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培優專題 數軸中的九類動點模型
數軸中的動態模型（如動點問題）的歷史發展，本質上是數軸工具與運動數學思想結合的產物，其演變可分為三個階段：工具創造 （17世紀）→動態啟蒙 （19-20世紀）→教學定型 （21世紀）。數軸動態模型是 笛卡爾幾何工具 與 運動數學思想 在教育場景中的實踐結晶，其發展映射了數學從抽象理論向應用建模的轉化過程。
（2024·安徽合肥·一模）如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看出，終點表示數﹣2，已知點A是數軸上的點，請參照圖示，完成下列問題：
(1)如果點A表示數﹣3，將點A向右移動7個單位長度，那么終點表示的數是______；
(2)如果點A表示數3，將點A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是______；
(3)如果點A表示數a，將點A向左移動m（m＞0）個單位長度，再向右移動n（n＞0）個單位長度，那么終點表示數是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【答案】(1)4
(2)1
(3)終點表示數是（a﹣m+n）
【分析】（1）根據-3點為A，右移7個單位得到B點為-3+7=4，則可以得出答案；
（2）根據3表示為A點，將點A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，得到點為3-7+5=1，可以得出答案；
（3）方法同（2），根據數軸上表示的數左減右加的原則計算即可．．
【詳解】（1）∵點A表示數﹣3，
∴點A向右移動7個單位長度，終點B表示的數是﹣3+7＝4，
故答案是：4；
（2）∵點A表示數3，
∴將A點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，
那么終點表示的數是3﹣7+5＝1；
故答案是：1；
（3）∵A點表示的數為a，
∴將A點向左移動m個單位長度，再向右移動n個單位長度，
那么終點表示數是（a﹣m+n）．
【點睛】本題考查的是數軸的定義及數軸上兩點之間的距離公式，弄清題中的規律是解本題的關鍵．
（2024·浙江臺州·一模）操作與推理：我們知道，任何一個有理數都可以用數軸上一個點來表示，根據下列題意解決問題：
（1）已知x=2，請畫出數軸表示出x的點：
（2）在數軸上，我們把表示數2的點定為基準點，記作點O，對于兩個不同的點A和B，若點A、 B到點O的距離相等，則稱點A與點B互為基準等距變換點．例如圖2，點A表示數-1，點B表示數5，它們與基準點O的距離都是3個單位長度，我們稱點A與點B互為基準等距變換點．
①記已知點M表示數m，點N表示數n，點M與點N互為基準等距變換點．I．若m=3，則n= ；II．用含m的代數式表示n= ；
②對點M進行如下操作：先把點M表示的數乘以23，再把所得數表示的點沿著數軸向右移動2個單位長度得到點N，若點M與點N互為基準等距變換點，求點M表示的數；
③點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度，對Q點做如下操作： Q1為Q的基準等距變換點，將數軸沿原點對折后Q1的落點為Q2這樣為一次變換： Q3為Q2的基準等距變換點，將數軸沿原點對折后Q3的落點為Q4這樣為二次變換： Q5為Q4的基準等距變換點．．．．．．，依此順序不斷地重復變換，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P與Qn．兩點間的距離是4，直接寫出n的值．

【答案】（1）見解析；（2）①I，1；II 4-m ②；③2或6．
【分析】（1）在數軸上描點；
（2）由基準點的定義可知，；
（3）（3）設P點表示的數是m，則Q點表示的數是m+8，由題可知Q1與Q是基準點，Q2與Q1關于原點對稱，Q3與Q2是基準點，Q4與Q3關于原點對稱，…
由此規律可得到當n為偶數，Qn表示的數是m+8-2n，P與Qn兩點間的距離是4，則有|m-m-8+2n|=4即可求n；
【詳解】解：（1）如圖所示，

（2）①Ⅰ．∵2是基準點，m=3，3到2的距離是1，所以到2的距離是1的另外一個點是1，
∴n=1；
故答案為1；
Ⅱ．有定義可知：m+n=4，
∴n=4-m；
故答案為：4-m
②設點M表示的數是m，
先乘以23，得到23m，
再沿著數軸向右移動2個單位長度得到點N為23m+2，
∵點M與點N互為基準等距變換點，
∴23m+2+m=4，
∴m=；
③設P點表示的數是m，則Q點表示的數是m+8，如圖，

由題可知Q1表示的數是4-(m+8)，Q2表示的數是-4+(m+8)，Q3表示的數是8-(m+8)，Q4表示的數是-8+(m+8)，Q5表示的數是12-(m+8)，Q6表示的數是-12+(m+8)…
∴當n為偶數，Qn表示的數是-2n+（m+8），
∵若P與Qn兩點間的距離是4，
∴|m-[-2n+(m+8)]|=4，
∴n=2或n=6．
【點睛】本題考查新定義，數軸上數的特點；能夠理解基準點的定義是解決問題的基礎，從定義中探究出基準點的兩個點是關于2對稱的；（3）中找到Q的變換規律是解題的關鍵．
（2024·湖南株洲·二模）【閱讀材料】我們知道“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，利用此規律，我們可以求數軸上兩個點之間的距離，具體方法是：用右邊的數減去左邊的數的差就是表示這兩個數的兩點之間的距離．若點表示的數是，點表示的數是，點在點的右邊（即），則點，之間的距離為（即）．例如：若點表示的數是，點表示的數是，則線段．
【理解應用】（1）已知在數軸上，點表示的數是，點表示的數是，求線段的長；
【拓展應用】如圖所示，點 在數軸上對應的數分別為 ，其中是最大的負整數， 滿足，且．（2） ； ； ； ．
（3）若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒個單位長度的速度向左運動，設運動的時間為秒，當 兩點之間的距離為個單位長度時，求運動時間的值；
【答案】；；；；；秒或秒
【詳解】解：，線段的長為；
是最大的負整數，，
滿足，，解得：，，，
又，；故答案為：；；；；
解：秒后點到達的位置是，點到達的位置是，
當 兩點之間的距離為個單位長度時，可得：，
整理得：，解得：或，
答：當運動秒或秒時 兩點之間的距離為個單位長度
①若A、B兩點在數軸上對應的數字是 a、b，則AB兩點間的距離；AB中點對應的數字是：。
②數軸動點問題主要步驟：
1）畫圖——在數軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；
2）寫點——寫出所有點表示的數：常用含t的代數式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用“-”表示；
3）表示距離——右—左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；
4）列式求解——根據條件列方程或代數式，求值。
注意：要注意動點是否會來回往返運動，速度是否改變等。
③分類討論的思想：
（1）數軸是數形結合的產物，分析數軸上點的運動要結合圖形進行分析，注意多種情況的分類討論。
（2）對于兩個動點P、Q，若點P、Q的左右位置關系不明確或有多種情況，可用p、q兩數差的絕對值表示PQ 兩點距離，從而避免復雜分類討論。
模型1.動態規律（左右跳躍）模型
【解題技巧】 運動規律性 ：動點按“左右交替”方向移動，步長呈現遞增或周期性變化。
代數表達 ：動點位置需用含時間變量t的代數式表示。
例如，第n次移動后的位置可表示為：xn=xn 1±kn，其中k為步長基數，符號由移動方向決定。
分類討論 ：根據移動次數、方向變化和步長規律進行分段分析，尤其注意動點是否跨越原點或特定臨界點。
常見模型（1）：“1左1右”的等差數列式跳躍，兩個一組根據規律計算即可；
常見模型（2）：“2左2右”的等差數列式跳躍，四個一組根據規律計算即可。
例1（24-25七年級上·河南信陽·期末）在數軸上，一只螞蟻從原點出發，它第一次向右爬行了1個單位長度，第二次接著向左爬行了2個單位長度，第三次接著向右爬行了3個單位長度，第四次接著向左爬行了4個單位長度，如此進行了2021次，螞蟻最后在數軸上對應的數是（ ）
A．1011 B． C．505 D．
【答案】A
【分析】先得到前四次螞蟻到達的位置，依此類推得到一般性規律，即可得到結果．
【詳解】解：螞蟻第一次到達的位置為1，
螞蟻第二次到達的位置為-1，
螞蟻第三次到達的位置為2，
螞蟻第四次到達的位置為-2，
……
依此類推，第2n-1次到達n，
第2n次到達-n，
故第2021次到達1011．
故選：A．
【點睛】本題考查了數軸，數軸上兩點間的距離，弄清題中的規律是解本題的關鍵．
例2（23-24七年級上·浙江杭州·期末）電子跳蚤落在數軸上的某點，第一步從向左跳1個單位到，第二步由向右跳2個單位到，第三步由向左跳3個單位到，第四步由向右跳4個單位到，…，按以上規律跳了140步時，電子跳蚤落在數軸上的點所表示的數恰是2019．則電子跳蚤的初始位置點所表示的數是 ．
【答案】1949
【分析】易得每跳動2次，向右平移1個單位，跳動140次，相當于在原數的基礎上加了70，相應的等量關系為：原數字+70=2019．
【詳解】解：設k0點所對應的數為x，
由題意得：每跳動2次，向右平移1個單位，跳動140次，相當于在原數的基礎上加了70，
則x+70=2019，
解得：x=1949．
即電子跳蚤的初始位置K0點所表示的數為1949．
故答案為：1949．
【點睛】本題考查了數軸、圖形的變化規律，得到每跳動2次相對于原數的規律是解決本題的突破點．
例3（2024·河北石家莊·二模）如圖，在數軸原點O的右側，一質點P從距原點10個單位的點A處向原點方向跳動，第一次跳動到OA的中點A1處，則點A1表示的數為 ；第二次從A1點跳動到OA1的中點A2處，第三次從A2點跳動到OA2的中點A3處，如此跳動下去，則第四次跳動后，該質點到原點O的距離為 ．
【答案】
【分析】因為A到原點距離為10，A1為OA的中點，可求出A1到原點距離為5，依次可求出A2、A3、A4到原點的距離．
【詳解】解：由題意可知：
∵A到原點距離為10，且A1為OA的中點，∴A1到原點距離為5，
∵A2為OA1的中點，∴A2到原點距離為，
∵A3為OA2的中點，∴A3到原點距離為，
∵A4為OA3的中點，∴A4到原點距離為，
故答案為：5；．
【點睛】本題考查用數軸上的點表示有理數，數軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是理解題意準確找出每一個點代表的有理數．
模型2.動態中點與n等分點模型
【解題技巧】
1）動態中點模型：動態中點指兩動點在數軸上運動時，其中點位置隨動點運動而變化。設動點A和B在時間t的位置分別為xA（t）和xB（t），則動態中點M（t）的坐標：。
該公式適用于任意時刻動態中點計算。
2）動態n等分模型：將線段AB分為n等份時，第k個等分點的坐標為：。
若A和B為動點，則等分點位置隨時間變化，需建立動態表達式。
例1（23-24七年級上·江西上饒·期中）數軸上的三個點，若其中一個點與其它兩個點的距離相等，則稱該點是其它兩個點的“中點”，這三點滿足“中點關系”．已知，如圖點，表示的數分別為，，點為數軸上一動點．若，，三點滿足“中點關系”時，則點表示的數為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查數軸上兩點間的距離，掌握兩點間的距離公式是解題的關鍵．根據中點到其它兩點之間的距離相等，分，，點分別為其它兩個點的中點，三種情況進行求解即可．
【詳解】解：①當點為點，的中點時，點表示的數為；
②當點為點，的中點時，點表示的數為；
③當點為點，的中點時，點表示的數為；
綜上：點表示的數為或或；
故答案為：或或．
例2（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習）點從原點向距離原點左側1個單位的點處跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從點跳動到的中點處，第三次從點跳動到的中點處，如此不斷跳動下去，則第4次跳動后，P點（即表示的數）為 ．

