資源簡介

第七課時：正、余弦定理的應用舉例（2）
知識梳理
2. 解斜三角形的應用問題，通常需根據題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實際問題的解，其中建立數學模型的方法是我們的歸宿，用數學手段來解決實際問題，是學習數學的根本目的。
3. 解題應根據已知合理選擇正余弦定理，要求算法簡潔、算式工整、計算準確。
典例剖析
題型一 正、余弦定理在幾何中的應用
例1如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值
解：設∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：?
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ?
∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋
∴當θ－＝即θ＝時，ｙmax＝2＋
評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據，一般地也是分析幾何量之間關系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性另外，在求三角函數最值時，涉及到兩角和正弦公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構造及逆用，應予以重視?
題型二 正、余弦定理在函數中的應用
例2 如圖，有兩條相交成角的直線、，交點是，甲、乙分別在、上，
起初甲離點千米，乙離點千米，后來兩人同時用每小時千米的速度，甲沿 方向，乙沿方向步行，
（1）起初，兩人的距離是多少？
（2）用包含的式子表示小時后兩人的距離；
（3）什么時候兩人的距離最短？
解：（1）設甲、乙兩人起初的位置是、，
則
，
∴起初，兩人的距離是．
（2）設甲、乙兩人小時后的位置分別是，
則，，
當時，；
當時，，
所以，．
（3），
∴當時，即在第分鐘末，最短。
答：在第分鐘末，兩人的距離最短。
評析：（2）中，分0t和t>兩種情況進行討論，但對兩種情形的結果進行比較后發現，目標函數有統一的表達式，從而（3）中求最值是對這個統一的表達式進行運算的。
備選題 正、余弦定理的綜合應用
例3 如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，設(MGA＝(（）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；表示為(的函數，
（2）求y＝的最大值與最小值。
解析：（1）因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝，(MAG＝，由正弦定理
得，
則S1＝GM(GA(sin(＝。同理可求得S2＝。
（2）y＝＝＝72（3＋cot2(）
因為，
所以當(＝或(＝時，y取得最大值ymax＝240，當(＝時，y取得最小值ymin＝216。
點評：三角函數有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉化為我們熟知的函數，這些解題思維的拐點。
點擊雙基
1．在△ABC中，，則△ABC 的面積為 （ ）
A. B. C. D. 1
解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80
= ===
答案：C
2.如圖所示:在一幢20m高的樓頂A測得對面一塔頂C的仰角為 60,塔基D的俯角為 45,則這座塔的高是( )
A. 20m B. 10m C. (10+ 10)m D. (20+20)m
解：可知BAD=45,AE=20,AB=20, BAC=60,
CB=ABtan60=20所以這座塔的高CD=(20+20)m
答案：D
3．在△ABC中，根據下列條件解三角形，則其中有兩個解的是 （ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° ? D．a = 14，b = 16，A = 45°
解：A,B可根據余弦定理求解，只有一解，選項C中，A為銳角，且a>b, 只有一解.
選項D中所以有兩個解。
答案：D
4. 一船向正北航行，看見正西方向有相距10 海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西600，另一燈塔在船的南偏西750，則這艘船是每小時航行____。
解：10海里
5．某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車與第三輛車的距離之間的關系為 （ ）
A. B.
C. D. 不能確定大小
解：依題意知BC=,CD=,BAC=CAD.
△ABC中,
△ACD中,
BC答案：C
課后作業
1.有一長為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長（ ）
A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里
答案：A
2.邊長分別為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（ ）
A. 90 B. 120 C. 135 D. 150
解：用余弦定理算出中間的角為60.
答案：B
3. 下列條件中，△ABC是銳角三角形的是（ ）
A.sinA+cosA= B.·＞0 C.tanA+tanB+tanC＞0 D.b=3，c=3，B=30°
解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.
由·＞0，得·＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.
由=，得sinC=，∴C=或.
答案：C
4、已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（ ）
A． B． C． D．
解： 答案：B
5.某市在“舊城改造”中計劃內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要（ ）
A． 450a元 B．225 a元 C． 150a元 D. 300a元 
解：S==150購買這種草皮至少要 150a元
答案：C
6.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（ ）
A． 分鐘 B．分鐘 C．21.5分鐘 D．2.15分鐘
解：設航行時間為t小時，則兩船相距
=
t=-小時=分鐘
答案：A
7.飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達B處，此時測得目標C的俯角為60°，這時飛機與地面目標的水平距離為（ ）
A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D． 米
解：=30°, DBC=60°,AB=1000. CB=10000.BD=5000
答案：A
8如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為
A75° B60° C50° D45°
解：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長DE交直線AB于F，連結CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設為α要使S△ABD最大，只需DF最大
在△CFD中，=
∴DF=
∵CF為定值，∴當α=50°時，DF最大
答案：C
二．填空題
9.某船在海面A處測得燈塔C與A相距海里，且在北偏東方向；測得燈塔B與A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D處，測得燈塔B在南偏西方向。這時燈塔C與D相距 海里
答案：
10.在△ABC中，已知 60°，如果△ABC 兩組解，則x的取值范圍是
解：asinB答案：
11．一船以每小時15km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為
km
答案：
三．解答題
12.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？
解：由題設，畫出示意圖，設汽車前進20千米后到達B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
則sinC =1- cosC =,
sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在MAC中，由正弦定理得 MC ===35
從而有MB= MC-BC=15
答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。
13．如圖，為了解某海域海底構造，在海平面內一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知，，于A處測得水深，于B處測得水深，于C處測得水深，求∠DEF的余弦值。
解：作交BE于N，交CF于M．21世紀教育網
，
，
．　
在中，由余弦定理，
14. 在中，角A、B、C的對邊分別為、、，
，又的面積為.（1）求角C的大??；（2）求的值.
解：（1）由已知得，所以，；
（2）因為，所以，
又因為，所以
所以，===5
●思悟小結
1.三角形中的邊角問題的求解，或三角形的形狀的判定，及其與三角形有關的問題的求解，通常是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角恒等變形去解決。
2. 判斷三角形的形狀，一般是從題設條件出發，根據正弦定理、余弦定理及三角變換將已知的邊角關系全轉化為邊的關系或全轉化為角的關系，導出邊或角的某種特殊關系，然后判定三角形的形狀。注意變換過程中等式兩邊的公因式不要約掉，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能。
3. 正確理解實際問題中的仰角、俯角、方位角、坡腳、坡比等名詞術語。

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