資源簡介

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2.3 有理數的乘法 同步講練
知識點（一）有理數乘法法則
有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數與零相乘，積為零。
【題型1】有理數的乘法——兩個有理數相乘
【例題1】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本題考查了有理數的乘法運算，解題的關鍵是掌握有理數的乘法運算法則．
（1）（3）根據有理數的乘法運算法則求解即可；
（2）（4）先將帶分數化為假分數，再根據有理數的乘法運算法則求解即可；
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【變式1】（24-25七年級上·江蘇揚州·期中）若與互為相反數，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了非負數的性質：掌握幾個非負數的和為0，則這幾個非負數分別等于0，并正確得出未知數的值是解題的關鍵．根據非負數的性質列出方程求出未知數的值，再代入所求代數式計算即可．
解：和互為相反數，
故答案為：.
【變式2】（2025·河北唐山·二模）如圖，數軸的單位長度為1，點表示的數為，點表示的數為，且，則與的積為（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了數軸和絕對值的幾何意義，數形結合是解題的關鍵．
根據數軸和可知，解出的值，相乘即可．
解：∵點表示的數為，點表示的數為，且，
根據圖可知，
解得，
∴，
故選：C．
【變式3】（24-25六年級下·上海·假期作業）計算
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數的乘法，解題的關鍵是：
（1）（2）先定符號，再將帶分數化為假分數，最后計算乘法即可；
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【題型2】有理數的乘法——多個有理數相乘
【例題2】（2024七年級上·浙江·專題練習）計算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）24；（2）；（3）；（4）
【分析】本題考查有理數乘法運算，解題的關鍵是掌握有理數乘法的法則及運算律．
（1）先確定符號，再用絕對值相乘即可；
（2）先確定符號，再用乘法結合律計算即可；
（3）先確定符號，把小數化為分數，再按照法則計算即可；
（4）先確定符號，把小數化為分數計算即可．
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【變式1】（2024七年級上·云南·專題練習）定義：，請用此定義計算： ．
【答案】72
【分析】本題主要考查了有理數的乘法運算，先根據新定義計算出，再計算 的值即可，解題的關鍵是根據新定義列出相應算式，并熟練掌握有理數混合運算順序和運算法則．
解：，
，
故答案為：72．
【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）下面計算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本題考查有理數的乘法，多個有理數相乘，熟練掌握多個有理數相乘計算法則是解題的關鍵；
根據多個有理數相乘計算法則即可求解；
解：A、，故該選項錯誤；
B、
故該選項錯誤；
C、，故該選項錯誤；
D、，故該選項正確；
故選：D
由例題可知：有多個不為0的有理數相乘時，可以先確定積的符號，再將絕對值相乘；若其中一個乘數為0，則積為0。
【題型3】有題數乘法的實際應用
【例題3】（24-25七年級上·陜西延安·期末）延安土層深厚，海拔米，光照充足，晝夜溫差大，有利果實積累糖分，是蘋果的最佳適生帶．現有10箱延安蘋果，以每箱為標準，其中質量超過或不足的千克數分別用正數或負數來表示，記錄如下表所示．
與標準質量的差/ 2 0 1
箱數 1 1 1 2 4 1
（1）這10箱蘋果中，最重的一箱比最輕的一箱重多少千克？
（2）與標準質量相比，這10箱蘋果總計超過或不足多少千克？
（3）若每千克蘋果售價12元，這10箱蘋果可賣出多少元？
【答案】（1）千克；（2）超過千克；（3）3030元
【分析】本題考查了正負數的應用、有理數乘法的應用，理解題意正確列出算式是解題的關鍵．
（1）最重的一箱蘋果比標準質量重千克，最輕的一箱蘋果比標準質量輕3千克，據此即可求解；
（2）求出表格中所有數據的代數和，如果和為正，表示總計超過標準質量；如果和為負，表示總計不足標準質量，即可解答；
（3）先求出10箱蘋果的總質量，再乘以12即可得出答案．
解：（1）（千克），
答：最重的一箱比最輕的一箱重千克．
（2）（千克），
答：與標準質量相比，這10箱蘋果總計超過千克．
（3）（千克），
（元），
答：這10箱蘋果可賣出3030元．
【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）有個有理數相乘，結果為，那么這個數（ ）
A．都為
B．只有一個
C．至少有一個
D．有兩個數互為相反數
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的乘法，熟練掌握乘以任何數都等于是解題的關鍵．
根據乘以任何數都等于解答．
解：有個有理數相乘，結果為，
