資源簡介

2024-2025學(xué)年四川省資陽市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。
1．（5分）已知平面向量，．若與共線，則x＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝1﹣2i，復(fù)數(shù)z＝z2+z1，則z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的85%分位數(shù)為（　　）
A．4 B． C．5 D．
4．（5分）函數(shù)y＝sin2x+cos（2x+π）的最小正周期為（　　）
A． B．π C．2π D．4π
5．（5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D滿足，E為AC的中點(diǎn)，則（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）如圖，在四面體ABCD中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC
7．（5分）已知，tanαtanβ＝2，則cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，∠BAC＝30°，則該三棱錐外接球的體積為（　　）
A． B． C． D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）某地區(qū)舉行了足球聯(lián)賽，聯(lián)賽結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.6，各場(chǎng)比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.3，各場(chǎng)比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5，下列說法中正確的是（　　）
A．平均說來甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技術(shù)好
B．甲隊(duì)在防守中有時(shí)表現(xiàn)較差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好
C．甲隊(duì)比乙隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定
D．乙隊(duì)很少不失球
（多選）10．（6分）若向量，滿足，，則（　　）
A．與的夾角為
B．
C．
D．在上的投影向量為
（多選）11．（6分）函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．
B．若將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)
C．若，，則a的范圍為[2，+∞）
D．若函數(shù)y＝f（x）﹣1的三個(gè)相鄰零點(diǎn)分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|，則λ的值是或2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知復(fù)數(shù)z（i為虛數(shù)單位），則|z|＝　 　 ．
13．（5分）將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5：3：2．若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為20，30，40，則總體的平均數(shù)為 　 　 ．
14．（5分）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，且滿足，其中x+y＝1．若，則△ANG與△ABC的面積之比為 　 　 ．
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值？并求出該最大值；
（2）若θ為銳角，且，求tan2θ的值．
16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，BC＝2，AB＝AD＝4，E是線段PA的中點(diǎn)．
（1）求證：BE⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積．
17．為增強(qiáng)職工身體素質(zhì)，某企業(yè)鼓勵(lì)職工積極參加徒步活動(dòng)．為了解運(yùn)動(dòng)情況，企業(yè)工會(huì)從該企業(yè)職工中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)他們的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：
（1）求圖中a的值；
（2）估計(jì)該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
（3）若該企業(yè)恰好有的職工的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到了企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線，試估計(jì)該企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線．
18．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，求△ABC的面積；
（3）求3b+c的取值范圍．
19．如圖①，已知等腰梯形ABCD的外接圓圓心O在底邊AB上，AB∥CD，CD＝AD＝3，P是上半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不包含A，B兩點(diǎn)），點(diǎn)Q是線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，將半圓APB所在的平面沿直徑AB折起，得到圖②所示圖形，據(jù)此解答下列各小題：
（1）當(dāng)PC∥平面QBD時(shí)，求的值；
（2）若PB⊥AD，PB＝3，求PA與平面ABCD所成角的正弦值；
（3）若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，設(shè)QB與平面ABCD所成的角為α，二面角Q﹣BD﹣A的平面角為β，求β﹣α取得最大值時(shí)tanα的值．
參考答案
一．選擇題（共8小題）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B D C A C
二．多選題（共3小題）
題號(hào) 9 10 11
答案 ABD BD ACD
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。
1．（5分）已知平面向量，．若與共線，則x＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
【解答】解：平面向量，．與共線，所以．
故選：B．
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝1﹣2i，復(fù)數(shù)z＝z2+z1，則z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由復(fù)數(shù)z1＝2+i，z2＝1﹣2i，復(fù)數(shù)z＝z2+z1＝2+i+1﹣2i＝3﹣i，
則，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3，1）位于第一象限．
故選：A．
3．（5分）一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的85%分位數(shù)為（　　）
A．4 B． C．5 D．
【解答】解：已知一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，
又10×0.85＝8.5，
所以第85%分位數(shù)為從小到大排列的第9個(gè)數(shù)，即第85%分位數(shù)為5．
故選：C．
4．（5分）函數(shù)y＝sin2x+cos（2x+π）的最小正周期為（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【解答】解：由y＝sin2x+cos（2x+π）＝sin2x﹣cos2x
（sin2xcoscos2xsin）＝2sin（2x），
所以函數(shù)的周期為．
