資源簡介

山西省晉中市靈石縣2024-2025學年八年級下學期期末考試數學試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．若不等式“”可以表示“不超過3的數”，則被墨跡覆蓋的不等號是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四幅圖片分別是、、天工、文心一言等工具的標識，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．化簡的結果是（ ）
A．2 B． C． D．
4．如圖，在等邊三角形中，，垂足為點D，點E在線段上，，則等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，能用完全平方公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校12月組織a名師生到紅旗渠風景區開展紅色教育活動．租用的旅游車每輛可乘坐b人，師生全部上車后還剩一個位置，由此可知租用的旅游車的輛數為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，取兩根長度不等的細木棒，，將它們的中點重合固定（記為點）．轉動木棒，在由銳角變成鈍角的過程中，分析以木棒四個端點為頂點的四邊形，下列結論一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如圖，在中，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作射線交邊于點，過點作于點，若，，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如圖，的對角線，相交于點，點是的中點．若，，的周長為32，則的周長為（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
10．如圖，將繞點C順時針旋轉得到．當點落在的延長線上時，恰好，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．若分式有意義，則實數的取值范圍是 ．
12．中國宴席中的擺盤藝術體現傳統美學原則．如圖1，將六個全等的正五邊形陶瓷盤按照如圖1的方式擺放，正五邊形的五個頂點代表“五福”，具有美好的寓意．若將其抽象成如圖2的圖形，則的度數為 °．
13．如圖，在中，，，，點在邊上，，，垂足為與交于點，則的長是 ．
14．隨著科技的進步，我們可以通過手機實時查看公交車到站情況．如圖，小明在距離某站牌處拿出手機查看了公交車到站情況，發現最近一輛公交車還有到達該站牌處．若要保證小明不會錯過這輛公交車，則小明的最小平均速度為 ．
15．如圖，在中，，于點E，點F在邊上，且，．若，則的長為 ．
三、解答題
16．（1）因式分解：．
（2）解不等式組：，并將該不等式組的解集在數軸上表示出來．
17．習題課上，數學老師展示了兩道習題及其錯誤的解答過程，請你認真閱讀并完成相應任務：
習題1：計算：． 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 習題2：解方程： 解：方程兩邊同乘，得 ……第一步 ……第二步 ……第三步 檢驗：當時， ……第四步 ∴原方程得解是． ……第五步
任務：
(1)習題1中第一步進行因式分解變形時，應用的乘法公式是______，習題2中第一步變形的依據是______；
(2)習題1的解答過程是從第______步開始出現錯誤的，習題2的解答過程是從第______步開始出現錯誤的；
(3)從以上兩道習題中任選一題，寫出正確的解答過程．
18．如圖，每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，的頂點均在格點上．
(1)請畫出繞點逆時針旋轉后的；
(2)請畫出關于原點對稱的．
19．某充電站推出夜間充電優惠活動，晚上十點到早上六點電價為每度元，其他時間段則為每度元．小明的電動汽車電池容量為60度，目前剩余的電量，需要將其充滿．若在滿足總費用不超過25元的條件下，小明至少需要在優惠時段充電多少度？（充電度數保留整數）．
20．如圖，是的對角線，將邊沿折疊，使A點落在上的點G處，將邊沿折疊，使點C落在上的點H處．
求證：四邊形是平行四邊形．
21．截至2025年3月，中國郵政已在全國多個省份、地區開展了無人車配送的試點工作，不僅減少了攬投員的往返次數，還大大提高了配送效率，某郵政快遞運營站在配送高峰期，攬投員原來平均每天配送600件快遞，使用無人配送車協助后，每天的快遞配送量比原來提高了20%．攬投員每小時的配送量達到了原來的1.5倍，每天的工作時間比原來減少了2小時．求攬投員現在每天需要工作幾小時？
22．閱讀與思考：
關于“圖形的平移”的學習筆記
研究對象：圖形的平移．
研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念—性質—判定”的路徑，由一般到特殊進行研究．
研究方法：觀察（測量、實驗）—猜想—證明—應用．
研究內容：
【一般概念】在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這種圖形運動稱為平移．平移的距離d就是新圖形與原圖形對應點之間的距離．
【特例研究】（1）如圖1，B，C是線段的三等分點，．若將線段沿方向平移一定距離后得到線段，則______．
【知識應用】
（2）如圖2，等腰直角三角形的腰長是2．用尺規方法作出沿方向平移距離為2的一個圖形．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（3）如圖3，在平面直角坐標系中，點D的坐標分別是，以點O為圓心，長為半徑畫圓交x軸正半軸于點E，平面內存在一點F，使得以點D，O，E，F為頂點的圖形為平行四邊形，請直接寫出點F的坐標：______．
請你根據所學內容，完善上述學習筆記．
23．綜合與探究
問題情境：數學課上，老師組織同學們利用兩張全等的直角三角形紙片進行圖形變換的操作探究，已知，．將和按如圖1的方式在同一平面內放置，其中與重合，此時A，B，D三點恰好共線，點A，D在點B異側．
初步探究：（1）小穎在圖1的基礎上進行了如下操作：保持不動，將繞點B按逆時針方向旋轉角度，延長交延長線于點G．如圖2，判斷的數量關系并說明理由；
深入探究：（2）小軍在圖1的基礎上進行了如下操作：保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉角度，延長交延長線于點G．如圖3，判斷，的數量關系并說明理由；
拓展探究：（3）若，．小彬進行了如下的操作：如圖4，兩個三角形重合，點A，B，C分別與點D，F，E重合，保持不動，繞點B按逆時針方向旋轉一周，在整個旋轉過程中，若所在直線恰好經過的一個頂點，直接寫出此時的長度為______．
山西省晉中市靈石縣2024-2025學年八年級下學期期末考試數學試卷參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D D A D B C B
1．A
【詳解】解：不等式“”可以表示“不超過3的數”，則被墨跡覆蓋的不等號是：，
故選：A
2．C
【詳解】解：A，不是中心對稱圖形，不合題意；
B，不是中心對稱圖形，不合題意；
C，是中心對稱圖形，符合題意；
D，不是中心對稱圖形，不合題意；
故選C．
3．B
【詳解】解：
，
故選：B．
4．D
【詳解】解：三角形是等邊三角形，
，
，
垂直平分，
，
，
．
故選：D．
5．D
【詳解】解：A、，不能用完全平方公式進行因式分解，故此選項不符合題意；
B、，不能用完全平方公式進行因式分解，故此選項不符合題意；
C、，不能用完全平方公式進行因式分解，故此選項不符合題意；
D、，能用完全平方公式進行因式分解，故此選項符合題意；
故選：D．
6．A
【詳解】解：∵人剛好坐滿，
∴租用的旅游車的輛數為：，
故選：A．
7．D
【詳解】解：中點重合固定（記為點），故，相互平分，轉動木棒，在由銳角變成鈍角的過程中，四邊形為平行四邊形；
A．不一定相等，選項錯誤，不符合題意；
B．不一定相等，選項錯誤，不符合題意；
C．不一定相等，選項錯誤，不符合題意；
D．由平行四邊形的性質知，選項正確，符合題意；
故選：D．
8．B
【詳解】解：如圖，過點作于點F，

