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湖北省黃石市下陸區2024—2025學年下學期八年級數學期末考試
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列二次根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．一個正多邊形的每個外角都是36°，那么它是（ ）
A．正六邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十二邊形
4．已知一次函數的圖象經過點，且隨的增大而增大，則點的坐標可以是（ ）
A． B． C． D．
5．一組數據2，2，4，3，6，4，2的眾數和中位數分別是（　　）
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．2，4
6．矩形，菱形、正方形都一定具有的性質是（　　）
A．鄰角也相等 B．四個角都是直角
C．對角線相等 D．對角線互相平分
7．關于函數，下列結論正確的是（ ）
A．圖形經過第一、二、三象限 B．當x>時，y<0
C．y隨x的增大而增大 D．圖形必經過點（-2，1）
8．的三邊分別為、、，由下列條件能判定為直角三角形的是（　　）
A． B．
C．，， D．
9．數形結合是解決數學問題常用的思想方法．如圖，直線與直線相交于點．根據圖象可知，關于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在四邊形中，，，，點從點出發，以的速度向點運動，點從點同時出發，以相同的速度向點運動，當其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動，設點的運動時間為（單位：），下列結論①當時，四邊形為矩形；②當時，四邊形為平行四邊形；③當時，或；④當時，或。其中結論正確的個數有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
11．若二次根式有意義，則x的取值范圍是 ．
12．如圖，這是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面的高度是 尺（1丈尺）．
13．若直線與交于x軸上一點，則m為 ．
14．將一組數據按照從小到大的順序排列為：1，3，4，x，6，8，若中位數為5，則這組數據的眾數為 ．
15．直線與軸交于點A，與軸交于點，點是軸上一動點，當是以為腰的等腰三角形時，點的坐標為 ．
三、解答題
16．計算：
(1)；
(2)已知，求代數式的值．
17．如圖，在中，點E在邊上，點F在邊上，，連接．
(1)求證：
(2)若，求證：四邊形是矩形．
18．為弘揚向善、為善優秀品質，助力愛心公益事業，我校組織“人間自有真情在，愛心助力暖人心”慈善捐款活動，八年級全體同學參加了此次活動.隨機抽查了部分同學捐款的情況，統計結果如圖①和圖②所示.
(1)本次共抽查了________人；并補全上面條形統計圖；
(2)本次抽查學生捐款的中位數為________；眾數為________；
(3)全校有八年級學生1100人，估計捐款金額超過15元（不含15元）的有多少人？
19．如圖，已知過點的直線與直線：相交于點.
（1）求直線的解析式；
（2）求四邊形的面積.

20．在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上形如 的式子，這樣的式子我們可以將其進一步化簡， ，，這種化簡的方法叫做分母有理化，請利用分母有理化解答下列問題：
(1)化簡： ______；______；
(2)矩形的面積為 ，一邊長為 ，求這個矩形的周長；
(3)當時，化簡：．
21．某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元．
(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；
(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．
①求y關于x的函數關系式；
②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？最大利潤是多少？
22．如圖，在矩形中，，，點P從點D出發向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是．連接．設點P、Q運動的時間為．
(1)當t為何值時，四邊形是矩形；
(2)當t為何值時，四邊形是菱形；
(3)分別求出（2）中菱形的周長和面積
23．勾股定理是用代數思想解決幾何問題的重要工具，是數形結合的紐帶．閱讀材料，回答問題：
（1）中國古代數學著作《周髀算經》（如圖）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經隅五”這句話的意思是：如果直角三角形兩直角邊長分別為3和4，那么斜邊的長為5．
（2）上述記載表明了：在中，如果，，，，那么，，三者之間的數量關系是 ．
（3）對于這個數量關系，我國漢代數學家趙爽根據“趙爽弦圖”（如圖，它是由八個全等的直角三角形圍成的一個正方形），利用面積法進行了證明．參考趙爽的思路：將下面的證明過程補充完整：
證明：∵，， ，且 = ，
∴整理得，，
∴ ．
（4）如圖 ，把矩形折疊，使點C與點A重合，折痕為，如果，，求的長．
24．如圖，直線與y軸，x軸分別交于A，B兩點，以為邊在第二象限內作正方形，點E為邊的中點，作，交邊于點F．
(1)求邊的長；
(2)求直線的解析式；
(3)求點F的坐標．
湖北省黃石市下陸區2024—2025學年下學期八年級數學期末考試參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C B D B B C A
1．A
【詳解】解：A、是最簡二次根式，符合題意；
B、不是最簡二次根式，不符合題意；
C、不是最簡二次根式，不符合題意；
D、不是最簡二次根式，不符合題意；
故選A．
2．C
【詳解】解：A、沒有同類二次根式，不能合并，故此選項不符合題意；
B、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
C、，正確，故此選項符合題意；
D、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
故選：C．
3．C
【詳解】解：，
是正十邊形．
故選：C．
4．C
【詳解】解：A、當點A的坐標為時，，
解得：，
∴y隨x的增大而減小，選項A不符合題意；
B、當點A的坐標為時，，
解得：，
∴選項B不符合題意；
C、當點A的坐標為時，，
解得：，
∴y隨x的增大而增大，選項C符合題意；
D、當點A的坐標為時，，
解得：，
∴y隨x的增大而減小，選項D不符合題意；
故選：C．
5．B
【詳解】解：數據中2出現3次，4出現2次，3和6各出現1次，
因此眾數為2，
將數據從小到大排列為：2，2，2，3，4，4，6．共有7個數據，中位數為第4個數，即3．
綜上，眾數為2，中位數為3，
故選：B．
6．D
【詳解】因為矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，
所以一定具有的性質是對角線互相平分，
故選：Ｄ．
7．B
【詳解】A、由，則圖象必過第二、四象限，由b=1>0，則圖象還過第一象限，即函數圖象過第一、二、四象限，故本選項錯誤；
B、令得：，又，y隨x的增大而減小，則當x>時，y<0，故本選項正確；
C、， y隨x的增大而減小，故本選項錯誤；
D、當x=-2時，，則圖形不經過點（-2，1），故本選項錯誤；
故選：B．
8．B
【詳解】解：A．由不能判定為直角三角形，故本選項不符合題意；
B．∵，
∴，
∴c為斜邊，，即是直角三角形，故本選項符合題意；
C．∵，，，
∴，
∵，
∴不是直角三角形，故本選項不符合題意；
D．∵，
∴，即是銳角三角形，故本選項不符合題意．
故選：B．
9．C
【詳解】解：由題意可知，
當時，
直線的圖像位于直線圖像的上方，
即關于的不等式的解集為：．
故選：C．
10．A
【詳解】解：根據題意，可得，，
∵，，
∴，，
當四邊形為矩形時，，
即，解得，故①不正確；
當四邊形為平行四邊形時，則，
即，解得，故②不正確；
當時，分兩種情況：
當四邊形是平行四邊形時，則，
即，解得，
當四邊形是等腰梯形時，
過點作于點，過點作于點，如圖所示，