【答案】
【分析】解：根據題意可得第一次跳動到的中點處時，；第二次從點跳動到的中點處時，；第三次從點跳動到的中點處時，，第四次從點跳動到的中點處時，，最后結合線段的和差即可求得答案．
【詳解】解：∵，
∴第一次跳動到的中點處時，，
第二次從點跳動到的中點處時，，
第三次從點跳動到的中點處時，，
第四次從點跳動到的中點處時，，
∴第4次跳動后，，
∴點表示的數為．
故答案是：．
【點睛】本題考查了數軸上的找規律問題，此類題目在中考中經常出現，對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的是解決問題的關鍵．
例3（23-24七年級上·吉林·期末）【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發現了許多重要的規律：若數軸上點，點表示的數分別為，則兩點之間的距離，線段的中點表示的數為．
【問題情境】數軸上點表示的數為，點表示的數為6，點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向終點勻速運動，同時點從點出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，到達點后，再立即以同樣的速度返回點，當點到達終點后，兩點都停止運動，設運動時間為秒．
【綜合運用】
(1)填空：兩點間的距離________，線段的中點表示的數為________；
(2)當為何值時，兩點間距離為3；
(3)若點為的中點，點為的中點，當點到達點之前，在運動過程中，探索線段和的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)10，1
(2)當或或時，P，Q兩點間距離為3
(3)，理由見詳解
【分析】本題主要考查數軸上兩點之間的距離和中點坐標，數軸上動點問題以及分類討論思想，
結合點和點表示的數，利用兩點之間距離即可求得，利用中點坐標即可求得線段的中點表示的數；
當點P與點B重合時，求得；同理求得點Q與點A重合時的t；當點Q返回到點B時的t，當時，點P表示的數，點Q表示的數，結合題意即可列出方程求的t；當時，點P表示的數是，點Q表示的數是，同理求的t即可；
根據題意得，，當點到達點之前，即當時，點M表示的數是，點N表示的數是，即可得即可．
【詳解】（1）解：∵點表示的數為，點表示的數為6，
∴，
線段的中點表示的數為∶，
故答案為：10，1
（2）當點P與點B重合時，；
當點Q與點A重合時，；
當點Q返回到點B時，，
當時，點P表示的數是，點Q表示的數是，
∵，
∴或，
解得：或，
當時，點P表示的數是，點Q表示的數是，
∵，
∴或，
解得或 (不符合題意，舍去)，
綜上所述，當或或時，P，Q兩點間距離為3．
（3），理由如下：
∵點為的中點，點為的中點，
∴，，
當點到達點之前，即當時，
點M表示的數是，
點N表示的數是，
∵，
∴，
∴．
模型3.單（多）動點勻速模型
【解題技巧】
模型（1）:動點P從點A（點A在數軸上對應的數是a）出發，以每秒v個單位的速度向右移動，t秒后，到達B點，B點對應的數是：a+vt。
模型（2）:動點P從點A（點A在數軸上對應的數是a）出發，以每秒v個單位的速度向左移動，t秒后，到達C點，C點對應的數是：a-vt。
例1（24-25七年級上·河南南陽·期末）同學們通過學習知道了點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，則A，B兩點之間的距離表示為．請回答：
(1)如圖，數軸上表示和5的兩點之間的距離是___________，數軸上表示和的兩點之間的距離是___________；
(2)若數軸上A，B兩點表示的數分別為x和，
①A，B兩點之間的距離可表示為___________；
②如果，求x的值；
(3)若數軸上A，B兩點表示的數分別為和6，點P是線段上的一個動點，且點P表示的數為x，請直接寫出的值．
【答案】(1)7，3
(2)①；②2或
(3)11
【詳解】（1）解：根據A，B在數軸上分別表示有理數a，b，則A，B兩點之間的距離表示為，
則數軸上表示-2和5的兩點之間的距離，
數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離．
故答案為7，3．
（2）解：①數軸上A，B兩點表示的數分別為x和，
A，B兩點之間的距離．
②，
，
解得或．
（3）解：點P在線段上，因此x的取值范圍為，
計算的值：
當時，；
當時，，
因此：
【點睛】此題綜合考查了數軸距離、絕對值性質、絕對值方程、動點問題以及數軸上的幾何意義等多個知識點，要求學生具備較強的數形結合能力和代數運算能力．
例2（24-25七年級上·陜西咸陽·期中）如圖，點、在數軸上表示的數分別是，1，點在點的右側，且、兩點間的距離為4．
(1)點表示的數為______；
(2)動點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，設運動的時間為t秒．
①當為何值時，、兩點相遇？
②當點表示的數為2時，求、兩點間的距離．
【答案】(1)5
(2)①；②
【分析】本題考查了用數軸上的點表示有理數，數軸上兩點之間的距離，數軸上動點問題，熟練掌握以上知識點，正確表示出點、表示的數是解題的關鍵．
（1）根據數軸上兩點之間的距離公式即可求得點表示的數；
（2）①根據數軸上兩點之間的距離公式用表示出點、分別為、，當、相遇時，有，解之即可；②先求得，然后求得點，再算得的距離即可．
【詳解】（1）解：點表示的數為1，點在點的右側，且、兩點間的距離為4，
點表示的數為，
故答案為：5．
（2）解：①點表示的數為，點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向右運動，
點表示的數為，
點表示的數為1，動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，
點表示的數為，
點、在數軸上表示的數分別是，1，
當、相遇時，有，
解得，
故當時，、兩點相遇；
②由①可知，當點表示的數為2時，即，
解得，
此時點表示的數為，
點表示的數為5，
點、兩點間的距離，
故當點表示的數為2時，點、兩點間的距離為．
例3（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習）已知點M、N在數軸上分別表示有理數m、n，M、N兩點之間的距離表示為，則在數軸上M、N兩點之間的距離，如圖1，A、B兩點在數軸上對應的數分別為和6．
(1)直接寫出A、B兩點之間的距離______；
(2)若在數軸上存在一點C，使得C到B的距離是到A的距離的2倍，求點C表示的數；
(3)如圖2，現有動點P、Q，若點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸在之間進行往返運動，點P出發的同時點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸一直向左運動，求當時，時間t的取值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或或
【分析】本題考查了數軸上表示有理數，數軸兩點間的距離，絕對值方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）根據A、B兩點在數軸上對應的數分別為和6，得出，即可作答．
（2）進行分類討論，則點C在B點的右邊；當點C在A點與B點的之間，當點C在A點的左邊，分別運用數軸兩點間的距離進行列式計算，即可作答．
（3）考慮，則點P表示的數是，列式，解得或，點P第一次從點往點移動時，則點P表示的數是，得，解得或；當點P第二次從出發，列式，解得．據此即可作答．
【詳解】（1）解：∵A、B兩點在數軸上對應的數分別為和6．
∴
∴A、B兩點之間的距離為；
（2）解：設點C在數軸上表示有理數c，
點C在B點的右邊，則結合數軸，，
不滿足C到B的距離是到A的距離的2倍，故舍去；
當點C在A點與B點的之間，
∵A、B兩點在數軸上對應的數分別為和6，C到B的距離是到A的距離的2倍，
則
解得，
當點C在A點的左邊，
∵A、B兩點在數軸上對應的數分別為和6，C到B的距離是到A的距離的2倍，
則
解得，
∴點C表示的數為或；
（3）解：依題意，時間為t，
點Q表示的數是，
∵，
∴，
∴則點P表示的數是，
∵，
∴，
即，
∴或，
解得或，
當點P表示的數去到點，且點P第一次從點往點移動時，
則，
∴則點P表示的數是，
∵，
∴，
，
即或，
此時或，
當點P剛好回到，此時點Q表示的數是，
∵，
∴，
∵，
∴當點P第二次從A出發，，
則點P表示的數是，
∵，
∴，
∴，
綜上或，或或．
模型4.單（多）動點變速模型
【解題技巧】
單個動點在數軸上運動時，速度隨時間或位置發生改變，需分段描述其運動軌跡。
例如：動點先以速度v1運動t1秒，再以速度v2反向運動t2秒。
其 位置表達式 ：分段表示為x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1) v2(t t1)（t1上式中為x0初始位置，x(t)為t時刻的位置。
多個動點以不同速度或方向變化協同運動，需分別建模后尋找關聯條件（如相遇、距離等）。
動態關系式 ：分別表示各動點位置，再通過相遇條件xP(t)=xQ(t)或距離公式∣xP(t) xQ(t)∣=L列方程。
上式中xP(t)為動點P在t時刻的位置；xQ(t)為動點Q在t時刻的位置。
數軸上的單（多）動點變速模型用于描述動點在運動中速度發生變化的場景，需結合分段分析（按時間或位置劃分運動階段，確保每個階段內速度恒定）和動態方程構建解決問題，最后注意檢查解是否在對應時間段內，排除超時或重復解。
例1（23-24七年級上·山東濟寧·期中）已知，如圖，、、分別為數軸上的三個點，點對應的數為60，點在點的左側，并且與點的距離為30，點在點左側，點到距離是點到點距離的4倍．
（1）求出數軸上點對應的數及的距離．
（2）點從點出發，以3單位/秒的速度項終點運動，運動時間為秒．
①點點在之間運動時，則_______．（用含的代數式表示）
②點在點向點運動過程中，何時、、三點中其中一個點是另外兩個點的中點？求出相應的時間．
③當點運動到點時，另一點以5單位/秒速度從點出發，也向點運動，點到達點后立即原速返回到點，那么點在往返過程中與點相遇幾次？直接寫出相遇是點在數軸上對應的數．
【答案】（1）點對應的數為30；AC=120；（2）①；②的值為5或20；③相遇2次；點在數軸上對應的數為－15或．
【分析】(1)根據A點對應的數為60，B點在A點的左側，AB=30求出B點對應的數，根據AC=4AB求出AC的距離；
(2)①當P點在AB之間運動時，根據路程=速度×時間求出AP=3t，根據BP=AB-AP求解；
②分P點是AB的中點和B點是AP的中點兩種情況進行討論即可；
③根據P、Q兩點的運動速度與方向可知Q點在往返過程中與P點相遇2次，設Q點在往返過程中經過x秒與P點相遇，第一次相遇是點Q從A點出發，向C點運動的途中，根據AQ-BP=AB列出方程；第二次相遇是點Q到達C點后返回到A點的途中，根據CQ+BP=BC列出方程，進而求出P點在數軸上的對應的數．
【詳解】解（1）點對應的數為60，,點在點的左側，并且與點的距離為30，
點對應的數為；
點到點距離是,點到點距離的4倍，
;
（2）①當點在之間運動時，
，
．
故答案為；
②當點是、兩點的中點時，，
，解得；
當點是兩點的中點時，，
，解得．
故所求時間的值為5或20；
③相遇2次．
設點在往返過程中經過秒與點相遇．
第一次相遇是點從出發，向點運動的途中．
，
，
解得，
此時點在數軸上對應的數是：；
第二次相遇是到達點后返回到點的途中．
，
，
解得，
此時點在數軸上對應的數是：．
綜上，相遇時點在數軸上對應的數為－15或．
【點睛】本題主要考查的是一元一次方程的應用，行程問題相等關系的應用，線段中點的定義，進行分類討論是解題的關鍵．
例2（24-25七年級上·四川成都·期末）如圖，在數軸上，點O表示原點，點A、B、C在數軸上對應的數分別是a、b、c，點B為中點，且a，c滿．
(1) ______， ______， ______；
(2)點P從點A出發，以2個單位每秒的速度沿數軸向右勻速運動，點Q從點C出發，以1個單位每秒的速度沿數軸向左勻速運動，兩點同時出發，當點P運動到點C時，點P，Q停止運動．設運動時間為t秒，當時，求t的值；
(3)若動點M從點A出發．以每秒4個單位長度的速度沿數軸的正方向勻速運動至點B，再以每秒1個單位長度的速度沿數軸的正方向勻速運動；同時，動點N從點C出發以每秒2個單位長度沿著數軸的負方向勻速運動至點O，到達O點后點N按原速度立即返回點C，當點N運動到點C時，點M，N停止運動，設運動時間為k秒，當，求k的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題考查了一元一次方程數軸上的點的運動問題，涉及絕對值方程、一元一次方程以及點的運動規律．需要通過解析方程和運動狀態求解點的位置與時間關系．
（1）本題主要考查了非負數的性質，根據有理數的特征、非負數的性質即可解答；掌握幾個非負數的和為 0，則每個非負數都為 0 成為解題的關鍵；
（2）由題意可知，，結合兩點距離公式求解絕對值方程即可，注意檢驗點P在點C左側；
（3）根據C到達O點前，以及C到達O點后進行分類討論，注意轉折點對方程產生的影響．
【詳解】（1）因為，所以，，
又因為點B為中點，所以．
故答案為：．
（2）由題意可得 ，，
因為，
所以，
解得：或．
檢驗，當時，，滿足條件，
當時，，也滿足條件，
綜上或．
（3）由題意，可得：
C到達O點前，有：
①當M在O左側時，此時，
解得；
②當M在O右側、B左側時，此時，
解得無解；
③當M在B右側時，此時，
解得無解；
C到達O點后，有：
④當M在B右側時，此時，
解得；
綜上或．
例3（24-25七年級上·全國·假期作業）七年級數學興趣小組成員自主開展數學微項目研究，他們決定研究“折線數軸”．
探索“折線數軸”：素材1 如圖，將一條數軸在原點，點，點處折一下，得到一條“折線數軸”．圖中點表示，點表示，點表示，點D表示，我們稱點與點在數軸上的“友好距離”為個單位長度，并表示為．
素材2 動點從點出發，以個單位長度/秒的初始速度沿著“折線數軸”向其正方向運動．當運動到點與點B之間時速度變為初始速度的一半．當運動到點與點之間時速度變為初始速度的兩倍．經過點后立刻恢復初始速度．
問題解決：探索1 ：動點從點運動至點B需要多少時間？
探索2 ： 動點從點出發，運動秒至點和點之間時，求點表示的數（用含的代數式表示）；
探索3 ：動點從點出發，運動至點D的過程中某個時刻滿足時，求動點運動的時間．
【答案】探索1：從點A運動至點B的時間為秒；探索2：表示的數為；探索3：動點運動的時間是秒或秒．
【分析】本題考查數軸上動點計算問題及數軸上兩點間距離問題，解題的關鍵是理解題意并掌握相關的知識．
探索1：根據時間路程速度，即可求解；
探索2：由探索1可得在段運動時間為：秒，進而得到，結合點表示，即可求解；
探索3：分兩種情況：①當在上時，②當在上時，根據線段的和差以及時間路程速度，即可求解．
【詳解】解：探索1：點表示，點表示，
，，
在段初始速度為個單位長度/秒，在段速度為初始速度的一半，
在段速度為個單位長度/秒，
從點運動至點的時間為：（秒）；
探索2：的初始速度為個單位長度/秒，在段速度為初始速度的兩倍，
在段速度為個單位長度/秒，
由探索1可得：在段運動時間為：秒，
，
點表示，
表示的數為：；
探索3：設秒后，
①當在上時，
，
，
，
，
，
，
（秒）；
②當在上時，
，
，
，
，
（秒）．
綜上：動點運動的時間為秒或秒．
模型5.動點往返運動模型
【解題技巧】
數軸上動點往返運動的位置計算需結合 方向變化、分段累加 和 代數建模。
注意事項：
1） 時間范圍驗證 ：解方程后需檢查時間是否在對應運動階段內。
2） 多解可能性 ：往返可能導致動點多次經過同一位置，需列絕對值方程并分情況討論。
3）通過以上方法，可系統計算數軸動點往返后的位置，需重點關注 方向符號處理 和 分段累加規則。
例1（24-25七年級上·陜西銅川·期末）如圖，已知數軸上兩點、表示的數分別為、12，用表示點和點之間的距離．

(1)______；
(2)若在數軸上存在一點，使，求點表示的數；
(3)在（2）的條件下，點位于，兩點之間.點以每秒1個單位長度的速度沿著數軸的正方向運動；4秒后點以每秒2個單位長度的速度也沿著數軸的正方向運動，到達點處立刻返回沿著數軸的負方向運動，直到點到達點，兩個點同時停止運動，設點運動的時間為，則當為何值時，？
【答案】(1)16
(2)點C表示的數為20或8
(3)或；
【分析】（1）根據數軸的性質即可得；
（2）設點C表示的數為x，根據建立方程，解方程即可得；
（3）點位于，兩點之間，分兩種情況來討論：點C到達點B之前，即時，點C到達點B之后，即時，列方程并．解方程，然后結合問題的實際意義加以取舍．
【詳解】（1）解：由題意得：；
（2）解：設點C表示的數為x，
由題意知，，
即，
解得：或8，
∴點C表示的數為20或8；
（3）解：∵點位于，兩點之間，
∴點C表示的數為8，點A運動t秒后表示的數為，
點C到達點B之前，即時，點C表示的數為，
∴，
由題意知，
解得：
點C到達點B之后，即時，點C表示的數為
∴，
由題意知，
解得：或 ，
∵時點C未到達點B，不符合題意舍去，
∴t的值為或；
【點睛】本題考查了數軸、一元一次方程的應用等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關鍵．
例2（24-25七年級上·廣東惠州·階段練習）如圖，在數軸上點表示的有理數為，點表示的有理數為，點從點出發以每秒個單位長度的速度在數軸上由向運動，當點到達點后立即返回，仍然以每秒個單位長度的速度運動至點停止運動，設運動時間為（單位：秒）．

