．290
【答案】A
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，以及倒數(shù)的意義，由倒數(shù)的意義可知，進而可求出結(jié)果.
解：∵，
∴，
∴.
故選A.
4．（24-25七年級下·湖南湘西·階段練習(xí)）（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．
先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減．
解：
．
故選：A．
5．（24-25七年級上·河南南陽·期中）下列計算不正確的有（ ）個
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．利用有理數(shù)的混合運算法則對各式逐一計算即可得到答案．
解：①，原計算錯誤；
②，原計算錯誤；
③，原計算錯誤；
④，原計算錯誤，
∴不正確的有4個，
故選：D．
二、填空題
6．（24-25七年級下·河南商丘·期末） ．
【答案】
【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算，先計算乘方和絕對值后，再計算加減法即可．
解：
故答案為：
7．（24-25七年級上·安徽宿州·期末）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則和運算順序．
先計算乘方，然后計算乘除，最后計算加減．
解：
．
故答案為：．
8．（24-25七年級上·河南洛陽·期末）計算： ．
【答案】/6.5/
【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．首先進行乘方運算和化簡絕對值，然后相加減，即可獲得答案．
解：原式．
故答案為：．
9．（24-25七年級上·廣東廣州·期中） ； ．
【答案】
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方計算，有理數(shù)乘法計算，根據(jù)有理數(shù)的乘方計算法則和乘法計算法則求解即可．
解：，，
故答案為：；．
10．（24-25七年級上·河南駐馬店·期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的數(shù)為0，則最后輸出的結(jié)果為 ．
【答案】
【分析】本題考查有理數(shù)的運算，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵． 由題意列式計算，直至結(jié)果大于8即可．
解：開始輸入的數(shù)為0，
解：返回繼續(xù)運算；
輸出結(jié)果；
故答案為∶
三、解答題
11．（24-25七年級上·北京·期中）計算
（1） ； （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律計算即可；
（2）先計算乘方，再計算乘除，最后計算減法即可．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（24-25七年級下·北京·期末）計算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算、有理數(shù)乘法的分配律，熟練掌握運算法則與運算律是解題關(guān)鍵．
（1）利用有理數(shù)乘法的分配律計算即可得；
（2）先計算大括號內(nèi)的加減法、乘方、化簡絕對值，再計算加減法即可得．
解：（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
13．（2025六年級上·全國·專題練習(xí)）計算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）先計算乘除運算，再算加減運算即可求出值；
（2）先算乘方，再利用乘法分配律計算即可求出值；
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（24-25七年級上·遼寧盤錦·期中）計算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）按照先算乘方、再算乘除、最后計算加減的運算順序求解即可；
（2）先計算乘方、乘法分配律，再計算加減即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
15．（23-24七年級上·廣東河源·期中）計算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先利用有理數(shù)乘法法則化簡，再加減即可；
（2）先計算絕對值和括號，再按先乘方、再乘除、后加減的運算順序計算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
16．（24-25七年級上·福建福州·期中）計算：
（1）； （2）
【答案】（1）51；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算．
（1）先算乘方，再算乘除，后算加減；
（2）先算括號和絕對值，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再算乘法，后算加減．
解：（1）原式
；
（2）原式
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查帶乘方的有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)帶乘方的有理數(shù)的混合運算法則即可求解；
解：；
故答案為：B
2．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）計算的結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算．根據(jù)乘方的意義和有理數(shù)的乘法進行運算即可鍵．
解：原式，
故選：D．
3．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）下列運算不正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方法則進行計算，逐一判斷即可解答．
解：A、，原運算正確，故不符合題意；
B、，，原運算錯誤，故符合題意；
C、，原運算正確，故不符合題意；
D、，原運算正確，故不符合題意．
故選：B．
【點撥】本題考查了有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（24-25六年級上·山東濟寧·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)有理數(shù)的加法可判斷①；根據(jù)有理數(shù)的乘法可判斷②；根據(jù)乘方及減法運算可判斷③；根據(jù)有理數(shù)乘除運算可判斷④．掌握相應(yīng)的運算法則和運算順序是解題的關(guān)鍵．
解：①，故結(jié)論①正確；
②，故結(jié)論②錯誤；
③，故結(jié)論③錯誤；
④，故結(jié)論④錯誤，
∴正確的個數(shù)是個．
故選：A．
5．（23-24七年級上·河北滄州·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙、丙、丁、四位同學(xué)分別做了一道有理數(shù)運算題，
甲；
乙：；
丙：；
丁：．
其中正確的同學(xué)是（ ）
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
【答案】B
【分析】本題考查有理數(shù)混合運算，據(jù)甲乙丙丁的式子可以計算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．
解：，故甲的做法是錯誤的；
，故乙的做法是錯誤的；
，故丙的做法正確；
，故丁的做法錯誤；
故選：B．
二、填空題
6．（24-25七年級上·山東聊城·期末）計算的結(jié)果為 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查絕對值，乘方，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘法以及絕對值進行計算即可．
解：原式，
故答案為：
7．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）用四舍五入法將取近似數(shù)精確到十分位是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查近似數(shù)，熟練掌握近似數(shù)精確的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“四舍五入”即可得到答案．
解：根據(jù)四舍五入，
取近似數(shù)精確到十分位是，
故答案為：．
8．（2024七年級·全國·競賽）計算： ．
【答案】11
【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法即可．
解：
，
故答案為：11．
9．（2022七年級上·廣東惠州·競賽）計算： = .