故這個有理數至少有一個為；
故選：C
【變式2】（24-25七年級上·湖南衡陽·期中）一只跳蚤在數軸上從原點開始，第1次向右跳2個單位長度，第2次向左跳4個單位長度，第3次向右跳6個單位長度，第4次向左跳8個單位長度，…依此規律跳下去，當它第2024次落下時，落點表示的數是 ．
【答案】
【分析】本題考查了數軸與圖形的變化規律，數軸上點的移動規律是“左減右加”，在學習的過程中培養數形結合的思維是解題的關鍵．數軸上點的移動規律是“左減右加”，依據規律計算即可．
解：設向右為正，向左為負，
則由題意得，
，
故答案為：．
知識點（二）倒數
若兩個有理數積為1，就稱這兩個有理數稱為互為倒數。
【題型4】有理數的乘法——與倒數有關計算
【例題4】（24-25七年級上·西藏林芝·期中）的相反數的倒數是 ；的倒數是 ；倒數等于它本身的數是 ．
【答案】 或
【分析】本題考查的知識點是倒數、相反數和絕對值的相關知識，掌握以上知識是解答本題的關鍵：相反數的定義：“只有符號不同的兩個數是互為相反數”；倒數的定義：“若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數”；絕對值的定義：“這個數在數軸上的點到原點的距離”；
本題分別根據倒數、相反數與絕對值的定義求解即可得出結論．
解：的相反數是，的倒數是；先將化簡為，再化簡絕對值為，的倒數為；倒數等于它本身的數是或；
故答案為：；；或．
【變式1】（23-24六年級上·黑龍江綏化·期末）因為，所以（ ）
A．是倒數 B．和是倒數 C．和互為倒數 D．和和是倒數
【答案】C
【分析】本題考查了倒數的定義，熟練掌握倒數的定義是解答本題的關鍵．
根據倒數的定義解答即可．
解：因為，所以和互為倒數，
故選：C．
【變式2】（24-25七年級上·貴州貴陽·期中）小安和小何玩猜數字的游戲，小安心里想好了一個數并描述說：“這個數的絕對值等于它的相反數．”小何說：“我猜不到．”小安繼續說：“它的倒數等于它本身．”小何說“我知道了！”，小安心里想的這個數是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查絕對值以及倒數，熟練掌握倒數的定義是解題的關鍵．根據絕對值等于相反數以及倒數等于本身即可得到答案．
解：負數和0的絕對值等于它的相反數，的倒數等于它本身，
故小安心里想的這個數是，
故答案為：．
【題型5】有理數的加減混合運算
【例題5】（24-25七年級上·吉林四平·階段練習）已知、互為相反數，、互為倒數，負數的絕對值是，是最大的負整數．求式子的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了絕對值、相反數、倒數、有理數四則混合運算等知識點；由題意可知可得，然后代入所求式子計算即可．
解：∵、互為相反數，、互為倒數，負數的絕對值是，是最大的負整數，
∴，
∴．
【變式1】（24-25七年級上·河南周口·階段練習）已知a與2互為相反數，b與互為倒數．
（1）則 ， ．
（2）已知，求的絕對值．
【答案】（1），；（2）1
【分析】本題考查了相反數、倒數、絕對值非負數的性質，熟練掌握相反數、倒數的定義以及非負數的性質是解題的關鍵．
（1）根據相反數、倒數的定義求出a、b的值即可；
（2）根據非負數的性質即可求出m、n的值，從而求出的絕對值．
解：（1）∵a與2互為相反數，，
，
∵b與互為倒數
，
故答案為：，；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
的絕對值為1．
【變式2】（24-25七年級上·海南儋州·期末）已知a，b互為倒數，c，d互為相反數，m的絕對值等于2，n是最大的負整數．
（1）直接寫出，，m，n的值；
（2）求的值
【答案】（1）；；；；（2）或0
【分析】本題考查了倒數、相反數、絕對值以及有理數的加減混合運算等知識點，掌握相關結論即可．
（1）根據題意即可求解；
（2）分類討論當時，當時，兩種情況即可求解；
解：（1）∵a，b互為倒數，
∴；
∵c，d互為相反數，
∴；
∵m的絕對值等于2，
∴；
∵n是最大的負整數，
∴
（2）解：當時，
；
當時，
；
知識點（三）有理數的乘法運算律
乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。
即：。
乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變。
即：。
分配律：一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加。
即：。
【題型6】運算加法運算律進行有理數加減混合運算
【例題6】（24-25六年級上·山東淄博·階段練習）用簡便方法計算：
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（）利用有理數的乘法分配律計算即可；（）利用有理數乘法的交換律運算即可；
本題考查了有理數的運算，掌握有理數的運算法則和運算律是解題的關鍵．
解：（1）原式
，
，
；
（2）原式
，
．
【變式1】（23-24六年級上·山東煙臺·期中）用簡便方法計算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數乘法的交換律與結合律、分配律，熟練掌握有理數乘法的運算律是解題關鍵．
（1）利用有理數乘法的交換律與結合律計算即可得；