(1)當時，點表示的有理數為______，當點與點重合時，的值為________；
(2)在點沿數軸由點到點再回到點的運動過程中，求點與點的距離．（用含的代數式表示）
【答案】(1)；
(2)點與點的距離
【分析】（1）根據數軸的特點，結合路程、速度、時間之間的關系列式計算即可；
（2）分和兩種情況，分別求出點表示的有理數，進而可得對應的點與點的距離．
【詳解】（1）解：當時，點表示的有理數為；
當點與點重合時，，
故答案為：；；
（2）當點沿數軸由點到點，即時，點表示的有理數為，
∴；
當點沿數軸由點回到點，即時，點表示的有理數為，
∴，
綜上，點與點的距離．
【點睛】本題考查了數軸，數軸上兩點間的距離，熟知數軸特點及路程、速度、時間之間的關系是解題的關鍵．
例3（24-25七年級上·吉林·期中）已知：如圖，點A、點B為數軸上兩點，點A表示的數為a，點B表示的數為b，a與b滿足．動點P從點A出發，以2個單位長度/秒的速度沿數軸向右運動，若在點B處放一擋板（擋板厚度忽略不計），點P在碰到擋板后立即返回，以3個單位長度/秒的速度在數軸上向左運動，到點A停止，設點P運動的時間為t（秒）（t＞0）．
(1)直接寫出a、b的值，______，______；
(2)點P碰到擋板時，t的值為______；
(3)當時，點P表示的有理數為______；當時，點P表示的有理數為______；
(4)試探究：點P到擋板的距離與它到原點的距離可能相等嗎？若能，直接寫出相等時t的值；若不能，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)6；
(3)4，5；
(4)或 ．
【分析】（1）由絕對值的非負性即可得出結論；
（2）求出點A與點B之間的距離為，再根據，即可求解；
（3）當時，點P表示的有理數為，當時，點P到達擋板后從B點出發運動了1秒，即點P表示的有理數為；
（4）分兩種情況討論：當時， ，當時，點P表示的數是 ，則有，分別解方程即可 ．
【詳解】（1）解：
，
，
故答案為：；
（2）解：點A表示的數為，點B表示的數為8，
，
點P碰到擋板時，t的值為，
故答案為：6；
（3）解：當時，點P表示的有理數為，
當時，點P表示的有理數為；
故答案為：4，5；
（4）解：點P到擋板的距離與它到原點的距離可能相等，理由如下：
當時，點P表示的數為，
，
解得，
當時，點P表示的數是 ，
則有，
解得，
綜上所述，t的值為或 ．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，以及數軸上動點問題，解題的關鍵是能用含t的代數式正確的表示出點運動后所表示的數．
模型6.動態定值（無參型）模型
【解題技巧】
數軸上的動態定值（無參型）模型描述動點運動過程中某些量（如線段長度、距離差等）保持不變的場景，需通過代數表達和幾何關系分析定值的存在性及數值。題目中不引入額外參數（如速度、時間變量），直接通過動點初始位置、運動規則或幾何關系推導定值。
1）解題策略與步驟：
步驟1 ：用代數式表示動點位置，例如動點A從x0 出發，以速度v移動，則t秒后位置為x0+vt。
步驟2 ：根據題目條件（如中點、等分點）建立相關量的表達式（如線段長度、差值的絕對值）。
步驟3 ：化簡表達式，觀察是否消去變量項，驗證是否為定值。
2）常見定值類型：
線段長度定值 ：兩動點或動點與定點間的距離保持恒定。
代數式定值 ：如∣xA xB∣±kxC的值為固定常數。
位置關系定值 ：如動點始終為中點或特定分點，導致相關表達式不變。
例1（24-25七年級上·浙江金華·階段練習）如圖，已知數軸上有A，B，C三點，它們表示的數分別是，，4． 點A到點C的距離可以用表示，且．
(1)應用： ， ；
(2)拓展：若點A沿數軸向右以每秒3個單位長度的速度運動，則t秒時點A表示的數是 ，此時， （用含t的式子表示）；
(3)探究：若點C以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時，點A和點B分別以每秒3個單位長度和8個單位長度的速度向左運動，則的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求出的值．
【答案】(1)6；10
(2)；或；
(3)當時的值隨著時間t的變化而改變；當時，的值不隨著時間t的變化而改變，．
【分析】此題考查數軸上動點問題，數軸上兩點之間的距離，
（1）根據數軸上兩點之間的距離公式直接計算即可；
（2）根據數軸上兩點之間的距離公式直接計算即可；
（3）根據兩點之間的距離公式分別求出，，即可判斷．
【詳解】（1）解：，，
故答案為：6；10；
（2）解：t秒時點A表示的數是，
此時或，
故答案為：；或；
（3）解：t秒時點A表示的數是，點B表示的數是，點C表示的數是，
當點A與點B重合時，，解得，
當時，，，
∴，此時的值隨著時間t的變化而改變；
當時，，，
∴，此時的值不隨著時間t的變化而改變，
綜上，當時的值隨著時間t的變化而改變；當時，的值不隨著時間t的變化而改變，．
例2（24-25七年級上·湖北省直轄縣級單位·期末）已知，數軸上點A在原點左邊，到原點的距離為8個單位長度，點B在原點的右邊，從點A走到點B，要經過32個單位長度．
(1)求A，B兩點所對應的數；
(2)若點C也是數軸上的點，點C到點B的距離是點C到原點的距離的3倍，求點C對應的數；
(3)已知，點M從點A向右出發，速度為每秒1個單位長度，同時點N從點B向右出發，速度為每秒2個單位長度，設線段的中點為P，線段的值是否變化？若不變，請求其值；若變化，請說明理由．
【答案】(1)點A表示的數為，點B表示的數為24
(2)點C表示的數為或6
(3)不變，
【分析】本題考查數軸的應用及一元一次方程的應用．
（1）直接根據有理數與數軸上各點的對應關系求出A，B表示的數即可；
（2）設點C表示的數為c，再根據點C到點B的距離是點C到原點的距離的3倍列出關于c的方程，求出c的值即可；
（3）設運動時間為t秒，則，再根據點P是的中點用t表示出的長，再求出的值即可．
【詳解】（1）由題意知，點A表示的數為，
設B為b，
則：
解得：
∴點B表示的數為24；
（2）設點C表示的數為x，
依題意，得
，
解得或，
即點C表示的數為或6；
（3）設運動時間為t秒，則，，
∵線段的中點為P
∴
即，
即，
所以的值不變，．
例3（23-24七年級上·四川攀枝花·期中）在數軸上有三點A，B，C分別表示數a，b，c，其中b是最小的正整數，且|a+2|與（c﹣7）2互為相反數．
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若將數軸折疊，使點A與點C重合，則點B與表示數　 　的點重合；
（3）點A，B，C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點B和點C分別以每秒2個單位長度的速度和4個單位長度的速度向右運動，若點A與點B的距離表示為AB，點A與點C的距離表示為AC，點B與點C的距離表示為BC，則t秒鐘后，AB＝　 　，AC＝　 　，BC＝　 　；（用含t的式子表示）
（4）請問：3BC﹣2AB的值是否隨時間t的變化而變化？若變化，請說明理由；若不變，請直接寫出其值．
【答案】（1） 2，1，7．（2）4．（3）3t＋3，5t＋9，2t＋6．（4）不變；12．
【分析】（1）利用|a＋2|＋（c﹣7）2＝0，得a＋2＝0，c 7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整數，可得b＝1；
（2）先求出對稱點，即可得出結果；
（3）先寫出各點表示的數，再根據數軸上的點的距離的定義即可求解．
（4）由 3BC 2AB＝3（2t＋6） 2（3t＋3）求解即可．
【詳解】（1）∵|a＋2|＋（c 7）2＝0，
∴a＋2＝0，c 7＝0，
解得a＝ 2，c＝7，
∵b是最小的正整數，
∴b＝1；
故答案為： 2，1，7．
（2）（7＋2）÷2＝4.5，
對稱點為7 4.5＝2.5，2.5＋（2.5 1）＝4；
故答案為：4．
（3）A點表示的數為-2-t，B點表示的數為1+2t，C點表示的數為7+4t，
∴AB＝（1+2t）-（-2-t）＝3t＋3，AC＝（7+4t）-（-2-t）＝5t＋9，BC＝（7+4t）-（1+2t）=2t＋6；
故答案為：3t＋3，5t＋9，2t＋6．
（4）不變．
3BC 2AB＝3（2t＋6） 2（3t＋3）＝12．
【點睛】本題主要考查了數軸及兩點間的距離，解題的關鍵是利用數軸的特點能求出兩點間的距離．
模型7.動態定值（含參型）模型
【解題技巧】
數軸上動態定值（含參型）模型需分析含參數（如速度、距離比例等）的動點運動過程中某些量的恒定性，通過代數建模和參數消去法驗證定值存在性及數值。
線段和差定值 ：如PA+PB或∣PA PB∣恒為常數，需結合參數化簡表達式。
代數式定值 ：如kxA+mxB的值與時間無關，需分離含時項并令其系數為零。
速度參數 ：多個動點以不同速度運動，需聯立方程消去時間變量，驗證定值。
比例參數 ：如線段比例或代數式含系數m（如mAB 2BC），需通過參數約束條件確定定值。
通過參數化建模、代數式分離與含時項消去，可系統解決含參型動態定值問題，需特別注意參數解的適用范圍及多解可能性。
例1（24-25七年級上·湖南岳陽·期末）材料閱讀：當點C在線段上，且時，我們稱n為點C在線段上的點值，記作．如點C是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．

初步感知：
(1)如圖1，點C在線段上，若，則_______；若，則_______；
(2)如圖2，已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發，相向而行，運動速度均為，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為．請用含有t的式子表示和，并判斷它們的數量關系．
拓展運用：
(3)已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發，相向而行，若點P、Q的運動速度分別為和，點Q到達點A后立即以原速返回，點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為ts．則當t為何值時，等式成立．
【答案】(1)，
(2)；；
(3)存在t為4或，使等式成立
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，理解新定義是解題的關鍵．
（1）根據材料閱讀，即可求解；
（2）根據材料閱讀，可表示和，即可求解；
（3）分兩種情況：當點Q到達點A之前時，當點Q到達點A返回時，結合，列出方程，即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意得：，
∵，
∴，
故答案為：，
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（3）解：當點Q到達點A之前時，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
當點Q到達點A返回時，此時，
∴
∵，
∴，
∵
∴
∴
∴存在t的值為4或，使等式成立．
例2（23-24七年級上·福建廈門·階段練習）我們規定：對于數軸上不同的三個點，，，當點在點左側時，若點到點的距離恰好為點到點的距離的倍，且為正整數，（即），則稱點是“整關聯點”．
如圖，已知在數軸上，原點為，點，點表示的數分別為，．

