資源簡介

《3.1.1函數的概念》教學設計
教材分析
本節是函數章節的起始課，從“變量說”過渡到“對應說”，是學生理解函數本質、構建函數體系的基礎，貫穿整個高中數學。本課以豐富的實例（運動、氣象、經濟等）為背景，強調函數的實際意義，突出“對應關系”的核心地位，弱化對解析式的過度依賴；強化集合語言與符號（f: A→B, y = f(x)）的規范使用，滲透數學抽象、數學建模、邏輯推理等核心素養。
學情分析
學生在初中已學習變量、一次/二次函數、圖象等概念，具備初步的函數觀念，但認知停留在表象，難以抽象出“對應關系”的本質，對用集合定義函數存在理解困難，對符號`f(x)`的含義及應用不熟悉。
教學目標
1.數學抽象：通過分析具體實例，抽象出函數的共同特征，理解函數是描述變量間依賴關系的數學模型，能用集合語言定義函數。
2.邏輯推理：辨析函數概念中的“兩個非空數集”、“任意性”、“唯一性”等關鍵要素，能判斷給定對應關系是否為函數。
3.數學建模：能從實際問題中識別變量關系，初步建立函數模型。
4.數學運算/直觀想象：為后續研究函數性質（定義域、值域、圖象等）奠定基礎。
教學重點
1.函數的概念：理解函數是建立在兩個非空數集上的單值對應關系。
2.函數的三要素：定義域、對應關系、值域。
教學難點
1.符號理解：理解符號y = f(x)中f代表對應關系，f(x)表示x對應的函數值。
2.概念本質：從“變量依賴”到“集合對應”的思維跨越，理解“任意性”和“唯一性”。
教學方法
啟發式教學；探究式學習；講練結合法；直觀演示法
教學手段
多媒體課件（PPT/希沃白板）；實物投影儀（展示學生練習）
教學課時
1課時
教學過程
一、導入設計
1.情境喚醒：
展示【實例1】：某市24小時氣溫變化圖（教材P60例1）。
提問：“你能從圖中讀出哪些信息？時間t（小時）變化時，氣溫T（℃）如何變化？對于每一個確定的時間t（如t=8），是否都有唯一確定的氣溫T與之對應？”
2.回顧舊知：
提問：“回憶初中函數定義（在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與之對應，那么y是x的函數）。”
追問：“這個定義強調了什么？（變量、依賴、唯一對應）”
3.引出課題：今天我們將從更一般、更精確的角度（集合的角度）來認識函數。
二、教學過程
環節1：實例探究，感知共性
任務驅動（小組合作）：
　 分發導學案，呈現三個典型實例：
【實例2】：某高鐵列車運行時速v = 300 km/h，行駛時間t（小時）與路程s（公里）的關系：s = 300t。（解析式）
【實例3】：某班級學生學號（1-50）與身高h（cm）的對應表。（表格）
【實例1】：24小時氣溫T隨時間t變化的圖象。（圖象）
思考問題：
1.每個例子中涉及哪些數量？哪些在變（變量）？哪個量隨哪個量變化？
2.每個例子中涉及幾個數集？分別是什么？
3.對于第一個數集中的每一個元素，第二個數集中是否有唯一確定的元素與之對應？如何對應？
師生共析：
引導學生回答上述問題，提煉關鍵詞：兩個非空數集（A, B）、對應關系、任意x∈A、唯一確定y∈B。
環節2：抽象定義，剖析要素
概念生成：
綜合實例共性，給出嚴格定義：
函數：設A、B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f: A → B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y = f(x), x ∈ A。
剖析關鍵：
A（定義域）：自變量x的取值范圍。
B（值域所在的集合）：函數值y可能的取值范圍。強調B包含值域但不一定等于值域。
f（對應關系）：可以是解析式、圖象、表格等。強調f是規則，f(x)是結果。
“任意性”與“唯一性”：用實例反例說明（如“身高對應體重”可能不唯一？）。
符號理解：
f: A → B：表示f是從A到B的函數。
y = f(x)：x是自變量，y是x在對應關系f下的函數值。
f(a)：當自變量x = a時對應的函數值。舉例：【實例2】中f(2) = 300 * 2 = 600。
三要素初步感知：
函數由定義域A、對應關系f和值域{f(x) | x ∈ A}唯一確定。值域是B的子集。
環節3：辨析應用，鞏固概念
概念辨析（判斷是否為函數）：
1.(圖)平面直角坐標系中，一個x值對應兩個不同y值的圖象。（否，違反唯一性）
2. A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}，對應關系f: 1→4, 2→4, 3→5。（是）
3. A = R, B = R，對應關系f: y = x。（否，x>0時一個x對應兩個y）
4. A = {中國所有省}, B = {該省省會}，f：省 → 省會。（是，生活實例）
簡單應用：
已知函數f(x) = 2x - 1, x ∈ {0, 1, 2, 3}。
求函數的定義域。（{0, 1, 2, 3}）
求f(0), f(2)的值。（-1, 3）
求函數的值域。（{-1, 1, 3, 5}）
演示：動態展示函數圖象（如y=x, y=x ），強調垂線測試驗證“唯一性”。
三、課堂小結
引導學生自主總結：
1.函數本質：建立在兩個非空數集A, B上的單值對應關系f。
2.核心要素：定義域A、對應關系f、值域（f(A)）。
3.關鍵要求：A中任意x → B中唯一y = f(x)。
4.符號意義：f: A→B, y=f(x), f(a)的含義。
四、作業布置
1. 基礎題（必做）：
教材P72 習題3.1：第1題（判斷圖象是否為函數）；第2題（求函數值/值域）。
2. 提高題（選做）：
①已知f(x) = x + 1，求f(0), f(1), f(a), f(a+1)。
②思考：函數y = x與函數y = |x|是同一個函數嗎？為什么？
五、板書設計
3.1.1 函數的概念
一、函數定義
設 A, B 是非空實數集， x∈A， ! y∈B，使得 y=f(x)，
則稱 f: A→B 是函數。記作: y=f(x), x∈A。
二、核心要素
1. 定義域：A (自變量x的取值范圍)
2. 對應關系：f
3. 值域：{f(x) | x∈A} B
三、符號
f: A→B y=f(x) f(a) (當x=a時的函數值)

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