資源簡介

福建省龍巖市長汀縣2024—2025學年下學期八年級數學期末質量檢查試題
一、單選題
1．二次根式中，字母的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．5
2．下列函數的圖象是由正比例函數的圖象向上平移2個單位長度得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a
5．數學活動課上，小茗同學利用尺規對矩形進行如圖所示的操作，作出的兩條線的交點恰好落在邊上的點處，則的度數為（ ）
A． B． C．條件不足，無法計算 D．
6．已知點在第四象限內，則一次函數的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．依據所標數據，下列四邊形不一定為矩形的是（ ）
A． B． C． D．
8．在網格中，三角形的頂點在格點上，求的值（ ）
A． B． C． D．不確定
9．“藍絲帶”一般指藍絲帶海洋保護協會，同時也象征著對保護海洋的呼吁．李老師用一段矩形綢緞制作了一條如圖所示寬為的藍絲帶，若，則重疊部分圖形形狀和面積分別是（ ）
A．平行四邊形， B．平行四邊形，
C．菱形， D．菱形，
10．四邊形是一張正方形紙片，將其對折，使對折的兩部分完全重合，得到折痕，展開后再沿折疊，使點A正好落在上．下列說法：
① ② ③是等邊三角形 ④
正確的有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題
11．化簡： ．
12．一次函數y=kx－3的圖象經過點（-1，3），則k= ．
13．某校在校園十佳歌手評比活動中規定：唱功、表情、動作三項成績分別按的比例計入總成績．小紅在本次活動中唱功、表情、動作的成績依次為9分、9分、8分，則小紅的總成績為 ．
14．如圖，將等腰直角三角尺一條直角邊放在數軸上，頂點和對應的數分別為0和1，再將三角尺繞頂點逆時針旋轉，使得斜邊與數軸重合，則頂點在數軸上對應的數是 ．
15．如圖，函數和圖象交于點，則關于的不等式的解集為 ．
16．如圖是一個游戲裝置，四邊形是正方形，點光源為的中點．點、點為的三等分點，是一個感光元件．若從點發出的光線照向平面鏡，其反射光線照射到上（含端點），該感光元件就會發光．已知點，反射光線所在直線為，當感光元件發光時的取值范圍為 ．
三、解答題
17．計算：
18．如圖，小明在甲島上的一個觀測站A處觀測，發現在甲島的正西方10海里處B點有一艘船向正北方駛去，2小時后，小明再次觀察發現該船位于距離甲島海里的C處，求該船的行駛速度．
19．如圖，在四邊形ABCD中，，，．
(1)在線段上，求作點，使；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，連接，．若，求證：．
20．有一個底面長寬比為，高為的長方體包裝硬紙箱（如圖①），其底面積為．
(1)求這個紙箱的長與寬分別為多少？
(2)有一種圓柱狀飲料罐，其高為，容量為（），現將6罐這種飲料按如圖②所示連體包裝后放入圖①的紙箱中，請通過計算判斷該紙箱能否裝下這6罐連體包裝飲料？（飲料罐外壁及包裝膜厚度忽略不計，圓柱的容積底面積高，取3）
21．某公司為參加“2025年中國人形機器人生態大會”，對本公司生產的甲、乙兩款人形機器人的滿意度進行了評分測驗，并從中各隨機抽取20份對數據進行整理、描述和分析（評分分數用表示，分為四個等級：，，，），下面給出了部分信息：
抽取的對甲款機器人的評分數據中等級的數據為：
90，90，88，88，88，87，86，85；
抽取的對乙款機器人的評分數據為：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
對甲，乙兩款機器人的滿意度評分統計表
機器人 平均數 中位數 眾數 方差
甲 86 88 69.8
乙 86 85 96.6
根據以上信息，解答下列問題：
(1)上述圖表中________，________，________．
(2)根據以上數據，你認為哪款人形機器人的滿意度更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．
(3)在此次測驗中，有350人對甲款人形機器人進行評分，400人對乙款人形機器人進行評分，請估計此次測驗中對甲、乙兩款人形機器人的滿意度評分為等級的共有多少人？
22．如圖，在中，對角線相交于點O，點E是的延長線上一點，且是等邊三角形．
(1)求證：四邊形是菱形．
(2)若，求證：四邊形是正方形．
23．“一盤白斬人間味，舌上余香魂夢留”反映了百姓對肉質鮮美、色香味齊全的河田雞的喜愛．長汀河田雞是世界五大名雞，是長汀的支柱產業之一．某代理商計劃銷售兩種真空包裝的河田雞閹雞型和型，經調查，用16000元采購型的件數是用7500元采購型的件數的2倍，一件型的進價比一件型的進價多10元．
