資源簡介

2.2 等差數列
知識梳理
1．等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列,這個常數就叫做等差數列的公差，常用字母“d”表示。
⑴公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；
⑵對于數列{},若－=d (與n無關的數或字母)，n≥2，n∈N，則此數列是等差數列，d 為公差
2．等差數列的通項公式：
①普通式：；
②推廣式：；
③變式：；
；；
注：等差數列通項公式的特征：等差數列的通項公式為關于項數n的次數不高于一次的多項式函數即an=An+B(若{an}為常數列時,A=0).
3．如果a,A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項；且。
是等差數列
4．等差數列的單調性：由等差數列的定義知an+1－an=d,
當d＞0時an+1＞an即{an}為遞增數列；
當d=0時，an+1=an即{an}為常數列；
當d＜0時，an+1＜an即{an}為遞減數列.
注：等差數列不會是擺動數列.
5．已知是等差數列，若，則
第一課時：
典例剖析
題型一 等差數列的通項公式
例1 ⑴求等差數列8，5，2…的第20項
⑵ 401是不是等差數列5，9，13…的項？如果是，是第幾項？
解：⑴由 ， n=20，
得
⑵由 ，
得數列通項公式為：
由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，
使得成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100項。
評析：只要已知等差數列的兩個條件，就可求出等差數列的通項公式。
題型二 等差數列通項公式的形式
例2. 已知數列{}的通項公式，其中、是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？
解：當n≥2時, （取數列中的任意相鄰兩項與（n≥2））
為常數
∴{}是等差數列，首項，公差為p。
評析：由等差數列的定義，要判定是不是等差數列，只要看（n≥2）是不是一個與n無關的常數。
①若p=0，則{}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，…
②若p≠0, 則{}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數列的各點均在一次函數y=px+q的圖象上,一次項的系數是公差,直線在y軸上的截距為q.
③數列{}為等差數列的充要條件是其通項=pn+q (p、q是常數)。
備選題
例3. 如圖，三個正方形的邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的長組成等差數列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，這三個正方形的面積之和是１７９ｃｍ２．
（１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的長；
（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的長為等差數列的前三項，以第１０項為邊長的正方形的面積是多少？
【解】
設公差為ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x，則ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．
由題意得
解得或（舍去）
ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ）
（２）正方形的邊長組成首項是３，公差是４的等差數列｛ａｎ｝，所以
ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９．
ａ２１０＝３９２＝１５２１（ｃｍ２）．
所求正方形的面積為１５２１ｃｍ２．
評析：等差數列的通項公式的求出后，其余的量也就隨著確定。
點擊雙基
1．已知等差數列{an}的通項公式an=3-2n，則它的公差為 （　?。?br/>A．2 B．3 C．-2 D．-3
解：公差為-2，故選C
2．在數列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，則a101的值為 （　　）
A．49 B．50 C．51 D．52
解：，故選D
3. 等差數列中， ,則的值為（　?。?br/>A．2 B．4 C．6 D．8
解：，故選D
4．已知數列是等差數列，求未知項
解:,
5.在數列中，，且對任意大于1的正整數，點在直 上，則=_____________.
解：
課外作業
一、選擇題
1.數列｛an｝的通項公式an＝2n＋5，則此數列（ ）
A.是公差為2的等差數列 B.是公差為5的等差數列
C.是首項為5的等差數列? D.是公差為n的等差數列
解：是公差為2的等差數列 ，故選A
2．等差數列1，－1，－3，…，－89的項數是（　 ）
A．92 B．47 C．46 D．45
解：首項為1，公差為2的等差數列，an＝2n＋3，89=2n＋3，，故選C
3. △ABC中，三內角A、B、C成等差數列，則B等于 （　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
解：，故選B
4.已知等差數列的公差為d，則（為常數且）是（ ）
A、公差為d的等差數列 B、公差為的等差數列
C、非等差數列 D、以上都不對
解：，故選B
5.等差數列的前三項依次為，，，則它的第5項為（ ）
A、 B、 C、5 D、4
解：，它的第5項為4，故選D
6.設等差數列中，,則的值等于（ ）
A、11 B、22 C、29 D、12
解：，故選C
7.已知等差數列的首項，第10項是第一個比1大的項，則公差d的取值范圍是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：，，故選D
8.設等差數列中，已知，，，則是（ ）
A、48 B、49 C、50 D、51
解：，，，故選C
二、填空
9.在－1和8之間插入兩個數a,b，使這四個數成等差數列，則公差為
解：d==3
10. 等差數列中, 則的公差為_____________
解：
11. 等差數列中, 則_________
解：
三、解答
12．在等差數列中, 求的值．
解：解：
∴
13. 成等差數列的四個數的和為，第二數與第三數之積為，求這四個數
解：設四數為，則
即，
當時，四數為
當時，四數為
14. 已知等差數列{an}中,公差d>0,且滿足a2·a3=45,a1+a4=14,求數列{an}的通項公式.
解:∵a1+a4=14,
∴a2+a3=14.
由
解得或
∵d>0, ∴
∴d=4, an=5+(n-2)×4=4n-3.
思悟小結
1、深刻理解等差數列的定義，緊扣從“第二項起”和“差是同一常數”這兩點.
2、等差數列中，已知四個元素a1，an，n，d，中的任意三個，便可求出其余兩個.
3、等差數列的判斷方法：定義法或
第二課時：
典例剖析
題型一 求等差數列的項
例1. 在等差數列{}中，若+=9, =7, 求 , .
解：∵ {an }是等差數列
∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5
∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ ? =2, =32
評析：要求一個數列的某項，通常情況下是先求其通項公式。而要求通項公式，必須知道這個數列中的至少一項和公差，或者知道這個數列的任意兩項。
題型二 等差數列的通項公式
【例2】在等差數列中，已知，，求
【解法一】：∵，，則