(1)原點________（填“是”或“不是”）“整關聯點”；
(2)若點是“整關聯點”，則點所表示的數_______；
(3)點在，之間運動，且不與，兩點重合，作“整關聯點”，記為，作“整關聯點”，記為，且滿足，分別在線段和上．當點運動時，若存在整數，，使得式子為定值，直接寫出，滿足的數量關系________．
【答案】(1)不是
(2)或者
(3)
【分析】（1）根據關聯點的定義，即可；
（2）根據關聯點的定義得到等式，再討論點的位置，求出滿足的值；
（3）設點表示的數為，根據關聯點的定義，得出用，，表示的代數式，再由點運動時，式子為定值，得關于的代數式中的系數為，即可求出，的數量關系．
【詳解】（1）∵在數軸上，原點為，點，點表示的數分別為，
∴，，
∴，
∵不是整數，
∴原點不是“整關聯點”．
故答案為：不是．
（2）∵在數軸上，原點為，點，點表示的數分別為，，
∴，，
∴，
若點是“整關聯點”，
∴，
當點在線段之間，，
∴點表示的數為：；
當點在線段的延長線上，，
∴，
∴點表示的數為：；
綜上所述，點表示的數為：或者．
故答案為：或者．
（3）設點表示的數為，
∵點在，之間運動，且不與，兩點重合，作“整關聯點”，記為，作“整關聯點”，記為，且滿足，分別在線段和上，
∴，；，，
∴，，
∴，
當點運動時，若存在整數，，使得式子為定值，
∴，
解得：，
∴整數，滿足的數量關系為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查新定義、數軸的知識，解題的關鍵的掌握數軸上兩點的距離，動點問題，線段的數量關系，理解新定義的概念．
例3（23-24七年級上·福建泉州·期末）已知數軸上A，B，C三點所對應的數分別是a，b，c．且a，b，c滿足：，為正整數．
(1)判定點A，B在數軸上所對應的數的關系，并說明理由．
(2)設點C以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左移動秒．
①當時，試說明，并寫出推理過程；
②在①的前提下，若點繼續沿數軸向左運動，在運動過程中，是否存在有理數，使得的值與無關？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)點A，B在數軸上所對應的數互為相反數，見解析
(2)①見解析；②當或時，的值與無關
【分析】本題考查了數軸上的動點問題，涉及了數軸上兩點間的距離公式．根據動點的起始位置、運動方向和運動速度確定動點在數軸上對應的數是解題關鍵．
（1）利用絕對值的非負性即可求解；
（2）①運動t秒后點在數軸上所表示的數為，由可得點在數軸上所表示的數為0，進一步可推出，即可求解；②分類討論當點位于點的右側時和當點位于點的左側時兩種情況即可求解．
【詳解】（1）解：點A，B在數軸上所對應的數互為相反數．理由如下：
，
，，，
，，，
點A，B在數軸上所對應的數互為相反數．
（2）解：①運動t秒后點在數軸上所表示的數為．
由（1）可知點A，B在數軸上所對應的數互為相反數．
，
點在數軸上所表示的數為0，
，即，
，
∵，
．
②點C從原點出發，運動秒后，點在數軸上表示的數為，
，．
當點位于點的右側時，，
．
當，即時，的值與無關．
當點位于點的左側時，，
．
當，即時，的值與無關．
綜上所述，當或時，的值與無關．
模型8.數軸折疊（翻折）模型
【解題技巧】
數軸折疊模型通過幾何對稱性分析折疊前后點的對應關系，解決折痕位置、對稱點等問題。
1）若折疊后點a與點b重合，則折痕對應的點m為兩點的中點，滿足：或b=2m a
2）折疊后，對稱點到折痕的距離相等，折痕位置可通過線段比例或代數方程求解。
3）若折疊后動點繼續運動，需分段分析折疊前后的位置變化及運動軌跡。
例1（24-25七年級上·廣東肇慶·期中）綜合與實踐
【主題】折紙．
【素材】已知在紙面上有一數軸（如圖所示），折疊紙面．
【實踐操作】
操作1：在紙面上有如圖所示的一數軸，折疊紙面，若數軸上數1表示的點與數表示的點重合，則數軸上數表示的點與數2表示的點重合．
操作2：現打開紙面后，再次折疊．使數軸上數表示的點與數0表示的點重合．數軸上兩點折疊后重合，兩點折疊后重合．
【實踐探索】
(1)在操作2中，數軸上數3表示的點與數_____表示的點重合；
(2)若點到原點的距離是5個單位長度，求點表示的數；
(3)若數軸上兩點之間的距離為20且點表示的數比點表示的數大，現有一只電子螞蟻從點出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度向射線的方向運動，求當電子螞蟻所在位置到點的距離為4時，電子螞蟻所用的時間為多少秒？
【答案】(1)
(2)或1
(3)8秒或12秒
【分析】本題主要考查的是數軸的認識，數軸上兩點之間的距離，點的對稱性．
（1）數軸上數表示的點與數0表示的點關于點對稱，再找出數3表示的點關于點的對稱點即可；
（2）點A到原點的距離是5個單位長度，則點A表示的數為5或，分兩種情況討論，即可得到B點表示的數；
（3）分電子螞蟻所在位置位于點的左側與右側兩種情況，分別計算即可．
【詳解】（1）解：數軸上數表示的點與數0表示的點重合，
折痕處的點表示的數為：，
，，
數軸上數3表示的點與數表示的點重合；
故答案為：；
（2）解：點到原點的距離是5個單位長度，
點A表示的數為5或，
點A表示的數為5時，
，，
點A表示的數為時，
，，
點表示的數為：或1；
（3）解：當電子螞蟻所在位置位于點的左側時，
電子螞蟻所用的時間為，
當電子螞蟻所在位置位于點的右側時，
電子螞蟻所用的時間為，
即電子螞蟻所用的時間為8秒或12秒．
例2（23-24七年級上·江西贛州·期中）【數學活動】
學習了數軸和有理數的加減運算等相關知識后，學校七年級數學興趣小組利用數軸進行了以下探究：
[活動一 閱讀]
表示3與1差的絕對值，也可理解為3與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；可以看做，表示3與的差的絕對值，也可理解為3與兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．
[活動二 探索]
（1）數軸上表示5和的兩點之間的距離是______．
（2）①若，則______；
②若使x所表示的點到表示和2的點的距離之和為5，所有符合條件的整數x的和為______．
[活動三 折疊]
小明在草稿紙上畫了一條數軸進行操作探究：
（3）折疊紙面，若1表示的點和表示的點重合，則3表示的點與______表示的點重合．
（4）折疊紙面，若3表示的點和表示的點重合，則：
①表示的點和______表示的點重合；
②這時如果（A在B的左側）兩點之間的距離為，且兩點經折疊后重合，則點A表示的數是______，點B表示的數是______；
③若點A表示的數為a，點B表示的數為b，且兩點經折疊后重合，試求a與b之間的數量關系．
【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）①；②，；③
【分析】本題考查實數與數軸，熟練掌握數軸上點的特征，兩點間距離的求法，折疊的性質，利用中點公式解決折疊問題是解題的關鍵．
（1）根據數軸上兩點間距離的求法解題即可；
（2）①根據題意可得方程或，求出的值即可；
②根據絕對值的幾何意義可知時，，求出符合條件的整數即可；（3）利用中點公式求出折痕點，再求解即可；
（4）①利用中點公式求出折痕點，再求解即可；
②點表示的數是，則點表示的數是，根據中點公式求出，即可求解；
③根據①②結合中點公式可求．
【詳解】（1）表示5和的兩點之間的距離是．
（2）①若，
則或，
解得或．
②使x所表示的點到表示和2的點的距離之和為5，
，
與 2之間的距離為，
，
所有符合條件的整數x有，
，
所有符合條件的整數x的和為．
（3）1表示的點和表示的點重合，
折疊點對應的數是0，
3表示的點與表示的點重合．
（4）①3表示的點和表示的點重合，
折疊點對應的數是，
，
表示的點和表示的點重合．
②設點表示的數是，則點表示的數是，
則，
解得，
點表示的數是，點表示的數是．
③點A表示的數為a，點B表示的數為b，
且兩點經折疊后重合，
，
．
例3（24-25七年級上·山西太原·階段練習）已知在紙面上有一數軸，根據給出的數軸，解答下面的問題：
(1)已知、兩點相距個單位長度，請你根據圖中、兩點的位置，分別寫出它們所表示的有理數．
(2)在數軸上標出與點的距離為2的點（用不同于、的字母表示），并寫出這些點表示的數．
(3)折疊紙面，若數軸上對應的點與5對應的點重合，回答以下問題：
①10對應的點與_______對應的點重合；
②若數軸上、兩點之間的距離為（在的左側），且、兩點經折疊后重合，求、兩點表示的數．
(4)如圖，半徑為2的圓上有一點落在數軸上點處，求將圓在數軸上向右滾動（無滑動）一周后點在數軸上所表示的數．
【答案】(1)1，
(2)見解析，和3
(3)①；②點為，點為
(4)
【分析】本題主要考查數軸有關知識，熟練掌握數軸上兩點間的距離，中心對稱，點的平移規律左移減右移加是解題的關鍵．
（1）根據數軸上原點左側的數為負數，原點右側的數為正數可知表示1，表示為，即可求解；
（2）與點距離為2的點，即左右兩邊距離兩個單位長度的點，也就是數為和的點；
（3）①先求出和5的中點，再根據中心對稱列式計算即可得解；②根據中點的定義求出的一半，然后分別列式計算即可得解；
（4）先求出圓的周長，再根據平移規律即可得出結論．
【詳解】（1）解：根據題意，點表示的數為1，
則點表示的數為．
（2）解：數軸與點的距離為2的點分別為和，
即數軸中和為所求，
其中點表示3，點表示．
（3）解：①
故答案為：；
②、兩點之間的距離為2024
由①可知，對折點的數為2，且在的左側
點為，點為．
（4）解：圓的半徑
圓的周長
將圓在數軸上向右滾動（無滑動）一周后點所處的位置的點在數軸上所表示的數為．
模型9.數軸上的線段移動模型
【解題技巧】
數軸上的線段移動模型研究線段整體平移的動態變化規律，需結合代數表達與幾何關系分析線段長度、覆蓋范圍等核心問題。
線段沿數軸以固定速度單向或往返移動，需用代數式表示端點位置變化（如左移減速度，右移加速度）；動態過程中需關注線段覆蓋區域，及與其他線段的交互（如重疊）。部分模型中，線段長度或端點間的代數差保持恒定（如平移速度對稱時，兩動線段差為定值）。
例1（23-24七年級上·福建福州·期中）定義：數軸上A、B兩點的距離為a個單位記作，根據定義完成下列各題．
兩個長方形和的寬都是3個單位長度，長方形的長是6個單位長度，長方形的長是10個單位長度，其中點A、D、E、H在數軸上（如圖），點E在數軸上表示的數是5，且E、D兩點之間的距離為14，原點記為0．
(1)求數軸上點H、A所表示的數？
(2)若長方形以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動，數軸上有M、N兩點，其中點M在A、D兩點之間，且，其中點N在E、H兩點之間，且，設運動時間為x秒．
①經過x秒后，M點表示的數是 ，N點表示的數是 （用含x的式子表示，結果需化簡）．
②求（用含x的式子表示，結果需化簡）．
(3)若長方形以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動，長方形固定不動，設長方形運動的時間為秒，兩個長方形重疊部分的面積為S，當時，求此時t的值．
【答案】(1)點H在數軸上表示的數是15，點A在數軸上表示的數是
(2)①，；②當M點在N點的左側時，；當點M在N點的右側時，
(3)9秒或13秒
【分析】（1）根據，，，，推出， ，得到，得到在數軸上點H表示的數是15，點A表示的數是；
（2）①根據長方形以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動， ， ，得到x秒后，M點表示的數：， N點表示的數：；②當M點在N點的左側時，，當點M在N點的右側時，；
（3）根據兩個長方形的寬都是3個單位長度，重疊部分的面積為12，得到重疊部分的長為4個單位長度，當點D運動到E點右邊4個單位時，長方形運動的時間為9秒；當點A運動到H點左邊4個單位時，長方形運動的時間為13秒．
【詳解】（1）由題意得：，，，，
∴，∴，
∴，
∴點H在數軸上表示的數是15，點A在數軸上表示的數是；
（2）①∵，，
∴， ，
∵，，
∴，，
∵長方形以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動，
∴M點表示的數為：， N點表示的數為：；
故答案為：，；
②當M點在N點的左側時，，
當點M在N點的右側時，；
（3）∵兩個長方形的寬都是3個單位長度，重疊部分的面積為12，
∴重疊部分的長為4個單位長度，
當點D運動到E點右邊4個單位時，
；
當點A運動到H點左邊4個單位時，
，
綜上，長方形運動的時間為9秒或13秒時，兩個長方形重疊部分的面積為12．
【點睛】本題主要考查了數軸動點問題，熟練掌握數軸上的點表示的數，數軸上兩點間的距離，路程、速度和時間的關系，長方形面積公式等知識點，求數軸上兩點間的距離用右邊點對應的數減左邊對應的數；路程等于速度乘時間；熟記長方形的面積是長乘寬是解題的關鍵．
例2（23-24七年級上·天津南開·階段練習）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數軸上原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒個單位，大圓的運動速度為每秒個單位．
（1）若大圓沿數軸向左滾動1周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是_____（結果保留）；
（2）若大圓不動，小圓沿數軸來回滾動，規定小圓向右滾動時間記為正數，向左滾動時間記為負數，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第_____次滾動后，小圓離原點最遠；
②當小圓結束運動時，小圓運動的路程共有多少？（結果保留）
【答案】（1）；（2）①6，②
【分析】（1）該圓與數軸重合的點所表示的數，就是大圓的周長；
（2）①分別計算出第幾次滾動后，小圓離原點的距離，比較作答；②根據計算總路程即可．
【詳解】解：（1）若大圓沿數軸向左滾動一周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是．
（2）①第1次滾動后，，
第2次滾動后，，
第3次滾動后，，
第4次滾動后，，
第5次滾動后，，
第6次滾動后，，
則第6次滾動后，小圓離原點最遠．
②，
∴當小圓結束運動時，小圓運動的路共有．
【點睛】本題考查了數軸上的動點問題，明確向右移動坐標加的關系，向左移動坐標減的關系，是解題的關鍵．
例3（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，在數軸上有兩個長方形和，這兩個長方形的寬都是2個單位長度，長方形的長是4個單位長度，長方形的長是8個單位長度，點在數軸上表示的數是5，且兩點之間的距離為12．
（1）填空:點在數軸上表示的數是_________ ，點在數軸上表示的數是_________．
（2）若線段的中點為，線段EH上有一點，， 以每秒4個單位的速度向右勻速運動，以每秒3個單位的速度向左運動，設運動時間為秒，求當多少秒時，．
（3）若長方形以每秒2個單位的速度向右勻速運動，長方形固定不動，當兩個長方形重疊部分的面積為6時，求長方形運動的時間．
【答案】（1）13， 11；（2）x＝2或x＝；（3）當長方形ABCD運動的時間7.5秒或10.5秒時，重疊部分的面積為6．
【分析】（1）根據已知條件可先求出點H表示的數為13，然后再進一步求解即可；
（2）根據題意先得出點M表示的數為﹣9，點N表示的數為7，然后分當M、N在點O兩側或當N、M在點O同側兩種情況進一步分析討論即可；
（3）設長方形ABCD運動的時間為y秒，分重疊部分為長方形EFCD或重疊部分為長方形CDHG兩種情況進一步分析討論即可.
【詳解】（1）∵長方形的長是8個單位長度，點在數軸上表示的數是5，
∴點H表示的數為：，
∵兩點之間的距離為12，
∴點D表示的數為：，
∵長方形的長是4個單位長度，
∴點A表示的數為：，
故答案為：；
（2）由題意可知：點M表示的數為﹣9，點N表示的數為7；，經過x秒后，M點表示的數為﹣9+4x，N點表示的數為7﹣3x；
①當M、N在點O兩側時，點O為M、N的中點，
則有，
解得x＝2 ；
②當N、M在點O同側時，即點N、M相遇，
則有7﹣3x＝﹣9+4x
解得：x＝
綜上，當x＝2或x＝時，OM=ON ；
（3）設長方形ABCD運動的時間y為秒，
①當重疊部分為長方形EFCD時，
DE= 7+2y 5= 2y 12
∴ 2(2y 12) = 6，
解得：y = 7.5；
②當重疊部分為長方形CDHG時，
HD=4- ( 7+2y-13)= 24 2y，
∴ 2(24 2y) = 6，
解得：y =10.5；
綜上，當長方形ABCD運動的時間7.5秒或10.5秒時，重疊部分的面積為6.
【點睛】本題主要考查了數軸上的動點問題，熟練掌握相關方法是解題關鍵.
1．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，一動點從原點開始向左運動，每秒運動個單位長度，規定：每向左運動秒就向右運動秒．則動點運動到第秒時所對應的數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了數軸上的動點問題，根據移動的方向、速度和規律進行計算找出運動的規律即可求解．根據點運動的規律可知每運動秒，點就向左移動個單位長度，秒中共有個秒，所以第秒時點對應的數是．
【詳解】解：當動點從原點出發向左運動秒，到達的點表示的數為，
再向右運動秒到達的點表示的數為，
動點運動秒向左移動個單位長度，
，
動點向左運動了個秒，
動點運動到第秒時所對應的數是．
故選：A．
2．（24-25七年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖A、B兩點之間相距4個單位長度，B、C兩點之間相距6個單位長度，現有一動點P從點A開始沿數軸的正方向運動到達點C停止，點P到A、B、C三點的距離之和的最大值為m，最小值為n．則的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本題考查數軸上的數的運算．根據點在線段上和線段上以及的取值范圍分別判斷出的取值范圍，即可求得的最大值和最小值，計算即可．
【詳解】解：點在線段上，
，
；
點在線段上，
，
，
，
綜上：
∴最大值為，最小值為，
∴，
故選：B．
3．（23-24七年級上·重慶江津·階段練習）如圖，已知，在的左側是數軸上的兩點，點對應的數為，且，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左運動，在點的運動過程中，，始終為，的中點，設運動時間為秒，則下列結論中正確的有　　
①對應的數是；
②點到達點時，；
③時，；
④在點的運動過程中，線段的長度會發生變化．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了數軸上兩點距離．利用數軸，分類討論即可求解．
【詳解】解：已知，在的左側是數軸上的兩點，點對應的數為，且，
對應的數為：；故①是正確的；
，故②是正確的；
當時，，，故③是錯誤的；
在點的運動過程中，，故④是錯誤的；
故選：B．
4．（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知數軸上，點A表示的數是-2，點B在點A的右側8個單位長度處，動點M從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸運動，動點N從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸運動，已知點M，N同時出發，相向運動，運動時間為t秒．當時，運動時間t的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據題意，M表示的數為4t-2，N表示的數為6-3t，則MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式計算即可．
【詳解】根據題意，M表示的數為4t-2，N表示的數為6-3t，則MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，
∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t，
解得t=或，
故選C．
【點睛】本題考查了數軸上兩動點間的距離，用定數，運動距離表示動點表示的數是解題的關鍵．
5．（24-25七年級上·河南南陽·期中）已知，如圖所示，是數軸上的兩個點，點A所表示的數為，點B表示的數為7，動點P以每秒4個單位長度的速度從點B向左運動，同時，動點Q以每秒2個單位長度的速度從點A向右運動，則當點P運動到點A時，動點Q所表示的數為 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了數軸動點問題，求出AB的距離是解題的關鍵．
根據數軸上兩點間的距離的定義及數軸的定義得出距離，然后算出點P運動的時間，再根據點Q運動的速度求出運動的時間，根據數軸上點向右移動終點對應的數等于起點對應的數加上移動距離從而可得答案；
【詳解】解：∵點A所表示的數為，點B表示的數為7，
∴，
∵點P以每秒4個單位長度的速度從點B向左運動，
∴點P運動到點A需要（秒），
∵點Q以每秒2個單位長度的速度從點A向右運動，
∴點Q運動的距離為：，
∴點Q表示的數為：，
故答案為：1．
6．（23-24七年級上·福建泉州·階段練習）已知，A、在數軸上對應的數分別用、表示，且，是數軸上的一個動點．動點從原點開始第一次向右移動1個單位長度，第二次向左移動3個單位長度，第三次向右移動5個單位長度，第四次向左移動7個單位長度，．點在移動過程中，第 次移動與點A重合．
【答案】15
【分析】本題主要考查了數軸上兩點之間的距離，數軸上的動點問題．
求出每次移動后點P對應點所表示的數，從而得到這些數的規律，再結合點A、B表示的數即可解答．
【詳解】第一次移動P的對應點表示的數為，
第二次移動點P所得的對應點表示的數為，
第三次移動點P所得的對應點表示的數為，
第四次移動點P所得的對應點表示的數為，
第五次移動點P所得的對應點表示的數為，
第六次移動點P所得的對應點表示的數為，
第n次移動點P所得的對應點表示的數為，
觀察發現：當n為奇數時，點P對應的數為奇數n；
當n為偶數時，點P對應的數為偶數，
∵，，且，
∴，解得
∴點A表示的數是15，點B表示的數是，
∴當僅當時，點表示的數為15，第15次移動點P所得的對應點P與點A重合．
7．（24-25七年級上·福建廈門·期末）如圖，動點A，B，C分別從數軸－30，10，18的位置沿數軸正方向運動，速度分別為2個單位長度/秒，4個單位長度/秒，8個單位長度/秒，線段OA的中點為P，線段OB的中點為M，線段OC的中點為N，若為常數，則k為 ．
【答案】2
【分析】運動t秒后，點P在數軸上表示的數為-15+t，點M在數軸上表示的數是5+2t，點N在數軸上表示的數是9+4t，分別表示出PM=20+t，MN=2t+4，再代入，根據為常數，得到關于k的方程，解方程即可．
【詳解】解：根據題意得，點P在數軸上表示的數為-15+t，點M在數軸上表示的數是5+2t，點N在數軸上表示的數是9+4t，
則PM=20+t，MN=2t+4，
為常數，
故答案為：2．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用、數軸上點的位置關系，根據為常數列方程是解題關鍵．
8．（24-25六年級上·山東泰安·期中）如圖，在數軸上，點表示的數是20，點表示的數為60，點是數軸上的動點．點沿數軸的負方向運動，在運動過程中，當線段和的大小關系滿足時，求點表示的是哪個數．
【答案】35或
【分析】本題考查了數軸上的動點問題，數軸上兩點間的距離，根據題意可得該問題可分為兩種情況，即可得到等式，求解即可得到結果，根據數軸得到兩點間的距離是解題的關鍵．
【詳解】解：在點運動過程中，分兩種情況：
①當點運動到點右側時，
∵，
∴，
此時點表示的數是；
②當點運動到點左側時，
∵，
∴，
∴，
∴點表示的數是，
綜上所述，點表示的數是35或．
9．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）如圖，已知點，，是數軸上三點，為原點．點表示的數為3，點與點之間的距離為2，點與點之間的距離為6．
【問題提出】
（1）點表示的數是________，點表示的數是________；
【問題探究】
（2）動點，分別同時從點，處出發，分別以每秒8個單位長度和4個單位長度的速度沿數軸正方向運動，點在點和點之間，且點到點的距離與點到點的距離相等，點在點和點之間，且點到點之間的距離是點到點之間距離的4倍，當運動時間為時，用含的代數式表示點，對應的數；
【問題解決】
（3）在（2）的條件下，點到點之間的距離是否與的大小有關？若有關，用含的代數式表示點到點之間的距離；若無關，請求出點到點之間的距離．
【答案】（1），；（2）點對應的數為，點對應的數為；（3）點到點之間的距離與的大小無關，為定值8．
【分析】本題主要考查了數軸上的動點問題，兩點之間的距離，數軸上的點表示有理數等知識，解題的關鍵是掌握數軸上兩點之間的距離公式．
（1）由已知、結合數軸，根據數軸上兩點之間的距離即可求解；
（2）由題意可得、的長度，從而由點A、C對應的數即可求出點M、N對應的數；
（3）根據題意可得點Q對應的數，進而得到的長度，根據結果即可作出判斷；
【詳解】解：（1）由題意可得：
點B對應的數為：，
又∵，
∴點A對應的數為：，
故答案為：，1；
（2）由題意可得：，
又∵，，
∴，
∴點M對應的數為：，點N對應的數為：；
（3）的長度與t無關，理由如下：
∵，
∴點Q對應的數為：，
∴，
∴點M到點Q之間的距離與t的大小無關，為定值8．
10．（23-24七年級上·福建福州·期中）預備知識：在數學中，把點與點之間的距離用表示
如圖，在數軸上點表示數點表示數點表示數，已知數是最小的正整數，且滿足．

