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山東省棗莊市滕州市2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式從左到右的變形一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．若點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．或 D．
4．如圖，在中，，，是的角平分線，于點(diǎn)．若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，把繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，交于點(diǎn)D，若，則度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
6．若，則k的值是（ ）
A．10 B． C． D．14
7．如圖，在中，交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)F在上，且，連接，E為的中點(diǎn)，連接，則的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B．且
C． D．且
10．掀起了“人工智能+”的熱潮，某單位利用公司研發(fā)的兩個(gè)模型和共同處理一批數(shù)據(jù)．已知單獨(dú)處理數(shù)據(jù)的時(shí)間比少3小時(shí)，若兩模型合作處理，僅需2小時(shí)即可完成．設(shè)單獨(dú)處理需要小時(shí)，則下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
11．若，，則 ．
12．已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角總和為，且邊數(shù)之比為，則這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是 ．
13．如圖，在中，于點(diǎn)D，平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．若，則的長為 ．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（－1，0），B（2，0），C（0，1）為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的是 ．
15．如圖，設(shè)點(diǎn)是平行四邊形的邊上任意一點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，的面積為，則 ．

16．如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“方佳數(shù)”．例如：四位數(shù)4385，因?yàn)椋?385是“方佳數(shù)”；四位數(shù)4238，因?yàn)椋?238不是“方佳數(shù)”．若是“方佳數(shù)”，則這個(gè)數(shù)最小是 ．
三、解答題
17．（1）因式分解：；
（2）解方程：．
18．先化簡，再求值：，其中
19．如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
(1)將向右平移6個(gè)單位長度得到，請(qǐng)畫出；
(2)畫出關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形；
(3)若將繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．
20．生物實(shí)驗(yàn)課上要求：制作并觀察洋蔥鱗片葉肉內(nèi)表皮細(xì)胞臨時(shí)裝片，上周生物老師用20元購買了一部分洋蔥，本周實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)洋蔥不夠用，由于天氣原因，本周洋蔥單價(jià)上漲了20%，生物老師花了30元，但只比上周多買了10斤洋蔥．
(1)求上周生物老師買的洋蔥單價(jià)為每斤多少元？
(2)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一個(gè)洋蔥可供12名同學(xué)使用，兩個(gè)洋蔥正好1斤，本校參加生物實(shí)驗(yàn)的同學(xué)共2784人，如果本周洋蔥價(jià)格不變，那么生物老師至少應(yīng)再買多少斤洋蔥才能供給本校參加生物實(shí)驗(yàn)的同學(xué)所用？
21．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在，邊上，分別連接、，點(diǎn)M、N、H分別是、、的中點(diǎn)，連接、、．
(1)試猜想是何特殊三角形，并說明理由；
(2)若，，求線段的長．
22．定義：若分式與分式的差等于它們的積．即，則稱分式是分式的“友好分式”．如與．因?yàn)椋允堑摹坝押梅质健保?br/>(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表達(dá)式；
②若整數(shù)x使得分式A的值是正整數(shù)，求分式A的值．
23．如圖，在中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組要在上找兩點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：
甲方案 乙方案
分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn) 作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F
請(qǐng)回答下列問題：
(1)以上方案能得到四邊形為平行四邊形的是______，選擇其中一種并證明，若不能，請(qǐng)說明理由；
(2)若，，求的面積．
24．【提出問題】
利用“圖形”能夠證明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用圖形進(jìn)行證明，那么“圖形”能否證明“不等式”呢？請(qǐng)完成以下探究性學(xué)習(xí)內(nèi)容．
【自主探究】
用直角邊分別為a和b的兩個(gè)等腰直角三角形進(jìn)行拼圖，由圖①得到圖②．