故選：B．
5．（5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D滿足，E為AC的中點(diǎn)，則（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因?yàn)?，所以，所以．
故選：D．
6．（5分）如圖，在四面體ABCD中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC
【解答】解：∵AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則BE⊥AC，DE⊥AC，
∵BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴AC⊥平面BDE，
又AC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，故C正確；
在平面ABC內(nèi)取點(diǎn)P，作PM⊥AB，PN⊥BE，垂足分別為M，N，如圖，
∵平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE＝BE，
∴PN⊥平面BDE，則有PN⊥BD，
若平面ABC⊥平面ABD，同理可得PM⊥BD，
而PM∩PN＝P，PM，PN 平面ABC，
∴BD⊥平面ABC，BD與平面ABC不一定垂直，故A錯(cuò)誤；
過A作△ABC邊BD上的高AF，連接CF，
由△ABD≌△CBD，得CF是△CBD邊BD上的高，
則∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，而∠AFC不一下是直角，
即平面ABD與平面BDC不一定垂直，故B錯(cuò)誤；
∵AC⊥平面BE，則∠DEB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∠DEB不一定是直角，
平面ABC與平面ADC不一定垂直，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
7．（5分）已知，tanαtanβ＝2，則cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由cos（α+β），可得cosαcosβ﹣sinαsinβ，
因?yàn)閠anαtanβ2，可得sinαsinβ＝2cosαcosβ，
所以，，可得．
故選：A．
8．（5分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，∠BAC＝30°，則該三棱錐外接球的體積為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在三棱錐P﹣ABC中，設(shè)其外接球的球心為點(diǎn)O，△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)E，如圖，
連接AO，OE，AE，則OE⊥AE，設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R1，
因?yàn)锽C＝2，∠BAC＝30°，
由正弦定理，得 R1＝2，即AE＝2，
因?yàn)镻A⊥平面ABC，PA＝2，
所以O(shè)E＝1，
所以三棱錐外接球的半徑，
所以三棱錐外接球的體積為．
故選：C．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
（多選）9．（6分）某地區(qū)舉行了足球聯(lián)賽，聯(lián)賽結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.6，各場(chǎng)比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2；乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.3，各場(chǎng)比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5，下列說法中正確的是（　　）
A．平均說來甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技術(shù)好
B．甲隊(duì)在防守中有時(shí)表現(xiàn)較差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好
C．甲隊(duì)比乙隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定
D．乙隊(duì)很少不失球
【解答】解：對(duì)于A，甲隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.6，小于乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.3，
平均說來甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技術(shù)好，A正確；
對(duì)于B，甲隊(duì)在防守中有時(shí)表現(xiàn)較差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好，B正確；
對(duì)于C，甲隊(duì)各場(chǎng)比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2大于乙隊(duì)各場(chǎng)比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5，
所以乙隊(duì)比甲隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，雖然乙隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是2.3，算是較大的數(shù)，而各場(chǎng)比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5，由于標(biāo)準(zhǔn)差很小，方差是0.25更小，說明每場(chǎng)失球數(shù)都集中在2.3附近，所以認(rèn)為乙隊(duì)很少不失球是正確的，D正確．
故選：ABD．
（多選）10．（6分）若向量，滿足，，則（　　）
A．與的夾角為
B．
C．
D．在上的投影向量為
【解答】解：因?yàn)椋?br/>所以，即，
解得，故B正確；
由，
可得，故A錯(cuò)誤；
由，
可知與不垂直，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br/>所以在上的投影向量為，故D正確．
故選：BD．
（多選）11．（6分）函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．
B．若將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)
C．若，，則a的范圍為[2，+∞）
D．若函數(shù)y＝f（x）﹣1的三個(gè)相鄰零點(diǎn)分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|，則λ的值是或2
【解答】解：A，，
所以，可得，
又，
因?yàn)閨φ|＜π，所以，
所以，故A正確；
B，將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后的解析式為，該函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
C，，可得，
，
，
，所以，
所以，所以f（3x）∈[﹣2，1]，﹣f（3x）∈[﹣1，2]，
所以，所以，故C正確；
D，函數(shù)y＝f（x）﹣1的零點(diǎn)，即f（x）＝1的解，
即，所以，
若，則，此時(shí)λ＝2，
若，則，此時(shí)，所以λ＝2或，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）已知復(fù)數(shù)z（i為虛數(shù)單位），則|z|＝　　 ．
【解答】解：∵z，
∴|z|．
故答案為：．
13．（5分）將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5：3：2．若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為20，30，40，則總體的平均數(shù)為 　27　 ．
【解答】解：因?yàn)锳，B，C三層個(gè)體數(shù)之比為5：3：2，且A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為20，30，40，