（2）將改寫成，再利用有理數乘法的分配律計算即可得．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【變式2】（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）用簡便方法計算
（1） （2）．
【答案】（1）；（2）11
【分析】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的運算法則和運算順序．
（1）根據乘法分配律計算即可；（2）根據乘法分配律的逆用進行計算即可；
解：（1）原式
；
（2）原式
．
同步練習
【基礎鞏固（16題）】
一、單選題
1．（2025·山東煙臺·二模）已知的倒數是，則的相反數是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了求一個數的倒數和相反數．根據乘積為1的兩個數互為倒數，只有符號不相同的兩個數是相反數進行求解即可．
解：∵的倒數是，
∴，
∵的相反數是，
∴的相反數是，
故選：C．
2．（2025·吉林松原·模擬預測）若的運算結果為負數，則內的數字可以為（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了有理數的乘法法則，解題的關鍵是掌握“兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘”．
根據有理數乘法法則，兩數相乘結果為負，當且僅當兩數符號不同．已知其中一個數為負數（），則另一個數需為正數．
解：∵的運算結果為負數，
∴內的數字為正數，
故選：A．
3．（2024七年級上·全國·專題練習）下列算式中，運算結果為負數的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的乘法運算，根據同號得正，異號得負，0乘以任何數為0；對各選項分析判斷即可求解．
解：A. 結果為0，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，結果是正數，故該選項不正確，不符合題意；
C. 結果是負數，故該選項正確，符合題意；
D. ，結果是正數，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
4．（24-25七年級上·吉林長春·開學考試）超市里運來7箱洗手液，每箱8瓶，____________________，還剩下多少瓶？如果列式為，橫線上應填的信息是（ ）
A．賣出2瓶 B．又運來2箱 C．賣出2箱
【答案】C
【分析】本題考查了有理數四則運算的應用，關鍵是仔細分析題意．超市里運來7箱洗手液，由減2，可知賣出2箱，得出剩下箱，再乘每箱的瓶數，即還剩下的瓶數．
解：如果列式：，
那么橫線上的信息應選擇賣出2箱；
故選：C．
5．（2024七年級上·全國·專題練習）規定：水位上升為正，水位下降為負；幾天后為正，幾天前為負．若水位每天下降，今天的水位記為，那么2天前的水位用算式表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查有理數的乘法，解答本題的關鍵是明確題意，用相應的正負數表示出來．根據題意可以用相應的正負數表示題目中所求的問題，本題得以解決．
解：由題意可得，2天前的水位用算式表示是，
故選：D．
6．（24-25六年級上·河南商丘·期中）計算的最簡便算法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了簡便計算，理解分配律是解答關鍵．
將帶分數折分成，再變形為，然后利用分配律進行計算即可求解．
解：
．
故選：D．
二、填空題
7．（24-25七年級下·全國·假期作業）計算： ；
【答案】
【分析】此題考查了有理數的乘法運算，根據有理數的乘法運算法則求解即可．
解：．
故答案為：．
8．（24-25七年級上·四川宜賓·期末）在4，，6，這四個數中，任意取兩個數相乘，所得的積最大是 ．
【答案】35
【分析】本題考查有理數的乘法，有理數大小比較．關鍵要明確不為零的有理數相乘的法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．
兩個非0數相乘，同號得正，異號得負，且正數大于一切負數，所以找積最大的應從同號的兩個數中尋找即可．
解：要使所得的積最大，兩數字必定同號，
，
∵，
∴任意取兩個數相乘，所得的積最大是35，
故答案為：35．
9．（24-25七年級上·江蘇南通·期末）用正負數表示氣溫的變化，上升為正，下降為負.登山隊攀登一座山峰，每登高氣溫的變化量為，登山隊員在山腳測得氣溫是，那么他們登高后，氣溫是 ．
【答案】
【分析】本題考查有理數乘法的實際應用，根據題意分析得出變化量，再結合正負數的意義是解題的關鍵．
根據題意知，氣溫變化量為乘以攀登高度，即可求解．
解：登高后，氣溫變化量為：，
．
故答案為：．
10．（2024七年級上·全國·專題練習）【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：
計算： ；
【答案】210
【分析】本題考查數字的變化類、有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字的變化特點，求出所求式子的值．
發現題目中數字的變化特點，求出所求式子的值．
解：設①，
則②，
，．
所以，，
所以，，
故答案為：210．