【答案】
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則進行計算即可．
解：
故答案為：
【點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則．
10．（24-25七年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）計算： ．
【答案】289
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，先計算乘方，再計算乘除，最后就散加減即可，有括號先計算括號，同級運算從左到右依次計算即可．
解：原式
．
故答案為：289．
三、解答題
11．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）先計算乘除運算，再算加減運算即可求出值；
（2）先算乘方，再利用乘法分配律計算即可求出值；
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（23-24七年級上·重慶·期中）計算．
（1） （2）
【答案】（1）23；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）先除法轉(zhuǎn)換為乘法，利用乘法分配律簡算即可；
（2）先把小數(shù)化分數(shù)，然后按照有理數(shù)混合運算法則計算即可；
解：（1）解：原式
=
=
=；
（2）解：原式
=
=
=．
13．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）計算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．
（1）將除法變?yōu)槌朔ǎ俑鶕?jù)乘法分配律計算；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）計算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）先計算乘除，再計算加減即可求解；
（2）按照有理數(shù)的混合運算法則求解即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
15．（24-25七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）計算：
（1）； （2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本題考查有理數(shù)混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)相關(guān)運算的法則．
（1）先運算乘方，然后運算乘除，最后運算加減解題；
（2）先利用乘法分配律運算，然后加減解題；
（3）先運算絕對值、括號和乘方，然后運算乘除，最后加減解答即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
16．（24-25六年級上·山東淄博·期中）計算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）8；（2）；（3）；（4）
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則計算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則計算即可；
（3）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算法則計算即可；
（4）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算法則計算即可；
解：（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【中考真題6題】
一、單選題
1．（2023·浙江杭州·中考真題）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】先計算乘方，再計算加法即可求解．
解：，
故選：D．
【點撥】本題考查有理數(shù)度混合運算，熟練掌握有理數(shù)乘方運算法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·四川攀枝花·中考真題）下列各數(shù)都是用四舍五入法得到的近似數(shù)，其中精確到十分位的是（ ）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
【答案】B
【分析】本題主要考查了精確度，判斷近似數(shù)的精確位數(shù)，需觀察其最后一位數(shù)字所在的數(shù)位．十分位對應(yīng)小數(shù)點后第一位，據(jù)此求解即可．
解：選項A：24，無小數(shù)點，末位4位于個位，精確到個位．
選項B：24.0，末位0在小數(shù)點后第一位（十分位），精確到十分位．
選項C：24.00，末位0在小數(shù)點后第二位（百分位），精確到百分位．
選項D：240，末位0在個位（若原數(shù)四舍五入到十位則為十位），精確到個位．
故選：B．
3．（2025·山東威海·中考真題）2025年5月，基于“三進制”邏輯的芯片研制成功．與傳統(tǒng)的“二進制”芯片相比，三進制邏輯芯片在特定的運算中具有更高的效率．
二進制數(shù)的組成數(shù)字為0，1．十進制數(shù)22化為二進制數(shù)：
．
傳統(tǒng)三進制數(shù)的組成數(shù)字為0，1，2．十進制數(shù)22化為三進制數(shù)：
．
將二進制數(shù)化為三進制數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，理解例題的計算方法，按照例題代入計算即可．
將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為三進制數(shù)，需先將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，再將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為三進制數(shù)．
解：∵二進制數(shù)的各位權(quán)值從右到左依次為，
對應(yīng)數(shù)值為：
∴二進制數(shù)對應(yīng)的十進制數(shù)為 11．
將十進制數(shù) 11 轉(zhuǎn)換為三進制數(shù)，采用“除3取余法”：
，余數(shù)為2；
，余數(shù)為0；
，余數(shù)為1．
將余數(shù)倒序排列，得到三進制數(shù)為．
故選：A．