(1) ， ， ；
(2)點開始在數軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，運動秒鐘后，求三點在數軸上所表示的數（用含的式子表示），若在此過程中，的值保持不變，求的值．
(3)在此數軸有上一動點對應的數為，求的最小值．
【答案】(1)，1，7
(2)點A表示的數為，點B表示的數為；點C表示的數為，
(3)9
【分析】（1）根據數是最小的正整數，得出，根據絕對值和平方的非負性得出，即可得出a和c的值；
（2）根數兩點之間的距離表示方法，即可得出t秒后A、B、C三點表示的數，得出關于t的表達式，根據的值保持不變可知，的值與t無關，即可求出m的值．
（3）根據絕對值的幾何意義，可得表示點Q和的距離，表示點Q和7的距離，則當點Q在和7之間時，的值最小，即可求解．
【詳解】（1）解：∵數是最小的正整數，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：，1，7；
（2）解：根據題意可得：
∵，
∴t秒中后，點A表示的數為，點B表示的數為；點C表示的數為，
∴，，
∴，
∵的值保持不變，
∴的值與t無關，即，
解得：；
（3）解：∵，
∴表示點Q和的距離，
∵表示點Q和7的距離，
∴當點Q在和7之間時，的值最小，
此時．
【點睛】本題主要考查了絕對值和平方的非負性，絕對值的幾何意義，數軸上兩點之間距離的表示方法，解題的關鍵是掌握幾個非負數相加和為0，則這幾個非負數分別為0，以及數軸上兩點之間距離的表示方法．
11．（24-25六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，數軸上點、對應的數分別是、，并且．

(1)求、兩點之間距離．
(2)若兩動點、同時從原點出發，點以個單位長度/秒的速度沿數軸向左運動，點以個單位長度/秒的速度向右運動，問運動多少秒時點到點的距離是點到點距離的倍？
(3)點是數軸上、之間一點，、兩點同時從點出發，沿數軸分別向左、右運動，運動時間為秒時，、兩點恰好分別到達點、，又運動秒時，、兩點分別到達點、，接下來調轉方向保持原來速度不變相向而行，同時點從點出發沿數軸向右運動，當點運動秒時，點與點在點相遇，此時點和點的距離為個單位長度，點和點的距離為個單位長度，求點的速度．
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)點的速度為或
【分析】（1）根據平方數，絕對值的非負性可求出的值，再根據兩點之間的距離的計算方法即可求解；
（2）根據點，點的運動，設運動時間為秒，用含的式子表示點到點的距離，點到點距離，根據題意列式求解即可；
（3）根據點的運動關系可以求出點對應的數字，及的值，根據動點運動的規律分別求出點所對應的數字，并表示它們的距離，根據行程問題的數量關系的計算方法即可求解．
【詳解】（1）解：中，，，
∴，解得，；，解得，，
∴、兩點之間距離為．
（2）解：點以個單位長度/秒的速度沿數軸向左運動，點以個單位長度/秒的速度向右運動，設運動時間為秒，點對應的數是，點對應的數是，
∴點到點的距離為，點到點距離為，
∴①時，則，
∴，解得，；
②，且，即時，
∴，解得，
③，時，
∴，解得，；
綜上所述，點到點的距離是點到點距離的倍時，運動時間為秒或秒．
（3）解：點是數軸上、之間一點，、兩點同時從點出發，運動時間為秒時，、兩點恰好分別到達點、，設點對應的數是，
∴①點以個單位長度/秒的速度沿數軸向左運動，點以個單位長度/秒的速度向右運動，
∴，解得，，
∴點到點的距離為，點到點的距離為，
∵點從點到點的速度為個單位長度/秒，
∴，
∵、兩點恰好分別到達點、，又運動秒時，、兩點分別到達點、，
∴點對應的數字是，點對應的數字是，
此時，點從點向右運動，點從點向左運動，且點從點向右運動，
∴①當點運動秒時，點運動的路程為，則此時點對應的數字為，
∵此時點和點的距離為個單位長度，
∴，則或（不符合題意，舍去），
∴點與點的距離為，
∴點的速度為；
②當點運動秒時，點運動的路程為，則點對應的點的數字是，
∴點從點運動到的路程為，
∴點的速度為；
綜上所述，點的速度為或．
【點睛】本題主要考查數軸上動點與距離的綜合，掌握數軸上兩點之間的距離的表示，動點的運動與數字的對應關系，行程問題的數量關系是解題的關鍵．
12．（23-24七年級上·廣東韶關·期中）如圖，已知數軸上的點表示的數為6，是數軸上一點，且．動點從點出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．
(1)寫出點表示的數__________，點表示的數__________（用含的代數式表示）；
(2)動點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點、同時出發，點運動幾秒時追上點，并求出此時表示的數；
(3)若為的中點，為的中點．點在運動的過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，請求出線段的長．
【答案】(1)；
(2)
(3)運動時，長度不會發生變化，理由見解析
【分析】（1）根據點A的坐標減去點B的坐標等于的長度，可求得點B的坐標；同理根據點A的坐標減去點P的坐標等于運動距離，可求得點P的坐標．
（2）與（1）類似，先求出點R的坐標為，然后令與點P的坐標相等，可列出等式：，求解t值；然后將t值代入．
（3）分點P運動到AB之間與點P運動點B的左側，兩種情況分別討論．
【詳解】（1）解：∵點A表示的數為6，，，即
∴
∴點B表示的數是：
依題意有：
∴
即點P表示的數是
故答案為：
（2）解：根據題意可得：
解得：
即點運動5秒時追上點R
當時，
點表示的數為
（3）運動時，長度是恒定的
①當在A，之間，（如圖）
則
②當在左側時，（如圖）
∴運動時，長度是恒定的，為定值5
【點睛】本題考查數軸上動點問題，解題的關鍵是結合動點路程問題得到兩點距離或點的坐標，注意分類討論．
13．（24-25七年級上·安徽六安·期中）數軸上有不同兩點，，點表示的數為，點表示的數為．

(1)若點表示的數的相反數是，求點表示的數．
(2)若點與點之間的距離為6，且點在點的右側，求的值．
(3)在（1）的條件下，在數軸上有兩動點，，若動點從點出發向點運動，同時動點從點出發向點運動，經過2秒相遇；若動點從點出發向點運動，同時，動點從點出發與點同向運動，經過6秒相遇，求點與點的運動速度．
【答案】(1)1
(2)1
(3)；
【分析】（1）根據題意求出點表示的數，再求出的值，即可得到點表示的數；
（2）列出一元一次方程求解即可；
（3）設點的運動速度為單位長度/秒，點的運動速度為單位長度/秒，根據題意列出一元二次方程，求解即可．
【詳解】（1）解：∵點表示的數的相反數是，
∴點表示的數是8，
又∵點表示的數為，
∴，
解得：，
∴點表示的數為；
（2）解：∵點與點之間的距離為6，且點在點的右側，
根據題意得，，
解得：；
（3）解：在（1）的條件下，點與點之間的距離為7，
設點的運動速度為單位長度/秒，點的運動速度為單位長度/秒，
根據題意得：，
解得：，
∴點的運動速度為單位長度/秒，點的運動速度為單位長度/秒．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程和一元二次方程的應用，根據題意正確列出方程是解題的關鍵．
14．（23-24七年級上·福建福州·期中）在數軸上有，兩點，點表示的數為．對點給出如下定義：當時，將點向右移動3個單位長度，得到點；當時，將點向左移動個單位長度，得到點．稱點為點關于點的“聯動點”．如圖，點表示的數為．

(1)在圖中畫出當時，點關于點的“聯動點”；
(2)點從數軸上表示的位置出發，以每秒1個單位的速度向右運動．點從數軸上表示5的位置同時出發，以相同的速度向左運動，兩個點運動的時間為秒．
①點表示的數為__________（用含的式子表示）；
②是否存在，使得此時點關于點的“聯動點”佮好與原點重合？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①；②不存在，理由見解析
【分析】（1）求出表示的數，再畫圖即可；
（2）①根據已知可得運動后表示的數；②分兩種情況：當，表示的數是，當時，表示的數是，即可得到答案．
【詳解】（1）解：當時，將點向右移動3個單位長度，得到點；
表示的數是，如圖：