所以總體的平均數(shù)為．
故答案為：27．
14．（5分）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，且滿足，其中x+y＝1．若，則△ANG與△ABC的面積之比為 　　 ．
【解答】解：根據(jù)點(diǎn)G是△ABC的重心，可得，
結(jié)合題意，可得，
設(shè)，則，
因?yàn)椋裕Y(jié)合x+y＝1，解得，，
由，可得，
因?yàn)椤鰽BC的重心G到AC的距離等于點(diǎn)B到AC距離的，
所以．
故答案為：．
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值？并求出該最大值；
（2）若θ為銳角，且，求tan2θ的值．
【解答】解：（1）由題意得f（x）＝sin2x+cos2xsin（2x），
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，f（x）取得最大值，最大值為；
（2）因?yàn)椋?br/>所以，結(jié)合θ為銳角，可得，
所以tanθ，可得．
16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，BC＝2，AB＝AD＝4，E是線段PA的中點(diǎn)．
（1）求證：BE⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的體積．
【解答】解：（1）證明：因?yàn)锳D⊥面PAB，BE 面PAB，
因此AD⊥BE，
因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，E是線段PA的中點(diǎn)，
因此PA⊥BE，
又因?yàn)锳D∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
因此BE⊥平面PAD；
（2）因?yàn)锳D⊥面PAB，AD 平面ABCD，
因此平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD＝AB，
取AB中點(diǎn)為F，
因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，因此PF⊥AB，
PF 平面PAB，
因此PF⊥平面ABCD，即PF為四棱錐的高，
因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，AB＝4，
因此，
因此四棱錐P﹣ABCD的體積為．
17．為增強(qiáng)職工身體素質(zhì)，某企業(yè)鼓勵(lì)職工積極參加徒步活動(dòng)．為了解運(yùn)動(dòng)情況，企業(yè)工會(huì)從該企業(yè)職工中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)他們的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：
（1）求圖中a的值；
（2）估計(jì)該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
（3）若該企業(yè)恰好有的職工的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到了企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線，試估計(jì)該企業(yè)制定的“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)者”達(dá)標(biāo)線．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得2（a+0.1+5a+0.12+a）＝1，解得a＝0.04．
（2）由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為：
．
所以該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)約為9.08千步．
（3）日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在[12，14]的頻率為2×0.04＝0.08，
日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在[10，12）的頻率為0.12×2＝0.24，
日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在[8，10）的頻率為5×0.04×2＝0.4，
所以達(dá)標(biāo)線位于[8，10）內(nèi)，
則達(dá)標(biāo)線為，解得m＝9.6，
該企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線是9.6千步．
18．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，求△ABC的面積；
（3）求3b+c的取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，，∴，
，
，∵，∴sinB≠0，
∴，∴，
又∵，∴；
（2）在銳角△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
又，b＝2，，∴，整理得c2﹣2c﹣8＝0，
解得c＝4或c＝﹣2（舍去），∴c＝4，
∴；
（3）設(shè)銳角△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理可得：，
∴
，
其中，φ為銳角，
∵△ABC為銳角三角形，則，解得，
∴，
又，
，
∴，即，
∴，從而3b+c的取值范圍為．
19．如圖①，已知等腰梯形ABCD的外接圓圓心O在底邊AB上，AB∥CD，CD＝AD＝3，P是上半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不包含A，B兩點(diǎn)），點(diǎn)Q是線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，將半圓APB所在的平面沿直徑AB折起，得到圖②所示圖形，據(jù)此解答下列各小題：
（1）當(dāng)PC∥平面QBD時(shí)，求的值；
（2）若PB⊥AD，PB＝3，求PA與平面ABCD所成角的正弦值；
（3）若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，設(shè)QB與平面ABCD所成的角為α，二面角Q﹣BD﹣A的平面角為β，求β﹣α取得最大值時(shí)tanα的值．
【解答】解：（1）連接AC交BD于點(diǎn)M，連接QM，
因?yàn)镃D＝AD＝3，AB∥CD，所以BC＝3，AB＝6，
則平面PAC∩平面QBD＝QM，
依題意，PC∥平面QBD，PC 平面PAC，
所以PC∥QM，
所以，等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，
所以；
（2）因?yàn)榈妊菪蜛BCD的外接圓圓心O在底邊AB上，所以∠ADB＝90°，
所以AD⊥DB，又因?yàn)镻B∩BD＝B，PB，BD 平面PBD，
所以AD⊥平面PBD，
又AD 平面ABD，所以平面ABD⊥平面PBD，
過P作PN⊥BD于N，連接AN，所以PN⊥平面ABD，
則∠PAN為PA與平面ABCD所成的角，
由（1）可得，
，，
因?yàn)镻D2+BP2＝18+9＝27＝BD2，所以∠BPD＝90°，
所以，
所以，
解得，
所以，
所以PA與平面ABCD所成角的正弦值；
（3）作QH⊥AB于H，連接BQ，
因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以QH⊥平面ABCD，所以BH是BQ在平面ABCD內(nèi)的射影，
因?yàn)镻B≤3，所以，
所以∠QBH即為QB與平面ABCD所成的角為α∈（0，∠PBA），
則，
過H作GH⊥BD，垂足為G，連結(jié)QG，
又因?yàn)镼H⊥BD，GH∩QH＝H，GH，QH 平面QHG，
所以BD⊥平面QHG，
又因?yàn)镼G 平面QHG，所以BD⊥QG，
所以∠QGH為二面角Q﹣BD﹣A的平面角β，
所以，所以，tanβ＝2tanα，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)tanα＝1時(shí)，tan（β﹣α）取得最大值，即β﹣α取得最大值，
所以β﹣α取得最大值時(shí)tanα＝1．
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