（1）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖形變化，解決下列問題．
（ⅰ）圖①中兩個(gè)三角形的面積分別為___________和___________，圖②中長方形的面積為___________．（用含a，b的字母表示）
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，比較大小：__________．（填“>”或“<”）
（ⅲ）當(dāng)a和b滿足什么條件時(shí)，與相等？甲同學(xué)說：我可以通過計(jì)算進(jìn)行說明．乙同學(xué)說：我可以通過畫圖進(jìn)行說明．請(qǐng)你選擇其中一人的方法，進(jìn)行說明．
【知識(shí)應(yīng)用】
（2）已知，，且，利用（1）發(fā)現(xiàn)的結(jié)論求的最小值．
參考答案
1．B
解：A選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2．D
解：若，可得；；
故等式只有當(dāng)時(shí)才成立，故A不符合題意；
若，可得或；
故等式只有當(dāng)或時(shí)才成立，故B不符合題意；
當(dāng)時(shí)，分式無意義，故C不符合題意；
∵分式的分子和分母同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變，
∴，故D符合題意；
故選：D
3．D
解：∵點(diǎn)在第二象限，
∴
解得：，
故選：D．
4．C
解：，，
，
是的角平分線，于點(diǎn)，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故選：C．
5．C
解：由旋轉(zhuǎn)的定義得：和均為旋轉(zhuǎn)角，
，
，
，
故選：C．
6．B
解：
∴，
解得：，
故選：B．
7．A
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同法可證，
∴，
∴，
故選項(xiàng)B，C，D正確．
故選：A．
8．B
解：由題意知，，
∵，平分，
∴，即為的中點(diǎn)，
∵E為的中點(diǎn)，
∴．
故選：B．
9．B
解：關(guān)于的分式方程，
去分母得，，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，，
系數(shù)化為1得，，
分式方程的解是正數(shù)，
，
，
時(shí)，分式方程無意義，
，
，
，
綜上所述，且，
故選：．
10．A
解：∵單獨(dú)處理數(shù)據(jù)的時(shí)間比少3小時(shí)，
∴當(dāng)設(shè)單獨(dú)處理需要小時(shí)，則單獨(dú)處理數(shù)據(jù)的時(shí)間小時(shí)，
∵兩模型合作處理，僅需2小時(shí)即可完成．
∴，
故選：A．
11．24
，，
故答案為：24．
12．4，6
解：設(shè)這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別為．
根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，得，
解得．
所以，，
即這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是4，6．
故答案為：4，6．
13．6
解：∵于點(diǎn)D，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
是的中線，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：6．
14．（-3，1）或（1，-1）或（3，1）
如圖所示：
①以AC為對(duì)角線，可以畫出 AFCB，F(xiàn)（﹣3，1）；
②以AB為對(duì)角線，可以畫出 ACBE，E（1，﹣1）；
③以BC為對(duì)角線，可以畫出 ACDB，D（3，1）．
故答案為（-3，1）或（1，-1）或（3，1）．
15．1
解：如圖，過作，
∵點(diǎn)是平行四邊形的邊上任意一點(diǎn)，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為： ．
16．3162
解：由題意，，
∵均為正整數(shù)，且是最小的方佳數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴最小，
∴這個(gè)數(shù)最小是3162．
故答案為：3162
17．（1）；（2）原方程無解
解：（1）
；
（2）
去分母得：，
去括號(hào)得：，
解得，
檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
∴是原方程的增根，
∴原方程無解．
18．；
原式=
∵
∴
∴原式=
19．(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)
（1）如圖所示，
（2）如圖所示，
（3）由圖可知，，，
，，
則的中點(diǎn)為，即，
則的中點(diǎn)為，即，
的中點(diǎn)均為，
與 是以點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，
旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．
20．(1)上周生物老師購買洋蔥的單價(jià)為0.5元/斤
(2)生物老師至少要再購買26斤洋蔥
（1）解：設(shè)上周生物老師購買洋蔥的單價(jià)為元斤，則本周所買洋蔥的單價(jià)為元斤，
根據(jù)題意可列方程：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根且符合題意．
答：上周生物老師購買洋蔥的單價(jià)為0.5元斤；
（2）解：設(shè)生物老師還需再購買洋蔥斤，
則有，
解得，
答：生物老師至少要再購買26斤洋蔥．
21．(1)直角三角形且．
(2)．
（1）解：是直角三角形，且，理由如下：
∵是的中位線，
∴，
∴，
同理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且．
（2）解：∵是的中位線，，
∴，
同理得：，
由（1）可知：，
∴．
∴線段的長為．
22．(1)是
(2)①；② 1 , 3 或 4
（1）解：設(shè)．
，
，
故 是的“友好分式”，
故答案為： 是；
（2） ① 分式是分式A的“友好分式”， 設(shè)分式．
則
移項(xiàng)，得，
，
，
，
分式A為 ．
② ，要求A為正整數(shù)，x為整數(shù)且 ．
令（k正整數(shù)），則：，
，
，
，
x整數(shù)，故 k 2 整除2，即：
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)（舍去，非正整數(shù)）
A的值為 1 , 3 或 4 ．
23．(1)甲、乙兩種方案，證明見解析
(2)48
（1）證明：甲方案：如圖，連接，

∵在中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，，
∵，分別為，的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；
乙方案：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形．
故答案為：甲方案和乙方案；
（2）∵四邊形和四邊形都為平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：的面積為．
24．（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）見詳解（2）
解：（1）（ⅰ）由題意得
①中兩個(gè)三角形的面積分別為和，圖②中長方形ABCD的面積為，
故答案：，，；
（ⅱ）由圖②得
當(dāng)時(shí)，，
故答案：；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，
甲同學(xué)：當(dāng)時(shí)，
，
，
當(dāng)時(shí)，；
乙同學(xué)：
當(dāng)時(shí)，；
（2）
，
由（1）得：
，
，
，
的最小值為．

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