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第二課時：正弦定理（二）
知識梳理
1.在△ＡＢＣ中，A>Ba>bsinA>sinB
2.在△ＡＢＣ中，A+B+C=, ,
,
3.若為銳角，則＞A>-BsinA>cosBcosA4.=ah( h表示a邊上的高)
5.正弦定理的另一個作用是能夠進行邊角互化，應用此法可根據條件判斷三角形形狀或證明三角形中的公式，但要注意三角形和三角函數的有關知識。
題型一 判斷三角形的形狀
【例1】在△ＡＢＣ中，已知＝＝，試判斷△ＡＢＣ的形狀．
【解】令＝ｋ，由正弦定理，得
代入已知條件，得＝＝　　，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．
又Ａ，Ｂ，Ｃ∈ （０，π），
所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，從而△ＡＢＣ為正三角形．
點評: 　判斷三角形的形狀，必須深入研究邊與邊的大小關系，角與角的大小關系，是否角相等？有無直角或鈍角?一般有兩種轉化方向，要么轉化為邊，要么轉化為角。通過正弦定理，可以實現邊角互化．
題型二 正弦定理的應用
例2. 在△ＡＢＣ中，tanA=,tanB=,且最長邊的長為l,求：（1）角C,（2）最短邊的長
解：（1） tan（A+B）==1,C=
（2）tanA>tanB，且C為鈍角，故b最小，c最大，由tanB=得sinB=
由正弦定理得，最短邊長b=l
點評: 利用正弦定理解三角形中，要注意三角形和三角函數的有關知識。
備選題 正弦定理的綜合應用
例3 已知△ABC的面積為1，tanB=,tanC=-2,求△ABC的邊長以及△ABC外接圓的面積。
解： tanB=，0又tanC=-2,則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(―)+=
, a==b
則S=absinC=b=1
解得b=,于是a=
再由正弦定理得c==
外接圓的直徑2R==
R=,于是外接圓的面積的面積S==
點評 綜合應用同角三角函數關系式，正弦定理和三角形的面積公式進行計算。
點擊雙基
1．在△ABC中，角均為銳角，且則△ABC的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
解 都是銳角，則
答案C
2.在中，，則 ( )
A． B． C． D．
解： A=120,B=C=30
答案：D
3．在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能確定 D．等腰三角形
解.

答案:B
4.在△ABC中，若則一定大于，對嗎？填_________（對或錯）
解： 則
答案 對
5．在△ABC中，若_________。
解：
答案：
課后作業
一、選擇題
1．在△ABC中，若，，則△ABC的形狀是（ ）
A．直角三角形 B。等腰或直角三角形 C。等腰直角三角形 D。等腰三角形
解：a=b+cA=90B+C=90,cosC=sinB
又 sinB=,B=45=C
答案：C
2. 在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，則解此三角形的結果是 （　　 ）
A.無解 B.一解 C.兩解 D.解的個數不能確定
解：=， sinC==,有兩解
答案：C
3. 已知△ABC中，，，三角形面積，則角A等于（ ）
A. B. C. 或 D. 或
解：由可得，∴或.
答案：D
4.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，則A∶B∶C等于(　 )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
解：a∶b∶c＝1∶∶2c=a+b△ABC是直角三角形且C=90，A=30,B=60
答案：A
5．在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形 C．不能確定 D．等腰三角形
解：
，
答案：等腰三角形
6．在△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么滿足條件的△ABC ( )
(A) 有 一個解 (B) 有兩個解 (C) 無解 (D)不能確定
解：bsinA=2 a< bsinA 不能構成三角形
答案：D
7. 已知、、為的三個內角、、的對邊，向量，．若，且，則角、的大小分別
為（ ）
A． B． C． D．
解：∵ ∴，
又
，∴.
答案：C
8.△ABC中，則△ABC的周長為（ ）
A． B．
C． D．
解：在中，由正弦定理得：化簡得AC=
，化簡得AB=，
所以三角形的周長為：3+AC+AB=3++
=3+。
答案：D
二、填空
9.在中，若，且，則 ， ， ．
解：a:b:c=4:5:64 ，5 ，6 ．
10．若在△ABC中，則=_______。
解：

答案：
11.在銳角中，則的值等于 ，
的取值范圍為 .
解: 設由正弦定理得
由銳角得，
又，故，
答案：2，
三．解答題
12. 在△ABC中，已知=,且sinAsinB=sinC,判斷△ABC的形狀。
解：由== b-a=ab
又sinAsinB=sinC，由正弦定理得ab=c b-a=c即 b=a+c
△ABC為直角三角形
13. 在中，，.
（1）求角C的大小；
（2）若的最長邊為，求最短邊的長.
解：（1）∵，
∴=
又∵角C為的內角，∴.
（2）∵，∴為最長邊，，
又∵，、 ∴，角最小，邊最短，
由得，
由正弦定理：，得
所以最短邊的長為.
14.已知ΔABC的三個內角A、B．C成等差數列，其外接圓半徑為1，且有。（1）求A、B．C的大小；（2）求ΔABC的的面積。
解：∵A+B+C=180°且2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A。
∵，
∴=，

又∵0°當A=60°時，B=60°，C=60°，
當A=105°時，B=60°，C=15°，

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