∴
【解法二】：


評析：等差數列的通項公式涉及到四個量a1、an、n、d，用方程的觀點知三求一。列方程組求基本量是解決等差數列問題的常用方法，注意通項公式更一般的形式
備選題
【例3】若，則成等差數列。
【證明】由得
，
即，，
成等差數列。
評析：當已知a、b、c成等差數列時，通常采用2b=a+c作為解決問題的出發點.
點擊雙基
1．已知｛an｝是等差數列，a7+a13=20，則a9+a10+a11=（ ）
A.36 B.30 C.24 D.18
解：由a7+a13=20，，a9+a10+a11=，故選B
2、已知等差數列中，的值是( )
( )
A 15 B 30 C 31 D 64
解：已知等差數列中，
又，故選C
3、是首項=1，公差為=3的等差數列，如果=2005，則序號等于( )
A 667 B 668 C 669 D 670
解：是首項=1，公差為=3的等差數列，如果=2005，則1+3(n－1)=2005，
故n=669，故選C
4.等差數列中，的等差中項為，的等差中項為，則 .
解：，，
5、等差數列1，－3，－7，－11，…的通項公式是_________
解： ；-75
課外作業
一、選擇題
1. 設等差數列中，,則的值等于（C ）
A、11 B、22 C、29 D、12
解：也成等差數列，=29，故選C
2.在等差數列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8等于（ ）
A.45 B.75 C.180 D.300
解：a3+a4+a5+a6+a7=450， a2+a8，故選C
3. 等差數列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，則a6+a7= ( )
（A）9 （B）12 （C）15 （D）16
解：a2+a4+a9+a11=32，，
故選D
4. 設是公差為正數的等差數列，若，，
則( )
A． B． C． D．
解：,,
,故選B
5. 若等差數列的公差，則 （ ）
（A） （B）
（C） （D） 與的大小不確定
解：，故選B
6. 首項為－24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是?（ ）
A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3
解：，＜d≤3，故選D
7、在等差數列中，，
則為（ ）
A B C D
解：，
，故選C
8、已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四個根組成一個首項為的等差數列，
則|m－n|等于（ ）
A.1 B. C. D.
解：設4個根分別為x1、x2、x3、x4，則x1+x2=2，x3+x4=2，由等差數列的性質，當m+n=p+q時，am+an=ap+aq.設x1為第一項，x2必為第4項，可得數列為，，，，∴m=，n=.∴|m－n|=，故選C
二、填空
9.已知等差數列的第10項為23，第25項為－22，則此數列的通項公式為an＝
解：
10. 若等差數列中，則
解：
11、已知數列中，，，則數列通項__________
解：是以為首項，以為
公差的等差數列，
三、解答
12. 等差數列中，，（），求的值。
解：公差d=
13．已知數列為等差數列，且 求數列的通項式。
解:設等差數列的公差為d.
由即d=1.
所以即
14．數列中，，，求數列的通項公式
解：解：∵ ∴
∴ 即
∴ 數列是首項為，公差為的等差數列
∴
由已知可得 ∴
思悟小結
1、等差中項：若成等差數列，則A叫做與的等差中項，且
2、為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，…（公差為）；偶數個數成等差，可設為…，,…（公差為2）
3、當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
4、當時,則有，特別地，當時，則有.
5、若、是等差數列，則、 (、是非零常數)、、 ，…也成等差數列，而成等比數列；

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