11．（24-25七年級上·廣東佛山·期中）24點游戲規則是：任意4個數，用加、減、乘、除或者括號計算得出24或，每個數都要用到，并且只能用一次．例如：用2、3、4、5這四個數，可以這樣計算．請你利用規則設計一下用3、、5、7四個數得到24或．你的設計是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了有理數的四則混合計算，根據有理數的四則混合計算法則進行求解即可．
解：，
故答案為：（答案不唯一）．
12．（24-25七年級上·重慶云陽·階段練習）依據下列計算程序計算，若開始輸入，則最后輸出的結果是 ．
【答案】10
【分析】本題考查了程序流程圖與有理數計算，根據計算程序計算即可．
解：輸入，則，
再把代入計算，得，
即輸出結果為10．
故答案為：10
三、解答題
13．（24-25七年級上·江西贛州·期末）（1）找出負有理數：，，，，，，，．
答：負有理數有：__________．
（2）計算：．
【答案】（1），，；（2）
【分析】本題主要考查了有理數的定義，正負數的定義，化簡絕對值，有理數乘法運算律，有理數四則混合運算等知識點，熟練掌握相關定義及有理數的運算法則是解題的關鍵．
（1）根據有理數的定義、正負數的定義進行解答即可．
（2）利用乘法運算律計算即可．
解：（1）負有理數有：，，．
（2）解：
．
14．（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習）計算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查了有理數的混合運算；
（1）先把帶分數化為假分數，然后進行乘法計算，再計算減法，即可求解；
（2）先計算乘法再計算減法，即可求解．
解：（1）解：
；
（2）解：
15．（24-25七年級下·全國·假期作業）計算．
（1）； （2）；
（3）；
【答案】（1）0；（2）；（3）
【分析】本題考查有理數的乘除混合運算．掌握各運算法則是解題關鍵．
（1）任何數與0相乘都等于0，所以結果為0．
（2）利用乘法交換律先算與的積，再乘．
（3）將化為后與相乘并約分計算．
解：（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
16．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）小明開車從家出發，在東西走向的道路上行駛，規定向東為正，向西為負，從出發到停車，行駛的路程記錄如下（單位：千米）；
，，，，，．
（1）停車時，小明在家的哪邊？距離多遠？
（2）汽車在行駛過程中，若每行駛千米耗油0.1升，則汽車共耗油多少升？
【答案】（1）東邊，9千米；（2）升．
【分析】本題主要考查數軸與正數，負數的知識，解題的關鍵是熟練掌握有理數的加法運算．
（1）利用有理數的加法即可得解；
（2）先求出小明開車的總過程，把這些行駛的路程的絕對值相加，再利用有理數的乘法即可求解．
解：（1）解：由題意，得：
千米．
答：小明停車時，小明在家的東邊，距離家千米．
（2）解：千米，
升，
答：汽車共耗油升．
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（24-25六年級上·山東煙臺·期中）若的倒數是，則的相反數是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了倒數“乘積為1的兩個數互為倒數”、相反數“只有符號不同的兩個數互為相反數”，熟記倒數和相反數的定義是解題關鍵．先根據倒數的定義可得的值，再根據相反數的定義求解即可得．
解：∵的倒數是，且，
∴，
∴的相反數是4，
故選：A．
2．（24-25七年級上·新疆烏魯木齊·階段練習）已知，，且，則的值為（ ）
A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1
【答案】A
【分析】本題主要考查的是有理數的減法、有理數的乘法、絕對值，利用分類討論思想解題是關鍵．
由可知a、b異號，從而得到或，然后代入計算即可．
解：∵，，
∴．
又∵，則a、b異號，
∴或．
當時，；
當時，．
故選：A．
3．（24-25七年級上·江蘇連云港·期中）如圖，數軸上點A、B、C分別表示數a、b、c，則下列結論不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了根據點在數軸的位置判斷絕對值大小和判斷式子的正負．由題意得，，再根據有理數的運算法則和絕對值大小進行判斷即可．
解：由題意得：
∴，故A正確；
∵
∴，故B正確；
∵，，
∴，故C錯誤，D正確；
故選：C
4．（2024七年級上·全國·專題練習）有個有理數相乘，結果為，那么這個數（ ）
A．都為
B．只有一個
C．至少有一個
D．有兩個數互為相反數
【答案】C
【分析】本題考查了有理數的乘法，熟練掌握乘以任何數都等于是解題的關鍵．
根據乘以任何數都等于解答．
解：有個有理數相乘，結果為，
故這個有理數至少有一個為；
故選：C
5．（24-25七年級下·全國·假期作業）張麗用計算器計算“”時，發現鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確結果的是（ ）．
A． B． C．
【答案】B
【分析】本題考查了乘法運算的靈活應用，以及通過分解、轉化等方法解決實際問題的能力，解題的關鍵是在避免直接使用數字“9”的情況下，等價表示．據題意，由于計算器的“9”鍵損壞，需將轉換為不含數字9的表達式進行計算，同時驗證各選項是否與原式等價．
解：選項A、，計算正確，故此選項不符合題意；
選項B、正確拆分應為，但選項B直接減去0.1，無法得到正確答案，故此選項符合題意；