4．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）對于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【分析】通過計算，可以推出結(jié)果．
解：
…
，，，
故選：C．
【點撥】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則，找到數(shù)字變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題
5．（2023·湖北隨州·中考真題）計算： ．
【答案】0
【分析】先算乘方，再計算乘法，最后算加減．
解：．
故答案為：0．
【點撥】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，關(guān)鍵是掌握運算法則．
6．（2023·重慶·中考真題）對于一個四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為 ；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為 ．
【答案】 6200 9313
【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到，進而，若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，再根據(jù)能被10整除求得，進而可求解．
解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；
根據(jù)題意，，，，，則，
∴，
∴，
若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即，
∴，
∵能被10整除，
∴，
∴滿足條件的M的最大值為9313，
故答案為：6200，9313．
【點撥】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運算、整式的加減、數(shù)的整除等知識，理解新定義是解答的關(guān)鍵．
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2.6 有理數(shù)的混合運算和近似數(shù) 同步講練
知識點（一）有理數(shù)混合運算的法則
先算乘方，再算乘除，最后算加減。如有括號，先進行括號里的運算。
【題型1】基本混合運算
【解題方法】（1）有乘方算乘方；（2）乘除運算（從左到右）；（2）算加減.
【例題1】（24-25六年級下·上海·假期作業(yè)）計算：
【變式1】（24-25七年級下·四川瀘州·期末）計算：．
【變式2】（24-25七年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）計算：
【變式3】（24-25七年級上·北京·期中）計算：．
【題型2】 運用運算律簡化計算
【解題方法】用乘法分配律展開
【例題2】（24-25七年級上·廣東廣州·期末）計算：（1）
【變式1】（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算： ．
【變式2】（24-25七年級上·福建漳州·期中）計算
（1） （2）
【題型3】 含多層括號的運算
【解題方法】（1）去小括號；（2）再算中括號內(nèi)的乘加；（3）最后算乘除加減.
【例題3】（24-25七年級上·福建漳州·期中）計算
（1） （2）
【變式1】（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算： ．
【變式2】（24-25七年級上·全國·期中）計算： ．
【變式3】（21-22七年級上·天津和平·期中）計算：
（1） （2）
（3）
【題型4】 含絕對值的混合運算
【解題方法】先算絕對值，再按順序運算.
【例題4】（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）計算：
（1）
【變式1】（24-25六年級上·上海·期中）計算：．
【變式2】（24-25六年級上·山東東營·期中）計算
（1）． （2）；
【題型5】 有理數(shù)混合運算的應(yīng)用——算“24”點
【例題5】（24-25六年級上·山東煙臺·期中）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請按要求抽出卡片，完成下列問題：
（1）從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)字的乘積最大．應(yīng)該抽取到哪2張卡片？最大乘積是多少？
（2）從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)字相除的商最小．應(yīng)該抽取到哪2張卡片？最小的商是多少？
（3）從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運算方法，使結(jié)果為24，寫出抽取到的卡片以及利用這4張卡片上的數(shù)字寫出的兩個符合題意的運算式子．
【變式1】（24-25七年級上·湖北武漢·開學(xué)考試）下面各組數(shù)中，不能通過加、減、乘、除（含括號）運算得到24的是（　　）
A．1，1，7，7 B．2，2，8，8
C．1，1，2，8 D．1，1，4，6
【變式2】（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）玩“24點”游戲，規(guī)則如下：任取四個整數(shù)（每個數(shù)只用一次）進行“、、、”四則運算，使其運算結(jié)果為24.現(xiàn)有四個整數(shù)、、4、5，請用上述規(guī)則，寫出算式 ．
【題型6】有理數(shù)混合運算的應(yīng)用——程序流程圖與有理數(shù)的運算
【例題6】（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖，這是一個計算程序．
（1）若輸入的值為1，求輸出的值．
（2）若輸入的值為，直接寫出輸出的值．
【變式1】（24-25七年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）【周期問題】如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為24、第2次輸出的結(jié)果為12、……第2012次輸出的結(jié)果為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2】（24-25七年級上·福建泉州·期末）按如圖所示的程序計算，當(dāng)輸入的值為時，輸出的值為 ．
知識點（二）近似數(shù)
一個近似數(shù)的精確度可用四舍五入法表述。一個近似數(shù)四舍五入到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位。