由題意可知：平分，
∵，，
∴，，
，
故選：B．
9．C
【詳解】解：∵的周長為32，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即點O是的中點，
∵點是的中點．
∴，，
∴的周長，
故選：C．
10．B
【詳解】解：由旋轉知，，，
，
，
，
，
，
故選B．
11．
【詳解】解：要使分式有意義，則，
即，
故答案為：．
12．36
【詳解】解：∵正五邊形每個內角的度數為
∴．
故答案為：36．
13．
【詳解】解：如下圖所示，連接，
，
是等腰三角形，
又，
根據等腰三角形的三線合一定理，可得：，
是的垂直平分線，
，
在和中，
，
，
，
在中，
又，，
，
，
設，則，
，，
，
在中，，
，
解得：，
，
．
故答案為： ．
14．0.8
【詳解】解：設小明的平均速度為，根據題意得：
，
解得，，
所以，小明的最小平均速度為．
故答案為：0.8．
15．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
過點A作于點M，過點E作于點N，
設，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
當時，，（不符合題意，舍去）
∴，
∴，
故答案為：．
16．（1）；（2），圖見解析
【詳解】（1）
（2）解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以，原不等式組的解集為：．
在數軸上，表示如下：
17．(1)平方差公式；等式的基本性質2
(2)第二步；第二步
(3)見詳解
【詳解】（1）解：習題1中，第一步進行因式分解變形時應用了乘法的平方差公式；習題2中第一步變形的依據是等式的基本性質2（等式兩邊同時乘以同一個不為零的整式，等式仍然成立）
（2）解：習題1的解答過程是從第二步開始出現錯誤的；習題2的解答過程是從第二步開始出現錯誤的；
（3）解：習題1正確過程如下：
原式
，
，
，
．
習題2正確過程如下：
去分母，得 ，
去括號，得，
移項合并同類項，得，
檢驗：當時，
∴原方程的解是．
18．(1)見解析
(2)見解析
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求．
19．小明至少需要在優惠時段充電29度
【詳解】解：設小明在優惠時段充電x度，則在其他時間段充電度，
根據題意得：，
解得：，
又∵x為正整數，
∴x的最小值為29．
答：小明至少需要在優惠時段充電29度．
20．見解析
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
由折疊得，，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
21．攬投員現在每天需要工作8小時
【詳解】解：設攬投員現在每天需要工作小時，則原來攬投員每天工作小時，
由題意得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：攬投員現在每天需要工作8小時．
22．（1）2；（2）見解析；（3）或或
【詳解】解：（1）∵B，C是線段的三等分點，，
∴，
∵將線段沿方向平移一定距離后得到線段，
∴點A與點C，點B與點D為對應點，
∵，
∴，
故答案為：2；
（2）1．延長至點D，使，
2．過點D作，
3．在上截取，
4．連接，則為沿方向平移距離為2的一個圖形．如圖，
（3）分以下三種情況討論：
①如圖，四邊形為平行四邊形，
過點D作軸于點G，過點F作軸于點H，則四邊形為矩形，
∵點D的坐標是，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∴；
②如圖，四邊形為平行四邊形，
過點D作軸于點G，過點F作軸于點H，
∵點D的坐標是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
③如圖，四邊形為平行四邊形，
過點D作軸于點G，過點F作軸于點H，則四邊形為矩形，
∵點D的坐標是，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∴．
綜上，點F的坐標為或或．
故答案為：或或．
23．（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）或
【詳解】解：（1），理由如下：
連接，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如圖：連接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）如圖，當經過點時，過點作，交的延長線于點，則，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
當所在直線經過點時，如圖：
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上，的長為或．

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