（2）①點表示的數為，
故答案為：；
②不存在恰好與原點重合，理由如下：
表示的數是，
當時，，
表示的數是，
此時不存在恰好與原點重合；
當時，表示的數是，
此時不存在恰好與原點重合，
綜上所述，不存在恰好與原點重合．
【點睛】本題考查數軸上的動點問題，解題的關鍵是用含的代數式表示點運動后所表示的數．
15．（24-25七年級上·山東青島·期中）問題一：
如圖1，數軸上的點A表示2，點B表示5，點C表示7，易得，我們記為．
(1)現將數軸的原點向左拖動1個單位長度，如圖2所示，此時還成立嗎？若不成立，怎樣移動點C就能使之成立？
(2)若將數軸的原點向左拖動x個單位長度，為了使成立，應該怎樣移動點C？
(3)若點A表示m，點B表示n，點C表示t，如果，那么仍然有．現將數軸的原點向左拖動x個單位長度，
①為了使成立，應該怎樣移動點C？
②為了使成立，應該怎樣移動點B？
問題二：
如圖3，數軸上的點A表示，點B表示1，點C表示5，易得，我們記為．
(4)現將數軸的原點向左拖動x個單位長度，還成立嗎？請說明理由．
(5)若點A表示m，點B表示n，點C表示t，當m，n，t滿足什么關系時，都能使成立？
【答案】(1)不成立，把點C向右移動一個單位長度時，成立
(2)把點C向右移動x個單位長度
(3)①將點C向右移動x個單位長度，②點B應該向左移動x個單位長度
(4)成立，見解析
(5)
【分析】（1）根據將數軸的原點向左拖動1個單位長度則點A表示3，點B表示6，點C表示8即可解答；
（2）根據（1）中各數值的變化即可得出結論；
（3）①根據原點向左移動就是數軸向左移動解答；
②根據（2）中的結論即可解答．
（4）當數軸的原點向左拖動x個單位長度時，則點A表示，點B表示，點C表示，再代入檢驗即可；
（5）由（4）可知，當時，都能使成立．即可得出結論．
【詳解】（1）不成立．
∵將數軸的原點向左拖動1個單位長度則點A表示3，點B表示6，點C表示8，
∴不成立．
把點C向右移動一個單位長度時，成立；
（2）由（1）可知，將數軸的原點向左拖動x個單位長度，為了使成立，應該把點C向右移動x個單位長度；
（3）①∵點A表示m，點B表示n，點C表示t，．
∴將數軸的原點向左拖動x個單位長度時，，，
∴，
∴若成立，則將點C向右移動x個單位長度；
②∵點A表示m，點B表示n，點C表示t，．
∴將數軸的原點向左拖動x個單位長度時，，，，
當時：
，
即：點B應該向左移動x個單位長度時，成立．
（4）成立．
∵數軸上的點A表示，點B表示1，點C表示5，
∴將數軸的原點向左拖動x個單位長度時，點A表示，點B表示，點C表示，
∴，與，
∴成立；
（5）由（4）可知，點A表示m，點B表示n，點C表示t，當時，都能使成立．
【點睛】本題考查的是數軸上點的平移，熟練掌握點在數軸上的平移規律：左減右加，是解答此題的關鍵．注意原點移動時，等同于數軸上的點相對于原點往相反的方向移動．
16．（24-25七年級上·安徽滁州·階段練習）在數軸上，若點、點表示的數分別是、，則、兩點間的距離可以表示為，例如，在數軸上，表示數和數的兩點間的距離是，表示數和數的兩點間的距離是，利用上述結論，解決問題：
(1)若，則=_____；
(2)若有一個半徑為的圓上有一點，與數軸上表示的點重合，將圓沿數軸無滑動的滾動周，點到達點的位置，則點表示的數為______用含有的代數式表示；
(3)，為數軸上的兩個動點，點表示的數為，點表示的數為，且，點C表示的數為，若點、、、三點中的某一點到另外兩點的距離相等，求、的值．
【答案】(1)10或-4；
(2)或；
(3)，或，或，．
【分析】（1）根據距離公式進行求解即可；
（2）分向左和向右兩種情況進行討論，根據左減右加進行求解即可；
（3）分、、分別為線段的中點進行分類討論進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴在數軸上，表示數的點與數的點之間的距離為，
或，
解得或．
故答案為：或；
（2）解：∵圓的半徑為，
此圓的周長，
當圓向左滾動時點表示的數是；
當圓向右滾動時點表示的數是．
故答案為：或；
（3）解：∵，
∴在數軸上，點與點之間的距離為，且點在點的右側．
①當點為線段的中點時，
．
點表示的數為，
，．
②當點為線段的中點時，
．
點表示的數為，
，．
③當點為線段的中點時，
．
點表示的數為，
，．
綜上所述，，或，或，．
【點睛】本題考查數軸上兩點間的距離問題．熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關鍵．
17．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，點A、B在數軸上對應的數分別是a、b；
(1)求a、b的值，并在數軸上標出點A和點B；
(2)若動點P從點A出發沿數軸正方向運動，點P的速度是每秒1個單位長度，求幾秒后點P與點B的距離是3個單位長度；
(3)在（2）的條件下，動點Q以每秒2個單位長度的速度，從點B出發向數軸負方向運動，求幾秒后點P與點Q的距離等于3個單位長度．
【答案】(1)，，圖見解析
(2)3秒或9秒
(3)1秒或3秒
【分析】（1）根據非負數相加和為0，則這幾個非負數分別為0即可求出a和b的值，再在數軸上表示出來即可；
（2）先求出距離點B三個單位長度的點所表示的數，再求出時間即可；
（3）根據題意，分別討論在相遇前距離為3個單位長度和相遇后距離為3個單位長度的情況．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∴，；
在數軸上表示如下：
（2）∵，，
∴，
根據題意，當點P在點B左側3個單位長度時，，
（秒）
當點P在點B右側3個單位長度時，AP=9
（秒）
∴3秒或9秒后點P與點B的距離是3個單位長度
（3）①當點P與點Q相遇前時，
∵點P與點Q的距離等于3個單位長度
∴（秒）
②當點P與點Q相遇后時，
∵點P與點Q的距離等于3個單位長度
∴（秒）
綜上所述，1秒或3秒后，點P與點Q的距離等于3個單位長度．
【點睛】本題主要考查了用數軸上的點表示數，兩點之間的距離以及追擊問題，熟練掌握相關知識根據題意進行分類討論是解題的關鍵．
18．（24-25七年級上·河南安陽·期中）知識準備：數軸上A、B兩點對應的數分別為a、b，則A、B兩點之間的距離就是線段的長，且，AB的中點C對應的數為：．問題探究：在數軸上，已知點A所對應的數是，點B對應的數是10．
(1)求線段的長為 ___________；線段的中點對應的數是 ___________．
(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離是 ___________；若該距離是8，則x=___________．
(3)若動點P從點A出發以每秒6個單位長度的速度向右運動，同時動點Q從點B出發以每秒2個單位長度的速度向左運動．經過多少秒，P、Q兩點相距6個單位長度？
【答案】(1)14 3
(2) 3或
(3)1秒或2.5秒
【分析】（1）直接代入題目中的公式即可求解；
（2）代入公式，解絕對值方程求解；
（3）分別用時間t表示P、Q點的數值，繼而表示線段的長，解關于時間t的方程求解．
【詳解】（1），
AB的中點C對應的數為：．
故答案為14，3
（2）
若
則
∴
答案為故 或
（3）設運動時間為t秒，則點P運動后所對應的點為，點Q運動后所對應的點為，
∴之間的距離為，
當P、Q兩點相距6個單位長度時，，解得或，
∴經過1秒或2.5秒時，P、Q兩點相距6個單位長度．
【點睛】本題考查數軸上的動點問題，解題時表示動點的數值是解題的關鍵．
19．（24-25七年級上·福建漳州·期中）已知在數軸上，一動點從原點出發，沿著數軸以每秒個單位長度的速度來回移動，第次移動是向右移動個單位長度，第次移動是向左移動個單位長度，第次移動是向右移動個單位長度，第次移動是向左移動個單位長度，第次移動是向右移動個單位長度，…….
(1)求出秒鐘后動點所在的位置；
(2)第次移動后，點在表示數______的位置上，運動時間為______；
(3)第次移動后，點運動時間為______，當為奇數時，點在表示數______的位置上；當為偶數時，點在表示數______的位置上；
(4)如果在數軸上有一個定點，且與原點相距個單位長度，問：動點從原點出發，可能與重合，若能，則第一次與點重合需要多長時間？若不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)，，
(4)1140秒或1164秒
【分析】（1）先根據路程=速度×時間求出2.5秒鐘走過的路程，然后根據左減右加列式計算即可得解；
（2）根據左減右加列式計算即可得解，根據路程=速度×時間求出路程，進而求得時間；
（3）根據（1）（2）的規律，表示出運動的路程，進而分奇數與偶數分類討論，即可求解；
（4）分點A在原點左邊與右邊兩種情況分別求出動點走過的路程，然后根據時間=路程÷速度計算即可得解．
【詳解】（1）解：，
點走過的路程是，
處于：；
（2）解：Q處于：；
∴點Q走過的路程是
秒，
故答案為：，．
（3）解：第次移動后，點運動時間為，
設，當為奇數時，
∴點在表示數為的位置上；
當為偶數時，點在表示數的位置
故答案為：，，．
（4）解：①當點A在原點右邊時，設需要第n次到達點A，則
，
解得，
動點走過的路程是
，
時間秒；
②當點原點左邊時，設需要第次到達點，則，
解得，
動點走過的路程是
，
時間秒．
【點睛】本題考查了數軸的知識，弄清題中的移動規律是解本題的關鍵．分情況討論求解，弄清楚跳到點處的次數的計算方法是關鍵．
20．（24-25七年級上·江蘇泰州·階段練習）已知A，B兩點在數軸上分別表示有理數a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A，B兩點之間的距離．已知數軸上A，B兩點對應的數分別為－1，3，P為數軸上一動點．
(1)若點P到A，B兩點之間的距離相等，則點P對應的數為______．
(2)若點P到A，B兩點的距離之和為6，則點P對應的數為______．
(3)現在點A以2個單位長度/秒的速度運動，同時點B以0.5個單位長度/秒的速度運動，A和B的運動方向不限，當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，求點B所對應的數是多少？
【答案】(1)1；
(2)4或；
(3)點表示的數為或或或．
【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離計算方法進行計算即可得出答案；
（2）設點對應的數為，根據題意可得；分類討論，當時，②當時，③當時，計算即可得出答案；
（3）設經過秒，分情況討論①當點點相向而行時，經過秒，點表示的數為，點表示的數為，即可得出，②當點點同向向右運動時，經過秒，點表示的數為，點表示的數為，則，③當點點同向向左運動時，求出的值，即可算出點對應的數．
【詳解】（1）解：根據題意可得，
，
因為點到，兩點之間的距離相等，所以點到點和點3的距離為2，
則點對應的數為：1；
故答案為：1；
（2）解：設點對應的數為，
則；
①當時，最大值為4，不滿足題意；
②當時，解得：；
③當時，解得：，
點對應的數為4或；
故答案為：4或；
（3）解：設經過秒，
①當點點相向而行時，
經過秒，點表示的數為，點表示的數為，
則，
解得或，
點對應的數為或；
②當點點同向向右運動時，
經過秒，點表示的數為，點表示的數為，
則，
解得：或，
點表示的數為或；
③當點點同向向左運動時，
因為，點的運動速度大于點的運動速度，
不能滿足題意．
綜上：點表示的數為或或或．
【點睛】本題主要考查了數軸上兩點間的距離，解題的關鍵是熟練掌握數軸上兩點間距離的計算方法進行求解．
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培優專題 數軸中的九類動點模型
數軸中的動態模型（如動點問題）的歷史發展，本質上是數軸工具與運動數學思想結合的產物，其演變可分為三個階段：工具創造 （17世紀）→動態啟蒙 （19-20世紀）→教學定型 （21世紀）。數軸動態模型是 笛卡爾幾何工具 與 運動數學思想 在教育場景中的實踐結晶，其發展映射了數學從抽象理論向應用建模的轉化過程。
（2024·安徽合肥·一模）如圖，一個點從數軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看出，終點表示數﹣2，已知點A是數軸上的點，請參照圖示，完成下列問題：
(1)如果點A表示數﹣3，將點A向右移動7個單位長度，那么終點表示的數是______；
(2)如果點A表示數3，將點A向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數是______；
(3)如果點A表示數a，將點A向左移動m（m＞0）個單位長度，再向右移動n（n＞0）個單位長度，那么終點表示數是多少（用含a、m、n的式子表示）？
（2024·浙江臺州·一模）操作與推理：我們知道，任何一個有理數都可以用數軸上一個點來表示，根據下列題意解決問題：
（1）已知x=2，請畫出數軸表示出x的點：
（2）在數軸上，我們把表示數2的點定為基準點，記作點O，對于兩個不同的點A和B，若點A、 B到點O的距離相等，則稱點A與點B互為基準等距變換點．例如圖2，點A表示數-1，點B表示數5，它們與基準點O的距離都是3個單位長度，我們稱點A與點B互為基準等距變換點．
①記已知點M表示數m，點N表示數n，點M與點N互為基準等距變換點．I．若m=3，則n= ；II．用含m的代數式表示n= ；
②對點M進行如下操作：先把點M表示的數乘以23，再把所得數表示的點沿著數軸向右移動2個單位長度得到點N，若點M與點N互為基準等距變換點，求點M表示的數；
③點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度，對Q點做如下操作： Q1為Q的基準等距變換點，將數軸沿原點對折后Q1的落點為Q2這樣為一次變換： Q3為Q2的基準等距變換點，將數軸沿原點對折后Q3的落點為Q4這樣為二次變換： Q5為Q4的基準等距變換點．．．．．．，依此順序不斷地重復變換，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P與Qn．兩點間的距離是4，直接寫出n的值．

（2024·湖南株洲·二模）【閱讀材料】我們知道“在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大”，利用此規律，我們可以求數軸上兩個點之間的距離，具體方法是：用右邊的數減去左邊的數的差就是表示這兩個數的兩點之間的距離．若點表示的數是，點表示的數是，點在點的右邊（即），則點，之間的距離為（即）．例如：若點表示的數是，點表示的數是，則線段．
【理解應用】（1）已知在數軸上，點表示的數是，點表示的數是，求線段的長；
【拓展應用】如圖所示，點 在數軸上對應的數分別為 ，其中是最大的負整數， 滿足，且．（2） ； ； ； ．
（3）若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒個單位長度的速度向左運動，設運動的時間為秒，當 兩點之間的距離為個單位長度時，求運動時間的值；
①若A、B兩點在數軸上對應的數字是 a、b，則AB兩點間的距離；AB中點對應的數字是：。
②數軸動點問題主要步驟：
1）畫圖——在數軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；
2）寫點——寫出所有點表示的數：常用含t的代數式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用“-”表示；
3）表示距離——右—左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；
4）列式求解——根據條件列方程或代數式，求值。
注意：要注意動點是否會來回往返運動，速度是否改變等。
③分類討論的思想：
（1）數軸是數形結合的產物，分析數軸上點的運動要結合圖形進行分析，注意多種情況的分類討論。
（2）對于兩個動點P、Q，若點P、Q的左右位置關系不明確或有多種情況，可用p、q兩數差的絕對值表示PQ 兩點距離，從而避免復雜分類討論。
模型1.動態規律（左右跳躍）模型
【解題技巧】 運動規律性 ：動點按“左右交替”方向移動，步長呈現遞增或周期性變化。
代數表達 ：動點位置需用含時間變量t的代數式表示。
例如，第n次移動后的位置可表示為：xn=xn 1±kn，其中k為步長基數，符號由移動方向決定。
分類討論 ：根據移動次數、方向變化和步長規律進行分段分析，尤其注意動點是否跨越原點或特定臨界點。
常見模型（1）：“1左1右”的等差數列式跳躍，兩個一組根據規律計算即可；
常見模型（2）：“2左2右”的等差數列式跳躍，四個一組根據規律計算即可。
例1（24-25七年級上·河南信陽·期末）在數軸上，一只螞蟻從原點出發，它第一次向右爬行了1個單位長度，第二次接著向左爬行了2個單位長度，第三次接著向右爬行了3個單位長度，第四次接著向左爬行了4個單位長度，如此進行了2021次，螞蟻最后在數軸上對應的數是（ ）
A．1011 B． C．505 D．
例2（23-24七年級上·浙江杭州·期末）電子跳蚤落在數軸上的某點，第一步從向左跳1個單位到，第二步由向右跳2個單位到，第三步由向左跳3個單位到，第四步由向右跳4個單位到，…，按以上規律跳了140步時，電子跳蚤落在數軸上的點所表示的數恰是2019．則電子跳蚤的初始位置點所表示的數是 ．
例3（2024·河北石家莊·二模）如圖，在數軸原點O的右側，一質點P從距原點10個單位的點A處向原點方向跳動，第一次跳動到OA的中點A1處，則點A1表示的數為 ；第二次從A1點跳動到OA1的中點A2處，第三次從A2點跳動到OA2的中點A3處，如此跳動下去，則第四次跳動后，該質點到原點O的距離為 ．
模型2.動態中點與n等分點模型
【解題技巧】
1）動態中點模型：動態中點指兩動點在數軸上運動時，其中點位置隨動點運動而變化。設動點A和B在時間t的位置分別為xA（t）和xB（t），則動態中點M（t）的坐標：。
該公式適用于任意時刻動態中點計算。
2）動態n等分模型：將線段AB分為n等份時，第k個等分點的坐標為：。
若A和B為動點，則等分點位置隨時間變化，需建立動態表達式。
例1（23-24七年級上·江西上饒·期中）數軸上的三個點，若其中一個點與其它兩個點的距離相等，則稱該點是其它兩個點的“中點”，這三點滿足“中點關系”．已知，如圖點，表示的數分別為，，點為數軸上一動點．若，，三點滿足“中點關系”時，則點表示的數為 ．
例2（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習）點從原點向距離原點左側1個單位的點處跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從點跳動到的中點處，第三次從點跳動到的中點處，如此不斷跳動下去，則第4次跳動后，P點（即表示的數）為 ．