選項C、根據乘法結合律，，計算正確，故此選項不符合題意；
故選：B．
6．（24-25七年級上·河北保定·期末）下列各式中，運用運算律不正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了有理數乘法運算、乘法運算律等知識點，掌握相關運算法則成為解題的關鍵．
根據有理數乘法運算、乘法運算律、有理數四則混合運算逐項化簡即可．
解：A．符合乘法交換律，正確，不符合題意；
B．符合乘法結合律，正確，不符合題意；
C．符合乘法結合律，正確，不符合題意；
D．，乘法和加法不能結合，錯誤，符合題意．
故選：D．
二、填空題
7．（24-25七年級上·浙江溫州·期末）計算： ．
【答案】
【分析】此題考查了有理數乘法的計算能力，關鍵是能準確理解并運用有理數乘法法則進行正確地計算．
運用有理數的乘法法則進行計算即可．
解：，
故答案為：．
8．（24-25七年級上·四川自貢·階段練習）若將的相反數記為a，絕對值記為b，倒數記為c，則的值為 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查相反數，絕對值以及倒數，熟練掌握相反數，絕對值以及倒數的定義是解題的關鍵．根據題意得到的值進行計算即可得到答案．
解：由題意可得：，
，
故答案為：．
9．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）在數軸上有點、、分別表示有理數、、．若這三個數的和與其中的一個數相等．
①則必有倆數和為 ．
②若將點向左移動2個單位得到點，點向左移動4個單位得到點，且、、三個數的乘積為負數，則的值為 ．
【答案】 0
【分析】本題考查有理數的加法與乘法，數軸上的平移；
①根據這三個數的和與其中的一個數相等可得另外兩個數的和為0，即可求解；
②由平移表示出、，再結合必有倆數和為0和三個數乘積為負數求解即可．
解：①∵這三個數的和與其中的一個數相等，
∴另外兩個數的和為0，即必有倆數和為0；
故答案為：0；
②將點向左移動2個單位得到點，則，
點向左移動4個單位得到點，則，
∵、、三個數的乘積為負數，
∴、、三個數中有一個負數或者3個負數，
∵必有倆數和為0，
∴只能一個負數，且，
∴，
解得，
故答案為：．
10．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）一種商品每件進價為4元，商家先在進價的基礎上增加定為售價，后來由于庫存積壓，商家決定每件商品打八折出售，則每件商品還能盈利 元．
【答案】
【分析】本題考查有理數的四則運算，根據題意列式計算求解，即可解題．
解：由題意可知：，
故答案為：．
11．（2024七年級上·全國·專題練習）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數的乘法，乘法運算律，熟練掌握有理數的乘法法則是解題的關鍵；
將化為，然后乘以，即可求解；
解：，
，
故答案為：
12．（24-25七年級上·江蘇揚州·期末）王軍同學在自學了電腦編程后，設計了如圖所示的程序，若他輸入的數是3，則輸出的數為 ．
【答案】
【分析】此題考查了有理數的運算與程序圖，正確理解程序圖的要求是解題的關鍵．根據程序計算，若結果的絕對值小于，則將結果作為輸入的數代入計算，若結果的絕對值大于則輸出．
解：輸入的數是3，，絕對值小于
輸入，，絕對值大于則輸出
故答案為：．
三、解答題
13．（24-25七年級上·廣東江門·期中）計算：能用簡算的用簡算
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查乘法分配律，掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）利用乘法分分配律的逆運算進先計算解答即可；
（2）把原式化為，然后運用乘法分配律解題即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25七年級上·貴州畢節·期中）現在定義兩種運算“*”和“☆”，對于有理數a，b，有，．
（1）求；的值； （2）求．
【答案】（1）；；（2）25
【分析】本題主要考查了有理數的四則運算，解題的關鍵是讀懂題意，列出算式．
（1）根據題目給出的定義，列式計算即可；
（2）根據題目給出的定義，列式計算即可．
解：（1）解：
；
∵，
∴；
（2）解：，，
．
15．（23-24七年級上·遼寧葫蘆島·期末）為了進一步加強對學生的勞動教育，某校將學校勞動實踐基地劃分區域，分給每個班級自主管理．七年一班的同學們在本班的種植區域中種植了花生，經過精心耕種，同學們一共收獲了8筐花生，以每筐15為準，超過的千克數記作正數，不足的千克數記作負數，稱重后記錄如下：
筐號 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
重量 2.5 0 1 2
（1）求這8筐花生的總重量為多少千克？
（2）在學校的組織下，同學們對收獲的花生以市場價7元/千克的價格全部售出，已知七年一班在播種時，以10元/千克的價格購進花生種子5千克，請你幫七年一班同學算一算，他們此次耕種花生獲利了多少元？
【答案】（1）這8筐花生的總重量為117；（2）他們此次耕種花生獲利了669元
【分析】本題考查了正負數的應用，有理數加減和乘法的應用．
（1）用標準重量乘以筐數，加上變換重量數即可．
（2）根據收入額減去成本價即可得利潤．
解：（1）由題意得，
答：這8筐花生的總重量為117．
（2）（元）
答：他們此次耕種花生獲利了669元.
