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第一課時：正弦定理（一）
知識梳理
1、正弦定理
形式一： (2R為外接圓的直徑)
形式二：；；；（角到邊的轉換）
形式三：，，；（邊到角的轉換）
形式四：；（求三角形的面積）
2.解決以下兩類問題：
1）、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）
2）、已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）。
典例剖析
題型一 已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角
例1在中，，，，求，．
【解】因為，，所以．因為，
所以，．
因此， ，的長分別為和．
評析：已知三角形的任意兩個角和一邊，由三角形內角和定理，可以計算出三角形的另一角，并由正弦定理求出另兩邊．
題型二 已知兩邊及其一邊的對角，求其他的邊和角
例2：根據下列條件解三角形：
（1）；
（2）．
【解】（1），∴，
，∴，∴為銳角， ∴，∴．
（2），∴，∴，
∴當
∴當所以，．
評析：已知三角形兩邊和其中一邊的對角，解三角形。首先求出另一邊的對角的正弦值，其次根據該正弦值求角時，需對角的情況加以討論是否有解？如果有解，是一解，還是兩解？
備選題 正弦定理的應用
例3.在ABC中，, sinB=.
（I）求sinA的值；
(II)設AC=，求ABC的面積.
解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，
∴，又，∴
（Ⅱ）如圖，由正弦定理得
∴，又
∴
點評：解三角形問題，還常常用到三角函數中的有關公式進行邊角互化。
點擊雙基
1．在△ABC中，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
解：
答案：C
2．在△中，若，則等于（ ）
A． B．
C． D．
解： 或
答案：D
3．△ABC中，，A=，則邊= （ ）
A 6 B 12 C 6或12 D
解：，sinB== B=
當B=60時，C=180-A-B=90，c==12
當B=120時，C=180-A-B=30，c=a=6
答案：C
4．在△ABC中，，則的最大值是_______________。
解：
答案：
5．在△ABC中，若_________。
解：
答案：
課外作業
一、選擇
1．在△ABC中，，則等于（ ）
A． B． C． D．
解.
答案：C
2. 在△ABC中，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
解:
答案：D
3.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4,則A、B、C大小關系是（ ）
A.A解：a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:2:4,根據三角形中大邊對大角，B答案：B
4.在△ABC中，已知a=5,c=10,A=30,則B等于（ ）
A. 105 B. 60 C. 15 D. 105或15
解： sinC== C=45或135
當C=45時，B= 105;當C=135時，B= 15
答案：D
5. 已知中，，，，那么角等于（ ）
A． B． C． D．
解：由正弦定理得:
答案：C
6.已知中，的對邊分別為若且，則 （ ）
A.2 B．4＋ C．4— D．
解：
由可知,,所以,
由正弦定理得,故選A
答案：A
7. 滿足=4，A=，C=105的△ABC的邊的值為（ ）
A B C D
解：A=，C=105 ，B=，由正弦定理得:b===2
答案：A
8. 在中,,，則的外接圓半徑為（　　?。?br/>（A） （B）3 （C） （D）6
解：的外接圓直徑2R===6，R=3
答案：B
二、填空題
9 在△ABC中，b=4asinB,則A=
解：b=4asinB, sinB =4sinA sinB, sinA =,在△ABC中,0 sinA =，A=或
答案：或
10、在三角形ABC中，、、所對的角分別為A、B、C，且，則△ABC是 三角形。
解：依題意，由正弦定理得：，a=b=c,即△ABC為等邊三角形
答案：等邊
11、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為、b、c ，若，則
解：依題意，由正弦定理得：,
即, ∴
答案：
三、解答題
12．在△ABC中，，∠B=，=1，求和∠A、∠C
解：由正弦定理知：
解得 或1500，因為 A+B+C=1800，所以 C=1500不合題意，舍去。
從而有 A=900， 。
13.在中，角的對邊分別為，。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面積.
解：（Ⅰ）∵A、B、C為△ABC的內角，且，
∴，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴.
∴△ABC的面積.
14.設△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，,，求B.
解：由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，
cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故 ，
或 （舍去），
于是 B= 或 B=.
又由 知或
所以 B=。

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