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第三課時：余弦定理（一）
知識梳理
余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到邊的轉換）(2)解決以下兩類問題：
1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）
2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）
題型一 根據三角形的三邊關系求角
例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
解：∵＝＝＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶
設a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
則最大角為C.cosC＝
＝＝－
∴C＝120°.
評析：在將已知條件中角的關系轉化為邊的關系時，運用了正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，這一轉化技巧，應熟練掌握.在三角形中，大邊對大角，所以角C最大。
題型二 已知三角形的兩邊及夾角解三角形
例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的兩根，。
求角C的度數；
求的長；
（3）求△ABC的面積。
解：(1)
（2）因為，是方程的兩根，所以

（3）
評析：在余弦定理的應用中，注意與一元二次方程中韋達定理的應用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點。
備選題 正、余弦定理的綜合應用
例3.在中，內角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且 求b
解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
評析:從近年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應注意總結、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.此題事實上比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.
例3．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為，，，證明：
。
證明：由余弦定理知：
，
則
，
整理得:
，
又由正弦定理得:
， ，


評析：三角形中的證明，應充分利用正、余弦定理，三角函數的公式，在邊、角關系中，明確證明思路，都化為邊的關系或都化為角的關系。
. 點擊雙基
1．在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,則∠A的度數是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
解：=，A=30°
答案：A
2．在△ABC中，若則 ( )
A． B． C． D．
解：

答案：B
3. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形
解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
4．在△ABC中，若∶∶∶∶，則_____________。
解：∶∶∶∶∶∶，
令
答案：
5. 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知 則A＝ .
解：由余弦定理可得，
∴
答案：
課后作業
1．邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
解： 設中間角為，則為所求
答案：B
2. 以4、5、6為邊長的三角形一定是（ ）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 銳角或鈍角三角形
解：長為6的邊所對角最大，設它為， 則

答案：A
3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
解：設頂角為C，因為，
由余弦定理得：
答案：D
4.在中，角A、B、C的對邊分別為、、，若，則角B的值為（ ）
A. B. C.或 D. 或
解：由得即
,又B為△ABC的內角，所以B為或
答案：D
5．在△ABC中，若，則最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
解： ，為最大角，
答案：C
6. 在中，，則三角形為（ ）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 等腰三角形 D. 等邊三角形
解：由余弦定理可將原等式化為


答案：C
7.的內角的對邊分別為，若，則等于（ ）
A． B．2 C． D．
解：由余弦定理得，，6=a+2+aa=或-2（舍去）
答案：D
8. 三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為（ ）
A. 52 B. C. 16 D. 4
解：由題意得或2（舍去）
答案：B
二．填空題
9.△ABC中，若，則A=
解：= A=
答案：
10．在△ABC中，若則△ABC的形狀是_________。
解： 為最大角，為銳角
答案：銳角三角形
11．在銳角△ABC中，若，則邊長的取值范圍是_________。
解：
答案：
三．解答題
12.在△ABC中：
(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.
解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得
a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.
(2)由cosB＝得
cosB＝＝0，∴B＝90°.
(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得
b2＝(3)2＋22－2×3×2cos150°＝49，∴b＝7.
(4)由cosA＝得
cosA＝＝，∴A＝45°.
13在△ABC中，，求。
解：
，而
所以
14半徑為R的圓外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．求角C；
解：(1)∵　
∵　2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB
∴　2R［()2-()2］＝(a-b)·∴　a2-c2＝ab-b2
∴　∴　cosC＝，∴　C＝30°

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