16．（24-25六年級上·山東東營·期中）【觀察思考】觀察下列等式
，
將以上三個等式兩邊分別相加得：
．
【探索規律】
（1）猜想并寫出：______．
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
______；
【遷移運用】
（3）．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】本題主要考查有理數的乘法運算及加減運算，熟練掌握有理數的運算是解題的關鍵．
（1）根據題干所給方法求解即可；
（2）根據題干所給方法及（1）中的結論可進行求解；
（3）根據（1）中所給結論可進行求解．
解：（1）解：∵，
∴．
故答案為：．
（2）解：∵
；
（3）解：
．
【中考真題5題】
一、單選題
1．（2025·山東煙臺·中考真題）的倒數是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【分析】本題考查的是倒數的含義，絕對值的含義，先計算絕對值，再求其倒數即可.
解：∵，
∴3的倒數是，
∴ 的倒數是，
故選：B
2．（2025·四川自貢·中考真題）若，則內的數字是（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】本題考查的是有理數的乘法運算，根據可得答案.
解：∵，
∴則內的數字是，
故選：A
3．（2023·四川達州·中考真題）的倒數是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了求一個數的倒數，掌握倒數的意義是解題的關鍵．根據倒數定義即可求解．
解：，
的倒數是，
故選：D．
4．（2025·湖南長沙·中考真題）中國式現代化取得了彪炳史冊的偉大成就，極大地提升了我國的綜合國力與國際影響力．據世界銀行公布的2024年各國GDP數據，可知2024年中國GDP總量為萬億美元．
附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國家數據表
國家 GDP總量（單位：萬億美元） 國家 GDP總量（單位：萬億美元）
德國 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄羅斯 2.05
英國 3.49 韓國 1.76
法國 3.13 瑞士 0.93
預計2025年中國GDP總量的增長率為左右，請你根據以上信息估算：
2025年中國GDP的增長量與下列哪個國家2024年GDP總量最接近？（ ）
A．法國 B．瑞士 C．巴西 D．英國
【答案】B
【分析】本題考查了有理數的運算，計算2025年中國GDP的增長量即可求解；
解：2025年中國GDP的增長量為：萬億美元．
∴瑞士的GDP總量萬億美元與增長量萬億美元最接近；
故選：B
二、填空題
5．（2022·湖北隨州·中考真題）計算： ．
【答案】0
【分析】根據有理數乘法運算、絕對值運算和有理數加法運算法則分別計算后求解即可
解：
，
故答案為：．
【點撥】本題考查有理數的運算，涉及到加法運算、乘法運算及絕對值運算，熟練掌握相關運算法則是解決問題的關鍵．
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2.3 有理數的乘法 同步講練
知識點（一）有理數乘法法則
有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數與零相乘，積為零。
【題型1】有理數的乘法——兩個有理數相乘
【例題1】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【變式1】（24-25七年級上·江蘇揚州·期中）若與互為相反數，則 ．
【變式2】（2025·河北唐山·二模）如圖，數軸的單位長度為1，點表示的數為，點表示的數為，且，則與的積為（ ）
A．0 B．4 C． D．
【變式3】（24-25六年級下·上海·假期作業）計算
（1） （2）
【題型2】有理數的乘法——多個有理數相乘
【例題2】（2024七年級上·浙江·專題練習）計算下列各式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【變式1】（2024七年級上·云南·專題練習）定義：，請用此定義計算： ．
【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）下面計算正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
由例題可知：有多個不為0的有理數相乘時，可以先確定積的符號，再將絕對值相乘；若其中一個乘數為0，則積為0。
【題型3】有題數乘法的實際應用
【例題3】（24-25七年級上·陜西延安·期末）延安土層深厚，海拔米，光照充足，晝夜溫差大，有利果實積累糖分，是蘋果的最佳適生帶．現有10箱延安蘋果，以每箱為標準，其中質量超過或不足的千克數分別用正數或負數來表示，記錄如下表所示．
與標準質量的差/ 2 0 1
箱數 1 1 1 2 4 1
（1）這10箱蘋果中，最重的一箱比最輕的一箱重多少千克？
（2）與標準質量相比，這10箱蘋果總計超過或不足多少千克？
（3）若每千克蘋果售價12元，這10箱蘋果可賣出多少元？
【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）有個有理數相乘，結果為，那么這個數（ ）