(1)求一件河田雞閹雞型，型的進價分別為多少元？
(2)該代理商購進型，型共200件進行試銷，其中型的件數不大于型的件數，且不小于80件，已知型的售價為240元/件，型的售價為220元/件，且全部售出．設購進型件，求代理商銷售這批商品的利潤與之間的函數解析式，并寫出的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，代理商決定在試銷活動中每售出一件型，就從一件型商品的利潤中捐獻慈善資金元，該代理商售完所有商品并捐獻慈善資金后獲得的最大收益為13840元，求的值．
24．根據以下素材，探索完成以下任務
探索“美好距離”
素材 定義：在平面直角坐標系中，已知線段和直線，，過點作于點，過點作于點，連接，稱線段的長為線段關于直線和的“美好距離”．
圖形
問題解決
任務1 已知點，，利用圖1探索以下問題： ①直線的解析式是________________________________； ②求線段關于軸和軸的“美好距離”； ③求線段關于直線和直線的“美好距離”．
任務2 如圖2，線段在直線上運動（點的橫坐標大于點的橫坐標），且，直接寫出線段關于軸和軸的“美好距離”的最小值．
25．如圖，在四邊形中，點、分別在邊、上．連接、．

(1)如圖1，四邊形為正方形時，連結，且，
①已知，，則的長是______；
②已知，，求的值；
(2)如圖2，四邊形為矩形，，點為的中點，，，求的長．
參考答案
1．D
解：根據題意，得，
∴，
∵，，，，
∴字母x的取值可以是5．
故選：D．
2．B
解：將正比例函數的圖象向上平移2個單位長度，平移后的函數解析式為原函數值加上2，即．
選項中符合該解析式的為B選項，
故選：B．
3．C
解：A、和不是同類二次根式，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算正確，符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選：C．
4．C
A、∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，是直角三角形，錯誤；
B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，可得∠B＝90°，是直角三角形，錯誤；
C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正確；
D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，錯誤；
故選C．
5．D
解：根據題意，可知平分，被垂直平分，在的垂直平分線上，
四邊形為矩形，
，
平分，
，
，
被垂直平分，在的垂直平分線上，
，
，
，
，
故選：D．
6．A
解：點為第四象限內的點，
，，
∴，
一次函數的圖象經過第二、三、四象限，觀察選項，A選項符合題意，B、C、D選項不符合題意；
故選：A．
7．A
解：A、∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
但不能說明四邊形是矩形，故該選項符合題意；
B、有三個角是直角的四邊形是矩形，故該選項不符合題意；
C、∵，
∴，又，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形，故該選項不符合題意；
D、∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴四邊形是矩形，故該選項不符合題意；
故選：A．
8．B
解：根據題意可得，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
9．D
解：由題意知，，
∴四邊形是平行四邊形，
，
如圖，作于于，連接，
則，
∵四邊形是平行四邊形，
，
即，
，
∴四邊形是菱形，
，
，
由勾股定理得，，
則，
∴重合部分四邊形的面積為：，
故選：D．
10．C
解：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，
，，
沿折疊，使點落在上的點處，
，，
，
在中，，
∴，
；故②正確
在中
∵,
∴,
∴故①不正確
∵
∴,
∴
∴是等邊三角形，故③正確；
∴
而
∴
故④正確
故選：C
11．
解：，
故答案為：
12．-6
【詳解】解：把點代入得，
解得 ．
故答案為: ．
13．
解：（分），
故答案為：．
14．
解：∵是等腰直角三角形，直角邊，
∴斜邊，
∵點對應的數是0，旋轉后，在點的左側，且，
∴頂點在數軸上對應的數是．
故答案為：．
15．
解：函數和的圖象交于點，
不等式的解集為．
故答案為：．
16．
解：如圖，取點關于軸的對稱點．