【題型7】近似數(shù)
【例題7】（23-24七年級上·全國·課堂例題）按括號內(nèi)的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)，并將結(jié)果寫在后面的橫線上．
（）（精確到）； ； （）（精確到十分位）； ；
（）（精確到）； ； （）（精確到個位）； ；
（）（精確到）； ； （）（精確到千分位）． ．
【變式1】（2024七年級上·云南·專題練習(xí)）下列關(guān)于近似數(shù)的說法：
①近似數(shù)精確到十分位；
②近似數(shù)萬精確到；
③近似數(shù)和近似數(shù)的精確度相同．
其中正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式2】（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）用四舍五入法對取近似數(shù)，精確到十分位的結(jié)果是 ．
同步練習(xí)
【基礎(chǔ)鞏固（16題）】
一、單選題
1．（24-25七年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）最接近4.08萬的整數(shù)是（ ）
A．4.081萬 B．40801 C．40891 D．40809
2．（24-25七年級上·河北邯鄲·期中）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）若，則計算的結(jié)果是（ ）
A． B．130 C． D．290
4．（24-25七年級下·湖南湘西·階段練習(xí)）（　　）
A．0 B． C． D．
5．（24-25七年級上·河南南陽·期中）下列計算不正確的有（ ）個
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
6．（24-25七年級下·河南商丘·期末） ．
7．（24-25七年級上·安徽宿州·期末）計算： ．
8．（24-25七年級上·河南洛陽·期末）計算： ．
9．（24-25七年級上·廣東廣州·期中） ； ．
10．（24-25七年級上·河南駐馬店·期中）按如圖所示的程序計算，若開始輸入的數(shù)為0，則最后輸出的結(jié)果為 ．
三、解答題
11．（24-25七年級上·北京·期中）計算
（1） ； （2）
12．（24-25七年級下·北京·期末）計算：
（1） （2）
13．（2025六年級上·全國·專題練習(xí)）計算：
（1）； （2）．
14．（24-25七年級上·遼寧盤錦·期中）計算：
（1）； （2）．
15．（23-24七年級上·廣東河源·期中）計算：
（1）； （2）．
16．（24-25七年級上·福建福州·期中）計算：
（1）； （2）
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）計算的結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）下列運算不正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（24-25六年級上·山東濟寧·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正確的個數(shù)是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
5．（23-24七年級上·河北滄州·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙、丙、丁、四位同學(xué)分別做了一道有理數(shù)運算題，
甲；
乙：；
丙：；
丁：．
其中正確的同學(xué)是（ ）
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
二、填空題
6．（24-25七年級上·山東聊城·期末）計算的結(jié)果為 ．
7．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）用四舍五入法將取近似數(shù)精確到十分位是 ．
8．（2024七年級·全國·競賽）計算： ．
9．（2022七年級上·廣東惠州·競賽）計算： = .
10．（24-25七年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）計算： ．
三、解答題
11．（2025七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：
（1）； （2）．
12．（23-24七年級上·重慶·期中）計算．
（1） （2）
13．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）計算：
（1） （2）
14．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）計算：
（1） （2）
15．（24-25七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）計算：
（1）； （2）；
（3）．
16．（24-25六年級上·山東淄博·期中）計算
（1） （2）
（3） （4）
【中考真題6題】
一、單選題
1．（2023·浙江杭州·中考真題）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
2．（2024·四川攀枝花·中考真題）下列各數(shù)都是用四舍五入法得到的近似數(shù)，其中精確到十分位的是（ ）
A．24 B．24.0 C．24.00 D．240
3．（2025·山東威海·中考真題）2025年5月，基于“三進制”邏輯的芯片研制成功．與傳統(tǒng)的“二進制”芯片相比，三進制邏輯芯片在特定的運算中具有更高的效率．
二進制數(shù)的組成數(shù)字為0，1．十進制數(shù)22化為二進制數(shù)：
．
傳統(tǒng)三進制數(shù)的組成數(shù)字為0，1，2．十進制數(shù)22化為三進制數(shù)：
．
將二進制數(shù)化為三進制數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）對于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
二、填空題
5．（2023·湖北隨州·中考真題）計算： ．
6．（2023·重慶·中考真題）對于一個四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為 ；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為 ．
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