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數學校本教輔教師版:解三角形章末測試(新人教版必修5)

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  1. 二一教育資源

數學校本教輔教師版:解三角形章末測試(新人教版必修5)

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章末測試
一、選擇題(本大題共10小題,第小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符是合題目要求的.)
1.在△ABC中,已知AB=5,AC=6,BC=,則A= ( )
A B C D
解:cosA= A=
答案:A
2.在中,,,則等于(   )
(A)或 (B) (C) (D)以上都不對
解: sinB===B=或(不合)
答案:C
3.三角形兩邊分別為5和3,他們夾角的余弦是方程5x-7x-6=0的根,則三角形的面積是( )
A. 12 B. 6 C. 24 D. 4
解:方程5x-7x-6=0的根為-或2,余弦值為-,則正弦值為。則三角形的面積為=6
答案:B
4在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀一定是 ( )
A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等邊三角形
解:由2cosBsinA=sinC得×a=c,∴a=b
答案:C
5.在△ABC中,周長為7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列結論:
① ②
③ ④
其中成立的個數是 ( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
解:sinA:sinB:sinC=①正確,②錯誤。又△ABC周長為7.5cm
且,③正確,④錯誤
答案:C
6.已知△ABC的三邊長分別是2m+3,m+2m, m+3m+3(m>0),則最大內角的度數是( )
A. 150 B. 120 C. 90 D. 135
解:依題意可知m+3m+3所對的角為最大角,設為,則cos=-, 120
答案:B
7在△ABC中,b=asinC,c=acosB,則△ABC一定是( )
等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
解:由c=acosB得c=a,a△ABC直角三角形b=asinC=a=c
ABC等腰直角三角形
答案:D
8在△ABC中,由已知條件解三角形,其中有兩解的是
Ab=20,A=45°,C=80° Ba=30,c=28,B=60°
Ca=14,b=16,A=45° Da=12,c=15,A=120°
解:由a=14,b=16,A=45°及正弦定理,得=,所以sinB=因而B有兩值
答案:C
9.在△ABC中,已知,,B=,則 ( )
A 2 B C D
解:由得sinC=ca=2+1-2(-)=2+, a=
答案:B
10△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊,如果2b=a+c,∠B=30°,△ABC的面積為,那么b等于 ( )
A B1+ C D2+
解:∵2b=a+c平方得a2+c2=4b2-2ac
又△ABC的面積為,且∠B=30°,
故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=,得ac=6∴a2+c2=4b2-12
由余弦定理,得cosB====,
解得b2=4+2又b為邊長,∴b=1+
答案:B
二、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在題中橫線上.)
11已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則∠A=_______
解:由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc
∴=∴∠A=
答案:
12.在△ABC中,tanB=1,tanC=2,b=100,則c= .
解:由tanB=1,tanC=2,得sinB= ,sinC=,由得c=40
答案:40
13在銳角△ABC中,邊長a=1,b=2,則邊長c的取值范圍是_______
解:若c是最大邊,則cosC>0∴>0,∴c<
又c>b-a=1,∴1<c<
答案:(1,)
14在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若三角形的面積S=(a2+b2-c2),則∠C的度數是_______
解:由S=(a2+b2-c2)得absinC=·2abcosC∴tanC=1∴C=
答案:45°
15在△ABC中,若∠C=60°,則=_______
解:== (*)
∵∠C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab∴a2+b2=ab+c2
代入(*)式得=1
答案:1
三、解答題(本大題共5小題,共50分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
16.在△ABC中,若sinA=,試判斷△ABC的形狀.
解:∵sinA=,∴cosB+cosC=,
應用正、余弦定理得+=,
∴b(a2c2-b2)+c(a2-b2c2)=2bc(b+c),
∴a2(b+c)-(b+c)(b2-2bc+c2)=2bc(b+c)
即a2=b2+c2
故△ABC為直角三角形.
17如圖,某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動
賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數
y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象,且圖象的最高點為
S(3,2);賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽
運動員的安全,限定MNP=120
(I)求A , 的值和M,P兩點間的距離;
(II)應如何設計,才能使折線段賽道MNP最長?
解法一
(Ⅰ)依題意,有,,又,。
當 是,

(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120°,MP=5,
設∠PMN=,則0°<<60°
由正弦定理得
,

0°<<60°,當=30°時,折線段賽道MNP最長
亦即,將∠PMN設計為30°時,折線段道MNP最長
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,
由余弦定理得∠MNP=


從而,即
當且僅當時,折線段道MNP最長
18. 在中,內角對邊的邊長分別是,已知.
(1)若的面積等于,求,;
(2)若,求的面積.
解(1)由余弦定理及已知條件得,,
又因為的面積等于,所以,得.
聯立方程組解得,.
(2)由題意得,即,
當時,,,,,
當時,得,由正弦定理得,
聯立方程組解得,.
所以的面積.
19.如圖,在海岸A處,發現北偏東45方向距A為()n mile的B處有一艘走私船。在A處北偏西75°方向,距離A為2 n mile的C處的我方緝私艇奉命以
向北偏東30°方向逃竄。問:緝私艇沿什么方向行駛,才能在最短時間內追上走私船?并求出所需時間。
解:設緝私艇追上走私船需t h,由余弦定理,得:


由正弦定理,得:

∴∠ABC=45°
向A點的正北方向作直線,交BC于E點
則在△AEB中,可得∠AEB=90°
則可知C處恰在B處的正西方



答:
20已知△ABC中,2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圓半徑為
(1)求∠C;(2)求△ABC面積的最大值.
解:(1)由2(sin2A-sin2C)=(a-b)·sinB
得2(-)=(a-b)
又∵R=,∴a2-c2=ab-b2∴a2+b2-c2=ab∴cosC==
又∵0°<C<180°,∴C=60°
(2)S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin(120°-A)
=2sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=3sinAcosA+sin2A
=sin2A-sin2Acos2A+=sin(2A-30°)+
∴當2A=120°,即A=60°時,Smax=

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