A．都為
B．只有一個
C．至少有一個
D．有兩個數互為相反數
【變式2】（24-25七年級上·湖南衡陽·期中）一只跳蚤在數軸上從原點開始，第1次向右跳2個單位長度，第2次向左跳4個單位長度，第3次向右跳6個單位長度，第4次向左跳8個單位長度，…依此規律跳下去，當它第2024次落下時，落點表示的數是 ．
知識點（二）倒數
若兩個有理數積為1，就稱這兩個有理數稱為互為倒數。
【題型4】有理數的乘法——與倒數有關計算
【例題4】（24-25七年級上·西藏林芝·期中）的相反數的倒數是 ；的倒數是 ；倒數等于它本身的數是 ．
【變式1】（23-24六年級上·黑龍江綏化·期末）因為，所以（ ）
A．是倒數 B．和是倒數 C．和互為倒數 D．和和是倒數
【變式2】（24-25七年級上·貴州貴陽·期中）小安和小何玩猜數字的游戲，小安心里想好了一個數并描述說：“這個數的絕對值等于它的相反數．”小何說：“我猜不到．”小安繼續說：“它的倒數等于它本身．”小何說“我知道了！”，小安心里想的這個數是 ．
【題型5】有理數的加減混合運算
【例題5】（24-25七年級上·吉林四平·階段練習）已知、互為相反數，、互為倒數，負數的絕對值是，是最大的負整數．求式子的值．
【變式1】（24-25七年級上·河南周口·階段練習）已知a與2互為相反數，b與互為倒數．
（1）則 ， ．
（2）已知，求的絕對值．
【變式2】（24-25七年級上·海南儋州·期末）已知a，b互為倒數，c，d互為相反數，m的絕對值等于2，n是最大的負整數．
（1）直接寫出，，m，n的值；
（2）求的值
知識點（三）有理數的乘法運算律
乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。
即：。
乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變。
即：。
分配律：一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加。
即：。
【題型6】運算加法運算律進行有理數加減混合運算
【例題6】（24-25六年級上·山東淄博·階段練習）用簡便方法計算：
（1）． （2）．
【變式1】（23-24六年級上·山東煙臺·期中）用簡便方法計算：
（1） （2）
【變式2】（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）用簡便方法計算
（1） （2）．
同步練習
【基礎鞏固（16題）】
一、單選題
1．（2025·山東煙臺·二模）已知的倒數是，則的相反數是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·吉林松原·模擬預測）若的運算結果為負數，則內的數字可以為（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2024七年級上·全國·專題練習）下列算式中，運算結果為負數的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年級上·吉林長春·開學考試）超市里運來7箱洗手液，每箱8瓶，____________________，還剩下多少瓶？如果列式為，橫線上應填的信息是（ ）
A．賣出2瓶 B．又運來2箱 C．賣出2箱
5．（2024七年級上·全國·專題練習）規定：水位上升為正，水位下降為負；幾天后為正，幾天前為負．若水位每天下降，今天的水位記為，那么2天前的水位用算式表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25六年級上·河南商丘·期中）計算的最簡便算法是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
7．（24-25七年級下·全國·假期作業）計算： ；
8．（24-25七年級上·四川宜賓·期末）在4，，6，這四個數中，任意取兩個數相乘，所得的積最大是 ．
9．（24-25七年級上·江蘇南通·期末）用正負數表示氣溫的變化，上升為正，下降為負.登山隊攀登一座山峰，每登高氣溫的變化量為，登山隊員在山腳測得氣溫是，那么他們登高后，氣溫是 ．
10．（2024七年級上·全國·專題練習）【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：
計算： ；
11．（24-25七年級上·廣東佛山·期中）24點游戲規則是：任意4個數，用加、減、乘、除或者括號計算得出24或，每個數都要用到，并且只能用一次．例如：用2、3、4、5這四個數，可以這樣計算．請你利用規則設計一下用3、、5、7四個數得到24或．你的設計是 ．
12．（24-25七年級上·重慶云陽·階段練習）依據下列計算程序計算，若開始輸入，則最后輸出的結果是 ．
三、解答題
13．（24-25七年級上·江西贛州·期末）（1）找出負有理數：，，，，，，，．
答：負有理數有：__________．
（2）計算：．
14．（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習）計算：
（1）； （2）．
15．（24-25七年級下·全國·假期作業）計算．
（1）； （2）；
（3）；
