資源簡介

第四課時：余弦定理（二）
知識梳理
1．余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到邊的轉換）
2.解決以下兩類問題：
1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）
2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）
3.三角形ABC中
典例剖析
題型一：利用余弦定理解三角形
例1在中，已知，，，，求c.
解∵且，∴為鈍角，，
由余弦定理知，∴
即，解得或（舍去）
∴.
評述 已知三角形的三邊或兩邊和一角可應用余弦定理求解。熟練掌握余弦定理是解題的關鍵，同時還要注意方程思想的運用。
題型二：判斷三角形的形狀
例2在中，若，試判斷的形狀.
解：方法一：
由正弦定理和已知條件得：，
∵，∴，即，
∵B、C為的內角，∴，
故為直角三角形.
方法二：
原等式變形為：，
即：，
由余弦定理得：
故為直角三角形.
評述：判斷三角形的形狀，一般是從題設條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理進行邊角變換，全化為邊的關系或全化為角的關系，導出邊或角的某種特殊關系，然后利用平面幾何知識即可判定三角形的形狀。
備選題：余弦定理的應用
例3：已知A、B、C是△ABC的三個內角，且滿足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB
求證：A＋B＝120°
證明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB
可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB
又∵sinA＝，sinB＝，sinC＝，
∴＋－＝·
整理得a2＋b2－c2＝ab
∴cosC＝＝
又0°＜C＜180°，∴C＝60°
∴A＋B＝180°－C＝120°
評述：（1）有關三角形內角的證明，選擇余弦值與正弦值相比較，要省去取舍的麻煩.但注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時，應先確定角的范圍；
（2）在將已知條件中角的關系轉化為邊的關系時，運用了正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，這一轉化技巧，要求熟練掌握.
（2）解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式，但應注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一定要先確定角的范圍.另外，也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，在等式sinB·cosA＝sinAcosB兩端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.
點擊雙基
1.在在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=,則AC邊上的高為（ ）
A. B. C. D,
解：由余弦定理知：cosA===,A=
AC邊上的高為ABsinA=
答案：B
2.在在△ABC中,已知其面積S=（a）,則角C的度數(shù)為（ ）
A. 135 B. 45 C. 60 D. 120
解：S=（a），absinC=（a）sinC=
即sinC=cosC,tanC=1C=45
答案：C
3．在△ABC中，若，則其面積等于（ ）
A． B． C． D．
解：
答案：D
4.. 已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、，則的取值范圍是 ．
解：在銳角三角形中，
答案：
5．在△ABC中，若，則
解：
答案：120
課后作業(yè)
1若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段能組成（ ）三角形。A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.等腰
解：長為7的邊所對角最大，設它為， 則

答案：A
2.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 則∠C的度數(shù)（ ）A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
解：由a4+b4+c4=2(a2+b2)c，得 a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0
(a)= a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc, a=
==,C=450或1350
答案：B
3.設a,a+1,a+2是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是 ( )A. B. C. D.4解：a,a+1,a+2是鈍角三角形的三邊，則（a+2）>a+(a+1)，a<0
-10
答案：A
4. △ABC中，a,b,c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若<0,則△ABC （ ）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 銳角或鈍角三角形
解：由余弦定理得cosC<0,C是鈍角
答案：C
5.已知△ABC的三邊滿足（a+b+c）(a+b-c)=3ab,則C的度數(shù)為（ ）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
解：由條件將a+b看作一個整體，利用平方差公式得到（a+b）-c=3ab,化簡整理，得
a=ab,cosC===,C= 60
答案：D
6.在△ABC中，cos=,則△ABC的形狀是（ ）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
解：根據(jù)余弦的二倍角公式變形式，原式可化為=，cosA=
=,a+b=c△ABC為直角三角形
答案:B
7.在△ABC中，若，，C=，則此三角形有( )
A. 一解 B. 兩解 C. 無解 D. 無法判斷
解：由余弦定理得：
負值不合題意，舍去。
答案：A
8. 若的周長等于20，面積是，，則邊的長是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解：由三角形面積，得，
又∵的周長等于20，∴
由余弦定理得：==
∴，解得.
答案：C
二．填空題
9.在△ABC中，A=600,最大邊和最小邊的長是方程的兩實根，那么BC邊長等于 .
解： A=600最大邊和最小邊為b,c, 最大邊和最小邊的長是方程的兩根，b+c=9,bc=, a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49, a=7
答案：7
10.在△ABC中，a=1,B=450,,則△ABC的外接圓的直徑是 .
解：S =acsinB=c,c=4,=25
2R===5
答案：5
11.在△ABC中,,則角A= .
解：由得，
又=-，A=120
答案：120
三．解答題
12. 在四邊形ABCD中，四個角A、B、C、D的度數(shù)的比為3:7:4:10，求AB的長。
解：設四個角A、B、C、D的度數(shù)分別為3x、7x、4x、10x
則有
解得

連BD，在中，由余弦定理得：



是以DC為斜邊的直角三角形





13.在△ABC中，bcosA＝acosB，試判斷三角形的形狀.
解法一：利用余弦定理將角化為邊.
∵bcosA＝acosB
∴b·＝a·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2
∴a2＝b2 ∴a＝b
故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理將邊轉化為角.
∵bcosA＝acosB
又b＝2RsinB，a＝2RsinA
∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB
∴sinAcosB－cosAsinB＝0
∴sin（A－B）＝0
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π
∴A－B＝0，即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
14.在中，角所對的邊分別為，且滿足， ．
（I）求的面積； （II）若，求的值．
解析：（I）因為，，又由，得， 21世紀教育網
（II）對于，又，或，由余弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.

展開更多......

收起↑