∵點為的中點，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵點、點為的三等分點，
∴，，
∵點關于軸的對稱點，
∴，根據光的反射定律，反射光線所在的直線經過點，
設反射光線所在的直線的解析式為為常數，且，
將代入，
得，
∴，
∴，
當反射光線經過時，得，
解得；
當反射光線經過時，得，
解得，
∴，
故答案為：．
17．
解：原式=
．
18．該船的行駛速度為7.5海里/小時
依題意，AB=10海里，海里，
由勾股定理，得（海里），
15÷2=7.5（海里/小時）．
答：該船的行駛速度為7.5海里/小時．
19．(1)見解析
(2)見解析
（1）解：如圖，點E就是所求作的點；
由作圖可知：，
∵，
∴是等邊三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
由（1）得，是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和，，
∴，
∴．
20．(1)這個紙箱的長為，寬為
(2)該紙箱無法裝下這6罐連體包裝飲料
（1）解：設紙箱的長為，寬為，則
，
解得，
∵，
∴，
，．
因此，這個紙箱的長為，寬為
（2）設圓柱形飲料罐的底面半徑為，根據題意，得
，
即，
∵，
∴．
則6罐連體的寬，
因此，該紙箱無法裝下這6罐連體包裝飲料．
21．(1)，，
(2)甲款機器人的滿意度更好，見解析
(3)190人
（1）解：對甲款機器人的評分數據中兩組的人數之和為，
組的人數所占的比例為：，
將甲組的數據排序后，第10個數據和第11個數據分別為：，
∴，
乙組數據出現次數最多的數據為85，
∴，
∵，
∴．
（2）甲、乙兩款機器人的評分數據的平均數都是86，甲款機器人的評分數據的眾數和中位數88大于乙款機器人的評分數據的眾數和中位數85，甲款機器人的評分數據的方差為，小于乙款機器人的評分數據的方差，所以甲款機器人的評分數據的波動比乙款機器人的評分數據的波動小，所以甲款機器人的滿意度更好．
（3）有350人對甲款人形機器人進行評分，400人對乙款人形機器人進行評分，
甲、乙兩款人形機器人的滿意度評分為等級的共有
（人）．
22．(1)見解析
(2)見解析
（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，即O是的中點，是的中線，
∵是等邊三角形，
∴，
即，
∴是菱形，即四邊形是菱形；
（2）∵是等邊三角形，
∴
由（1）知，
∴，是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是菱形，
∴，
∴菱形是正方形，即四邊形是正方形．
23．(1)一件河田雞閹雞型的進價為160元，則一件型的進價為150元
(2)
(3)的值為12
（1）解：設一件河田雞閹雞型的進價為元，則一件型的進價為元，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
，
答：一件河田雞閹雞型的進價為160元，則一件型的進價為150元；
（2）型的件數不大于型的件數，且不小于80件，
，
解得，
，
與之間的函數解析式為；
（3）設該代理商售完所有商品并捐獻慈善資金后獲得的收益是元，
根據題意得：，
當時，隨的增大而增大，
時，最大，
，
解得（舍去）；
當時，元，不符合題意；
當時，隨的增大而減小，
時，最大，
，
解得；
綜上所述，的值為12．
24．任務1：①；②；③；任務2：線段關于軸和軸的“美好距離”的最小值是
任務1：①設直線的解析式為：，
∴，解得：；
∴；
故答案為：；
②作軸，作軸，則：，，
∴，
∴線段關于軸和軸的“美好距離”為；
③解：如圖，設直線與軸交于點，直線與直線交于點，
過點作直線于點，連接，，
當時，，
∴；
由，得，
，
，，，
，
；
直線與直線平行，
，
，
又，
四邊形是矩形，
，直線，
則線段關于直線和直線的“美好距離”是的長，即
；
線段關于直線和直線的“美好距離”是．
任務2：線段關于軸和軸的“美好距離”的最小值是．
如圖2，延長，交于點，直線交軸分別于點，
∵，
∴時，；時，，
∴，
∴，
軸，軸，
，
，
四邊形是矩形，
，，
∵，
∴，
，
，
設，則，
，
當時，，
的最小值為．
25．(1)①10；②
(2)
（1）解：（1）①∵四邊形為正方形，
∴，
∵，，
中，，
故答案為：10．
②延長至點，使，連接，如圖，
四邊形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
設，則，
在中，，
，
解得 ，
的值為．
（2）解：如圖，延長、交于點．
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
設，則，
即，
解得：，
．

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