16．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）小明開車從家出發，在東西走向的道路上行駛，規定向東為正，向西為負，從出發到停車，行駛的路程記錄如下（單位：千米）；
，，，，，．
（1）停車時，小明在家的哪邊？距離多遠？
（2）汽車在行駛過程中，若每行駛千米耗油0.1升，則汽車共耗油多少升？
【能力提升（16題）】
一、單選題
1．（24-25六年級上·山東煙臺·期中）若的倒數是，則的相反數是（　　）
A．4 B． C． D．
2．（24-25七年級上·新疆烏魯木齊·階段練習）已知，，且，則的值為（ ）
A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1
3．（24-25七年級上·江蘇連云港·期中）如圖，數軸上點A、B、C分別表示數a、b、c，則下列結論不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2024七年級上·全國·專題練習）有個有理數相乘，結果為，那么這個數（ ）
A．都為
B．只有一個
C．至少有一個
D．有兩個數互為相反數
5．（24-25七年級下·全國·假期作業）張麗用計算器計算“”時，發現鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確結果的是（ ）．
A． B． C．
6．（24-25七年級上·河北保定·期末）下列各式中，運用運算律不正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空題
7．（24-25七年級上·浙江溫州·期末）計算： ．
8．（24-25七年級上·四川自貢·階段練習）若將的相反數記為a，絕對值記為b，倒數記為c，則的值為 ．
9．（24-25七年級上·安徽合肥·期中）在數軸上有點、、分別表示有理數、、．若這三個數的和與其中的一個數相等．
①則必有倆數和為 ．
②若將點向左移動2個單位得到點，點向左移動4個單位得到點，且、、三個數的乘積為負數，則的值為 ．
10．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）一種商品每件進價為4元，商家先在進價的基礎上增加定為售價，后來由于庫存積壓，商家決定每件商品打八折出售，則每件商品還能盈利 元．
11．（2024七年級上·全國·專題練習）計算： ．
12．（24-25七年級上·江蘇揚州·期末）王軍同學在自學了電腦編程后，設計了如圖所示的程序，若他輸入的數是3，則輸出的數為 ．
三、解答題
13．（24-25七年級上·廣東江門·期中）計算：能用簡算的用簡算
（1）； （2）．
14．（24-25七年級上·貴州畢節·期中）現在定義兩種運算“*”和“☆”，對于有理數a，b，有，．
（1）求；的值； （2）求．
15．（23-24七年級上·遼寧葫蘆島·期末）為了進一步加強對學生的勞動教育，某校將學校勞動實踐基地劃分區域，分給每個班級自主管理．七年一班的同學們在本班的種植區域中種植了花生，經過精心耕種，同學們一共收獲了8筐花生，以每筐15為準，超過的千克數記作正數，不足的千克數記作負數，稱重后記錄如下：
筐號 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
重量 2.5 0 1 2
（1）求這8筐花生的總重量為多少千克？
（2）在學校的組織下，同學們對收獲的花生以市場價7元/千克的價格全部售出，已知七年一班在播種時，以10元/千克的價格購進花生種子5千克，請你幫七年一班同學算一算，他們此次耕種花生獲利了多少元？
16．（24-25六年級上·山東東營·期中）【觀察思考】觀察下列等式
，
將以上三個等式兩邊分別相加得：
．
【探索規律】
（1）猜想并寫出：______．
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
______；
【遷移運用】
（3）．
【中考真題5題】
一、單選題
1．（2025·山東煙臺·中考真題）的倒數是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
2．（2025·四川自貢·中考真題）若，則內的數字是（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．（2023·四川達州·中考真題）的倒數是（ ）
A．2023 B． C． D．
4．（2025·湖南長沙·中考真題）中國式現代化取得了彪炳史冊的偉大成就，極大地提升了我國的綜合國力與國際影響力．據世界銀行公布的2024年各國GDP數據，可知2024年中國GDP總量為萬億美元．
附：世界銀行公布的2024年GDP排名前20名的部分國家數據表
國家 GDP總量（單位：萬億美元） 國家 GDP總量（單位：萬億美元）
德國 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄羅斯 2.05
英國 3.49 韓國 1.76
法國 3.13 瑞士 0.93
預計2025年中國GDP總量的增長率為左右，請你根據以上信息估算：
2025年中國GDP的增長量與下列哪個國家2024年GDP總量最接近？（ ）
A．法國 B．瑞士 C．巴西 D．英國
二、填空題
5．（2022·湖北隨州·中考真題）計算： ．
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