例3（23-24七年級上·吉林·期末）【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形完美地結合．研究數軸我們發現了許多重要的規律：若數軸上點，點表示的數分別為，則兩點之間的距離，線段的中點表示的數為．
【問題情境】數軸上點表示的數為，點表示的數為6，點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向終點勻速運動，同時點從點出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，到達點后，再立即以同樣的速度返回點，當點到達終點后，兩點都停止運動，設運動時間為秒．
【綜合運用】
(1)填空：兩點間的距離________，線段的中點表示的數為________；
(2)當為何值時，兩點間距離為3；
(3)若點為的中點，點為的中點，當點到達點之前，在運動過程中，探索線段和的數量關系，并說明理由．
模型3.單（多）動點勻速模型
【解題技巧】
模型（1）:動點P從點A（點A在數軸上對應的數是a）出發，以每秒v個單位的速度向右移動，t秒后，到達B點，B點對應的數是：a+vt。
模型（2）:動點P從點A（點A在數軸上對應的數是a）出發，以每秒v個單位的速度向左移動，t秒后，到達C點，C點對應的數是：a-vt。
例1（24-25七年級上·河南南陽·期末）同學們通過學習知道了點A，B在數軸上分別表示有理數a，b，則A，B兩點之間的距離表示為．請回答：
(1)如圖，數軸上表示和5的兩點之間的距離是___________，數軸上表示和的兩點之間的距離是___________；
(2)若數軸上A，B兩點表示的數分別為x和，
①A，B兩點之間的距離可表示為___________；
②如果，求x的值；
(3)若數軸上A，B兩點表示的數分別為和6，點P是線段上的一個動點，且點P表示的數為x，請直接寫出的值．
例2（24-25七年級上·陜西咸陽·期中）如圖，點、在數軸上表示的數分別是，1，點在點的右側，且、兩點間的距離為4．
(1)點表示的數為______；
(2)動點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時動點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，設運動的時間為t秒．
①當為何值時，、兩點相遇？
②當點表示的數為2時，求、兩點間的距離．
例3（24-25七年級上·廣東佛山·階段練習）已知點M、N在數軸上分別表示有理數m、n，M、N兩點之間的距離表示為，則在數軸上M、N兩點之間的距離，如圖1，A、B兩點在數軸上對應的數分別為和6．
(1)直接寫出A、B兩點之間的距離______；
(2)若在數軸上存在一點C，使得C到B的距離是到A的距離的2倍，求點C表示的數；
(3)如圖2，現有動點P、Q，若點P從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸在之間進行往返運動，點P出發的同時點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸一直向左運動，求當時，時間t的取值．
模型4.單（多）動點變速模型
【解題技巧】
單個動點在數軸上運動時，速度隨時間或位置發生改變，需分段描述其運動軌跡。
例如：動點先以速度v1運動t1秒，再以速度v2反向運動t2秒。
其 位置表達式 ：分段表示為x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1) v2(t t1)（t1上式中為x0初始位置，x(t)為t時刻的位置。
多個動點以不同速度或方向變化協同運動，需分別建模后尋找關聯條件（如相遇、距離等）。
動態關系式 ：分別表示各動點位置，再通過相遇條件xP(t)=xQ(t)或距離公式∣xP(t) xQ(t)∣=L列方程。
上式中xP(t)為動點P在t時刻的位置；xQ(t)為動點Q在t時刻的位置。
數軸上的單（多）動點變速模型用于描述動點在運動中速度發生變化的場景，需結合分段分析（按時間或位置劃分運動階段，確保每個階段內速度恒定）和動態方程構建解決問題，最后注意檢查解是否在對應時間段內，排除超時或重復解。
例1（23-24七年級上·山東濟寧·期中）已知，如圖，、、分別為數軸上的三個點，點對應的數為60，點在點的左側，并且與點的距離為30，點在點左側，點到距離是點到點距離的4倍．
（1）求出數軸上點對應的數及的距離．
（2）點從點出發，以3單位/秒的速度項終點運動，運動時間為秒．
①點點在之間運動時，則_______．（用含的代數式表示）
②點在點向點運動過程中，何時、、三點中其中一個點是另外兩個點的中點？求出相應的時間．
③當點運動到點時，另一點以5單位/秒速度從點出發，也向點運動，點到達點后立即原速返回到點，那么點在往返過程中與點相遇幾次？直接寫出相遇是點在數軸上對應的數．
例2（24-25七年級上·四川成都·期末）如圖，在數軸上，點O表示原點，點A、B、C在數軸上對應的數分別是a、b、c，點B為中點，且a，c滿．
(1) ______， ______， ______；
(2)點P從點A出發，以2個單位每秒的速度沿數軸向右勻速運動，點Q從點C出發，以1個單位每秒的速度沿數軸向左勻速運動，兩點同時出發，當點P運動到點C時，點P，Q停止運動．設運動時間為t秒，當時，求t的值；
(3)若動點M從點A出發．以每秒4個單位長度的速度沿數軸的正方向勻速運動至點B，再以每秒1個單位長度的速度沿數軸的正方向勻速運動；同時，動點N從點C出發以每秒2個單位長度沿著數軸的負方向勻速運動至點O，到達O點后點N按原速度立即返回點C，當點N運動到點C時，點M，N停止運動，設運動時間為k秒，當，求k的值．
例3（24-25七年級上·全國·假期作業）七年級數學興趣小組成員自主開展數學微項目研究，他們決定研究“折線數軸”．
探索“折線數軸”：素材1 如圖，將一條數軸在原點，點，點處折一下，得到一條“折線數軸”．圖中點表示，點表示，點表示，點D表示，我們稱點與點在數軸上的“友好距離”為個單位長度，并表示為．
素材2 動點從點出發，以個單位長度/秒的初始速度沿著“折線數軸”向其正方向運動．當運動到點與點B之間時速度變為初始速度的一半．當運動到點與點之間時速度變為初始速度的兩倍．經過點后立刻恢復初始速度．
問題解決：探索1 ：動點從點運動至點B需要多少時間？
探索2 ： 動點從點出發，運動秒至點和點之間時，求點表示的數（用含的代數式表示）；
探索3 ：動點從點出發，運動至點D的過程中某個時刻滿足時，求動點運動的時間．
模型5.動點往返運動模型
【解題技巧】
數軸上動點往返運動的位置計算需結合 方向變化、分段累加 和 代數建模。
注意事項：
1） 時間范圍驗證 ：解方程后需檢查時間是否在對應運動階段內。
2） 多解可能性 ：往返可能導致動點多次經過同一位置，需列絕對值方程并分情況討論。
3）通過以上方法，可系統計算數軸動點往返后的位置，需重點關注 方向符號處理 和 分段累加規則。
例1（24-25七年級上·陜西銅川·期末）如圖，已知數軸上兩點、表示的數分別為、12，用表示點和點之間的距離．

(1)______；
(2)若在數軸上存在一點，使，求點表示的數；
(3)在（2）的條件下，點位于，兩點之間.點以每秒1個單位長度的速度沿著數軸的正方向運動；4秒后點以每秒2個單位長度的速度也沿著數軸的正方向運動，到達點處立刻返回沿著數軸的負方向運動，直到點到達點，兩個點同時停止運動，設點運動的時間為，則當為何值時，？
例2（24-25七年級上·廣東惠州·階段練習）如圖，在數軸上點表示的有理數為，點表示的有理數為，點從點出發以每秒個單位長度的速度在數軸上由向運動，當點到達點后立即返回，仍然以每秒個單位長度的速度運動至點停止運動，設運動時間為（單位：秒）．

(1)當時，點表示的有理數為______，當點與點重合時，的值為________；
(2)在點沿數軸由點到點再回到點的運動過程中，求點與點的距離．（用含的代數式表示）
例3（24-25七年級上·吉林·期中）已知：如圖，點A、點B為數軸上兩點，點A表示的數為a，點B表示的數為b，a與b滿足．動點P從點A出發，以2個單位長度/秒的速度沿數軸向右運動，若在點B處放一擋板（擋板厚度忽略不計），點P在碰到擋板后立即返回，以3個單位長度/秒的速度在數軸上向左運動，到點A停止，設點P運動的時間為t（秒）（t＞0）．
(1)直接寫出a、b的值，______，______；
(2)點P碰到擋板時，t的值為______；
(3)當時，點P表示的有理數為______；當時，點P表示的有理數為______；
(4)試探究：點P到擋板的距離與它到原點的距離可能相等嗎？若能，直接寫出相等時t的值；若不能，請說明理由．
模型6.動態定值（無參型）模型
【解題技巧】
數軸上的動態定值（無參型）模型描述動點運動過程中某些量（如線段長度、距離差等）保持不變的場景，需通過代數表達和幾何關系分析定值的存在性及數值。題目中不引入額外參數（如速度、時間變量），直接通過動點初始位置、運動規則或幾何關系推導定值。
1）解題策略與步驟：
步驟1 ：用代數式表示動點位置，例如動點A從x0 出發，以速度v移動，則t秒后位置為x0+vt。
步驟2 ：根據題目條件（如中點、等分點）建立相關量的表達式（如線段長度、差值的絕對值）。
步驟3 ：化簡表達式，觀察是否消去變量項，驗證是否為定值。
2）常見定值類型：
線段長度定值 ：兩動點或動點與定點間的距離保持恒定。
代數式定值 ：如∣xA xB∣±kxC的值為固定常數。
位置關系定值 ：如動點始終為中點或特定分點，導致相關表達式不變。
例1（24-25七年級上·浙江金華·階段練習）如圖，已知數軸上有A，B，C三點，它們表示的數分別是，，4． 點A到點C的距離可以用表示，且．
(1)應用： ， ；
(2)拓展：若點A沿數軸向右以每秒3個單位長度的速度運動，則t秒時點A表示的數是 ，此時， （用含t的式子表示）；
(3)探究：若點C以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時，點A和點B分別以每秒3個單位長度和8個單位長度的速度向左運動，則的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求出的值．
例2（24-25七年級上·湖北省直轄縣級單位·期末）已知，數軸上點A在原點左邊，到原點的距離為8個單位長度，點B在原點的右邊，從點A走到點B，要經過32個單位長度．
(1)求A，B兩點所對應的數；
(2)若點C也是數軸上的點，點C到點B的距離是點C到原點的距離的3倍，求點C對應的數；
(3)已知，點M從點A向右出發，速度為每秒1個單位長度，同時點N從點B向右出發，速度為每秒2個單位長度，設線段的中點為P，線段的值是否變化？若不變，請求其值；若變化，請說明理由．
例3（23-24七年級上·四川攀枝花·期中）在數軸上有三點A，B，C分別表示數a，b，c，其中b是最小的正整數，且|a+2|與（c﹣7）2互為相反數．
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若將數軸折疊，使點A與點C重合，則點B與表示數　 　的點重合；
（3）點A，B，C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點B和點C分別以每秒2個單位長度的速度和4個單位長度的速度向右運動，若點A與點B的距離表示為AB，點A與點C的距離表示為AC，點B與點C的距離表示為BC，則t秒鐘后，AB＝　 　，AC＝　 　，BC＝　 　；（用含t的式子表示）
（4）請問：3BC﹣2AB的值是否隨時間t的變化而變化？若變化，請說明理由；若不變，請直接寫出其值．
模型7.動態定值（含參型）模型
【解題技巧】
數軸上動態定值（含參型）模型需分析含參數（如速度、距離比例等）的動點運動過程中某些量的恒定性，通過代數建模和參數消去法驗證定值存在性及數值。
線段和差定值 ：如PA+PB或∣PA PB∣恒為常數，需結合參數化簡表達式。
代數式定值 ：如kxA+mxB的值與時間無關，需分離含時項并令其系數為零。
速度參數 ：多個動點以不同速度運動，需聯立方程消去時間變量，驗證定值。
比例參數 ：如線段比例或代數式含系數m（如mAB 2BC），需通過參數約束條件確定定值。
通過參數化建模、代數式分離與含時項消去，可系統解決含參型動態定值問題，需特別注意參數解的適用范圍及多解可能性。
例1（24-25七年級上·湖南岳陽·期末）材料閱讀：當點C在線段上，且時，我們稱n為點C在線段上的點值，記作．如點C是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．

初步感知：
(1)如圖1，點C在線段上，若，則_______；若，則_______；
(2)如圖2，已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發，相向而行，運動速度均為，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為．請用含有t的式子表示和，并判斷它們的數量關系．
拓展運用：
(3)已知線段，點P、Q分別從點A和點B同時出發，相向而行，若點P、Q的運動速度分別為和，點Q到達點A后立即以原速返回，點P到達點B時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為ts．則當t為何值時，等式成立．
例2（23-24七年級上·福建廈門·階段練習）我們規定：對于數軸上不同的三個點，，，當點在點左側時，若點到點的距離恰好為點到點的距離的倍，且為正整數，（即），則稱點是“整關聯點”．
如圖，已知在數軸上，原點為，點，點表示的數分別為，．