則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，，，
∴，
即，
解得，
綜上可得，當時，或，
故③錯誤，④正確，
∴正確的結論有個．
故選：
11．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
12．
【詳解】解：設長為x尺，則尺，
在中，尺，
，
，
解得：，
則折斷處離地面（即）的高度是尺．
故答案為：．
13．
【詳解】解：當時，，解得，
∴兩直線的交點坐標為，
將代入得，，解得，
故答案為：．
14．6
【詳解】解：∵這組數據的中位數是5，
∴，
解得：，
這組數據為：1，3，4，6，6，8，因為6出現的次數最多，故眾數為6．
故答案為6．
15．或或
【詳解】解：把代入函數，得
，解得，
∴，
把代入函數，得，
∴，，
∵是以為腰的等腰三角形，
①當時，
若點C在點A的右側，如圖
在中，，
∴，
∴，
∴點C的坐標為，
若點C在點A的左側，如圖
則，
∴，
∴點C的坐標為
②當時，如圖
，
，
∴點C的坐標為，
綜上所述，點C的坐標是或或．
故答案為：或或．
16．(1)
(2)
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：將代入得
原式
．
17．(1)見解析
(2)見解析
【詳解】（1）∵中，，
且，
∴，
∴；
（2）∵中，，
且，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴是矩形．
18．(1)50，補圖見解析
(2)15，15
(3)220人
【詳解】（1）解： （人，
“捐款為15元”的學生有（人，補全條形統計圖如下：
（2）學生捐款金額出現次數最多的是15元，共出現18次，因此捐款金額的眾數是15元，
將這50名學生捐款金額從小到大排列處在中間位置的兩個數都是15元，因此中位數是15元，
故答案為：15，15；
（3）捐款金額超過15元（不含15元）的人數（人），
所以全校八年級學生為1100名，捐款金額超過15元（不含15元）的人數為220人，
19．（1）；（2）
【詳解】
解：（1）∵點P是兩直線的交點，
將點P（1，a）代入
得，即
則的坐標為，
設直線的解析式為：，
那么，
解得： .
的解析式為：.
（2）直線與軸相交于點，直線與x軸相交于點A
的坐標為，點的坐標為
則，
而，
20．(1)，
(2)
(3)
【詳解】（1）解：，
（2）矩形的另外一邊長為：
∴矩形的周長為：．
（3）當時
21．(1)每臺A型電腦的銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元
(2)①（，且x為正整數）；②該商店購進34臺A型電腦、66臺B型電腦時，銷售利潤最大，，最大利潤是13300元
【詳解】（1）解：設每臺A型電腦的銷售利潤為m元，每臺B型電腦的銷售利潤為n元，
根據題意得：，
解得：．
答：每臺A型電腦的銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元；
（2）①根據題意得：，
∵B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，
∴，
解得：，
∵，且x為正整數，
∴，
∴y與x的關系式為（，且x為正整數），；
②∵，
∴y隨x的增大而減小，
∴當時，y取得最大值，最大值為，此時（臺）．
答：該商店購進34臺A型電腦、66臺B型電腦時，銷售利潤最大，最大利潤是13300元．
22．(1)
(2)
(3)15，
【詳解】（1）解：∵在矩形中，，
∴，
由已知可得，，
在矩形中，，
當時，四邊形為矩形，
∴，得，
故當時，四邊形為矩形；
（2）∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴當，即時，四邊形為菱形
即時，四邊形為菱形，解得，
故當時，四邊形為菱形；
（3）當時，，
則周長為；
面積為．
23．（2）；（3） ； ；； ；（4）；
【詳解】解：（2） ；
（3）∵，，
，且，
∴整理得，，
∴．
（4）∵矩形折疊后點C與點A重合，
∴，
設，則，
在中，由勾股定理得
即，解得，
∴；
24．(1)10
(2)
(3)
【詳解】（1）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
解得，
∴，
∴，，
在中，；
（2）解：過點C作軸于點G，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴設直線的解析式為，
把代入得，，
解得，
∴直線的解析式為；
（3）解：把繞點B逆時針旋轉得到，連接、，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由旋轉的性質得，，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴點在的延長線上，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵點E是的中點，，
∴，
設，則，，
在中，，
又∵，
∴，
解得，
∴，
過點D作軸于點G，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，點E是的中點，
∴，即，
由（2）得，直線的解析式為
設，
∴，
解得或，
∵點F在上，
∴，
∴，
∴．

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