(1)原點________（填“是”或“不是”）“整關聯點”；
(2)若點是“整關聯點”，則點所表示的數_______；
(3)點在，之間運動，且不與，兩點重合，作“整關聯點”，記為，作“整關聯點”，記為，且滿足，分別在線段和上．當點運動時，若存在整數，，使得式子為定值，直接寫出，滿足的數量關系________．
例3（23-24七年級上·福建泉州·期末）已知數軸上A，B，C三點所對應的數分別是a，b，c．且a，b，c滿足：，為正整數．
(1)判定點A，B在數軸上所對應的數的關系，并說明理由．
(2)設點C以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左移動秒．
①當時，試說明，并寫出推理過程；
②在①的前提下，若點繼續沿數軸向左運動，在運動過程中，是否存在有理數，使得的值與無關？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
模型8.數軸折疊（翻折）模型
【解題技巧】
數軸折疊模型通過幾何對稱性分析折疊前后點的對應關系，解決折痕位置、對稱點等問題。
1）若折疊后點a與點b重合，則折痕對應的點m為兩點的中點，滿足：或b=2m a
2）折疊后，對稱點到折痕的距離相等，折痕位置可通過線段比例或代數方程求解。
3）若折疊后動點繼續運動，需分段分析折疊前后的位置變化及運動軌跡。
例1（24-25七年級上·廣東肇慶·期中）綜合與實踐
【主題】折紙．
【素材】已知在紙面上有一數軸（如圖所示），折疊紙面．
【實踐操作】
操作1：在紙面上有如圖所示的一數軸，折疊紙面，若數軸上數1表示的點與數表示的點重合，則數軸上數表示的點與數2表示的點重合．
操作2：現打開紙面后，再次折疊．使數軸上數表示的點與數0表示的點重合．數軸上兩點折疊后重合，兩點折疊后重合．
【實踐探索】
(1)在操作2中，數軸上數3表示的點與數_____表示的點重合；
(2)若點到原點的距離是5個單位長度，求點表示的數；
(3)若數軸上兩點之間的距離為20且點表示的數比點表示的數大，現有一只電子螞蟻從點出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度向射線的方向運動，求當電子螞蟻所在位置到點的距離為4時，電子螞蟻所用的時間為多少秒？
例2（23-24七年級上·江西贛州·期中）【數學活動】
學習了數軸和有理數的加減運算等相關知識后，學校七年級數學興趣小組利用數軸進行了以下探究：
[活動一 閱讀]
表示3與1差的絕對值，也可理解為3與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；可以看做，表示3與的差的絕對值，也可理解為3與兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．
[活動二 探索]
（1）數軸上表示5和的兩點之間的距離是______．
（2）①若，則______；
②若使x所表示的點到表示和2的點的距離之和為5，所有符合條件的整數x的和為______．
[活動三 折疊]
小明在草稿紙上畫了一條數軸進行操作探究：
（3）折疊紙面，若1表示的點和表示的點重合，則3表示的點與______表示的點重合．
（4）折疊紙面，若3表示的點和表示的點重合，則：
①表示的點和______表示的點重合；
②這時如果（A在B的左側）兩點之間的距離為，且兩點經折疊后重合，則點A表示的數是______，點B表示的數是______；
③若點A表示的數為a，點B表示的數為b，且兩點經折疊后重合，試求a與b之間的數量關系．
例3（24-25七年級上·山西太原·階段練習）已知在紙面上有一數軸，根據給出的數軸，解答下面的問題：
(1)已知、兩點相距個單位長度，請你根據圖中、兩點的位置，分別寫出它們所表示的有理數．
(2)在數軸上標出與點的距離為2的點（用不同于、的字母表示），并寫出這些點表示的數．
(3)折疊紙面，若數軸上對應的點與5對應的點重合，回答以下問題：
①10對應的點與_______對應的點重合；
②若數軸上、兩點之間的距離為（在的左側），且、兩點經折疊后重合，求、兩點表示的數．
(4)如圖，半徑為2的圓上有一點落在數軸上點處，求將圓在數軸上向右滾動（無滑動）一周后點在數軸上所表示的數．
模型9.數軸上的線段移動模型
【解題技巧】
數軸上的線段移動模型研究線段整體平移的動態變化規律，需結合代數表達與幾何關系分析線段長度、覆蓋范圍等核心問題。
線段沿數軸以固定速度單向或往返移動，需用代數式表示端點位置變化（如左移減速度，右移加速度）；動態過程中需關注線段覆蓋區域，及與其他線段的交互（如重疊）。部分模型中，線段長度或端點間的代數差保持恒定（如平移速度對稱時，兩動線段差為定值）。
例1（23-24七年級上·福建福州·期中）定義：數軸上A、B兩點的距離為a個單位記作，根據定義完成下列各題．
兩個長方形和的寬都是3個單位長度，長方形的長是6個單位長度，長方形的長是10個單位長度，其中點A、D、E、H在數軸上（如圖），點E在數軸上表示的數是5，且E、D兩點之間的距離為14，原點記為0．
(1)求數軸上點H、A所表示的數？
(2)若長方形以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動，數軸上有M、N兩點，其中點M在A、D兩點之間，且，其中點N在E、H兩點之間，且，設運動時間為x秒．
①經過x秒后，M點表示的數是 ，N點表示的數是 （用含x的式子表示，結果需化簡）．
②求（用含x的式子表示，結果需化簡）．
(3)若長方形以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動，長方形固定不動，設長方形運動的時間為秒，兩個長方形重疊部分的面積為S，當時，求此時t的值．
例2（23-24七年級上·天津南開·階段練習）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數軸上原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒個單位，大圓的運動速度為每秒個單位．
（1）若大圓沿數軸向左滾動1周，則該圓與數軸重合的點所表示的數是_____（結果保留）；
（2）若大圓不動，小圓沿數軸來回滾動，規定小圓向右滾動時間記為正數，向左滾動時間記為負數，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第_____次滾動后，小圓離原點最遠；
②當小圓結束運動時，小圓運動的路程共有多少？（結果保留）
例3（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，在數軸上有兩個長方形和，這兩個長方形的寬都是2個單位長度，長方形的長是4個單位長度，長方形的長是8個單位長度，點在數軸上表示的數是5，且兩點之間的距離為12．
（1）填空:點在數軸上表示的數是_________ ，點在數軸上表示的數是_________．
（2）若線段的中點為，線段EH上有一點，， 以每秒4個單位的速度向右勻速運動，以每秒3個單位的速度向左運動，設運動時間為秒，求當多少秒時，．
（3）若長方形以每秒2個單位的速度向右勻速運動，長方形固定不動，當兩個長方形重疊部分的面積為6時，求長方形運動的時間．
1．（2024七年級上·全國·專題練習）如圖，一動點從原點開始向左運動，每秒運動個單位長度，規定：每向左運動秒就向右運動秒．則動點運動到第秒時所對應的數是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖A、B兩點之間相距4個單位長度，B、C兩點之間相距6個單位長度，現有一動點P從點A開始沿數軸的正方向運動到達點C停止，點P到A、B、C三點的距離之和的最大值為m，最小值為n．則的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（23-24七年級上·重慶江津·階段練習）如圖，已知，在的左側是數軸上的兩點，點對應的數為，且，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左運動，在點的運動過程中，，始終為，的中點，設運動時間為秒，則下列結論中正確的有　　
①對應的數是；
②點到達點時，；
③時，；
④在點的運動過程中，線段的長度會發生變化．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知數軸上，點A表示的數是-2，點B在點A的右側8個單位長度處，動點M從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸運動，動點N從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸運動，已知點M，N同時出發，相向運動，運動時間為t秒．當時，運動時間t的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（24-25七年級上·河南南陽·期中）已知，如圖所示，是數軸上的兩個點，點A所表示的數為，點B表示的數為7，動點P以每秒4個單位長度的速度從點B向左運動，同時，動點Q以每秒2個單位長度的速度從點A向右運動，則當點P運動到點A時，動點Q所表示的數為 ．
6．（23-24七年級上·福建泉州·階段練習）已知，A、在數軸上對應的數分別用、表示，且，是數軸上的一個動點．動點從原點開始第一次向右移動1個單位長度，第二次向左移動3個單位長度，第三次向右移動5個單位長度，第四次向左移動7個單位長度，．點在移動過程中，第 次移動與點A重合．
7．（24-25七年級上·福建廈門·期末）如圖，動點A，B，C分別從數軸－30，10，18的位置沿數軸正方向運動，速度分別為2個單位長度/秒，4個單位長度/秒，8個單位長度/秒，線段OA的中點為P，線段OB的中點為M，線段OC的中點為N，若為常數，則k為 ．
8．（24-25六年級上·山東泰安·期中）如圖，在數軸上，點表示的數是20，點表示的數為60，點是數軸上的動點．點沿數軸的負方向運動，在運動過程中，當線段和的大小關系滿足時，求點表示的是哪個數．
9．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）如圖，已知點，，是數軸上三點，為原點．點表示的數為3，點與點之間的距離為2，點與點之間的距離為6．
【問題提出】
（1）點表示的數是________，點表示的數是________；
【問題探究】
（2）動點，分別同時從點，處出發，分別以每秒8個單位長度和4個單位長度的速度沿數軸正方向運動，點在點和點之間，且點到點的距離與點到點的距離相等，點在點和點之間，且點到點之間的距離是點到點之間距離的4倍，當運動時間為時，用含的代數式表示點，對應的數；
【問題解決】
（3）在（2）的條件下，點到點之間的距離是否與的大小有關？若有關，用含的代數式表示點到點之間的距離；若無關，請求出點到點之間的距離．
10．（23-24七年級上·福建福州·期中）預備知識：在數學中，把點與點之間的距離用表示
如圖，在數軸上點表示數點表示數點表示數，已知數是最小的正整數，且滿足．

(1) ， ， ；
(2)點開始在數軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，運動秒鐘后，求三點在數軸上所表示的數（用含的式子表示），若在此過程中，的值保持不變，求的值．
(3)在此數軸有上一動點對應的數為，求的最小值．
11．（24-25六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，數軸上點、對應的數分別是、，并且．

(1)求、兩點之間距離．
(2)若兩動點、同時從原點出發，點以個單位長度/秒的速度沿數軸向左運動，點以個單位長度/秒的速度向右運動，問運動多少秒時點到點的距離是點到點距離的倍？
(3)點是數軸上、之間一點，、兩點同時從點出發，沿數軸分別向左、右運動，運動時間為秒時，、兩點恰好分別到達點、，又運動秒時，、兩點分別到達點、，接下來調轉方向保持原來速度不變相向而行，同時點從點出發沿數軸向右運動，當點運動秒時，點與點在點相遇，此時點和點的距離為個單位長度，點和點的距離為個單位長度，求點的速度．
12．（23-24七年級上·廣東韶關·期中）如圖，已知數軸上的點表示的數為6，是數軸上一點，且．動點從點出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．
(1)寫出點表示的數__________，點表示的數__________（用含的代數式表示）；
(2)動點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點、同時出發，點運動幾秒時追上點，并求出此時表示的數；
(3)若為的中點，為的中點．點在運動的過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，請求出線段的長．
13．（24-25七年級上·安徽六安·期中）數軸上有不同兩點，，點表示的數為，點表示的數為．

(1)若點表示的數的相反數是，求點表示的數．
(2)若點與點之間的距離為6，且點在點的右側，求的值．
(3)在（1）的條件下，在數軸上有兩動點，，若動點從點出發向點運動，同時動點從點出發向點運動，經過2秒相遇；若動點從點出發向點運動，同時，動點從點出發與點同向運動，經過6秒相遇，求點與點的運動速度．
14．（23-24七年級上·福建福州·期中）在數軸上有，兩點，點表示的數為．對點給出如下定義：當時，將點向右移動3個單位長度，得到點；當時，將點向左移動個單位長度，得到點．稱點為點關于點的“聯動點”．如圖，點表示的數為．

(1)在圖中畫出當時，點關于點的“聯動點”；
(2)點從數軸上表示的位置出發，以每秒1個單位的速度向右運動．點從數軸上表示5的位置同時出發，以相同的速度向左運動，兩個點運動的時間為秒．
①點表示的數為__________（用含的式子表示）；
②是否存在，使得此時點關于點的“聯動點”佮好與原點重合？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
15．（24-25七年級上·山東青島·期中）問題一：
如圖1，數軸上的點A表示2，點B表示5，點C表示7，易得，我們記為．
(1)現將數軸的原點向左拖動1個單位長度，如圖2所示，此時還成立嗎？若不成立，怎樣移動點C就能使之成立？
(2)若將數軸的原點向左拖動x個單位長度，為了使成立，應該怎樣移動點C？
(3)若點A表示m，點B表示n，點C表示t，如果，那么仍然有．現將數軸的原點向左拖動x個單位長度，
①為了使成立，應該怎樣移動點C？
②為了使成立，應該怎樣移動點B？
問題二：
如圖3，數軸上的點A表示，點B表示1，點C表示5，易得，我們記為．
(4)現將數軸的原點向左拖動x個單位長度，還成立嗎？請說明理由．
(5)若點A表示m，點B表示n，點C表示t，當m，n，t滿足什么關系時，都能使成立？
16．（24-25七年級上·安徽滁州·階段練習）在數軸上，若點、點表示的數分別是、，則、兩點間的距離可以表示為，例如，在數軸上，表示數和數的兩點間的距離是，表示數和數的兩點間的距離是，利用上述結論，解決問題：
(1)若，則=_____；
(2)若有一個半徑為的圓上有一點，與數軸上表示的點重合，將圓沿數軸無滑動的滾動周，點到達點的位置，則點表示的數為______用含有的代數式表示；
(3)，為數軸上的兩個動點，點表示的數為，點表示的數為，且，點C表示的數為，若點、、、三點中的某一點到另外兩點的距離相等，求、的值．
17．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，點A、B在數軸上對應的數分別是a、b；
(1)求a、b的值，并在數軸上標出點A和點B；
(2)若動點P從點A出發沿數軸正方向運動，點P的速度是每秒1個單位長度，求幾秒后點P與點B的距離是3個單位長度；
(3)在（2）的條件下，動點Q以每秒2個單位長度的速度，從點B出發向數軸負方向運動，求幾秒后點P與點Q的距離等于3個單位長度．
18．（24-25七年級上·河南安陽·期中）知識準備：數軸上A、B兩點對應的數分別為a、b，則A、B兩點之間的距離就是線段的長，且，AB的中點C對應的數為：．問題探究：在數軸上，已知點A所對應的數是，點B對應的數是10．
(1)求線段的長為 ___________；線段的中點對應的數是 ___________．
(2)數軸上表示x和的兩點之間的距離是 ___________；若該距離是8，則x=___________．
(3)若動點P從點A出發以每秒6個單位長度的速度向右運動，同時動點Q從點B出發以每秒2個單位長度的速度向左運動．經過多少秒，P、Q兩點相距6個單位長度？
19．（24-25七年級上·福建漳州·期中）已知在數軸上，一動點從原點出發，沿著數軸以每秒個單位長度的速度來回移動，第次移動是向右移動個單位長度，第次移動是向左移動個單位長度，第次移動是向右移動個單位長度，第次移動是向左移動個單位長度，第次移動是向右移動個單位長度，…….
(1)求出秒鐘后動點所在的位置；
(2)第次移動后，點在表示數______的位置上，運動時間為______；
(3)第次移動后，點運動時間為______，當為奇數時，點在表示數______的位置上；當為偶數時，點在表示數______的位置上；
(4)如果在數軸上有一個定點，且與原點相距個單位長度，問：動點從原點出發，可能與重合，若能，則第一次與點重合需要多長時間？若不能，請說明理由．
20．（24-25七年級上·江蘇泰州·階段練習）已知A，B兩點在數軸上分別表示有理數a，b，A，B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A，B兩點之間的距離．已知數軸上A，B兩點對應的數分別為－1，3，P為數軸上一動點．
(1)若點P到A，B兩點之間的距離相等，則點P對應的數為______．
(2)若點P到A，B兩點的距離之和為6，則點P對應的數為______．
(3)現在點A以2個單位長度/秒的速度運動，同時點B以0.5個單位長度/秒的速度運動，A和B的運動方向不限，當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，求點B所對應的數是多少？
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