資源簡介

第六課時：正、余弦定理的應用舉例（1）
知識梳理
一、解斜三角形應用題的一般步驟：
（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖
（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解
（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解
二．測量的主要內容是求角和距離，教學中要注意讓學生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經緯度等概念，將實際問題轉化為解三角形問題.
三．解決有關測量、航海等問題時，首先要搞清題中有關術語的準確含義，再用數學語言（符號語言、圖形語言）表示已知條件、未知條件及其關系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決.
典例剖析
題型一 距離問題
例1.如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？
解：如圖，連結，由已知，
，
，又，是等邊三角形，
，由已知，，，
在中，由余弦定理，．．
因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）．答：乙船每小時航行海里．
題型二 高度問題
例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4，
= 。 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
解法二：（設方程來求解）設DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10)
兩式相減，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=x，由題意，得
BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2=------ ① 在RtADE中，sin4=, ---- ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角為15，建筑物高度為15m
評析：根據題意正確畫出圖形是解題的關鍵，同時要把題意中的數據在圖形中體現出來。
備選題 角度問題
例3．如圖1-3-2，某漁輪在航行中不幸遇險，發出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為，距離為的處，并測得漁輪正沿方位角為的方向，以的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以的速度前去營救.求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到，時間精確到）.
解：設艦艇收到信號后在處靠攏漁輪，則，，又，.
由余弦定理，得
，
即
.
化簡，得
，
解得（負值舍去）.
由正弦定理，得
，
所以，方位角為.
答 艦艇應沿著方向角的方向航行，經過就可靠近漁輪.
評析：本例是正弦定理、余弦定理在航海問題中的綜合應用.解本題的關鍵是根據實際，找出等量關系，在畫示意圖時，要注意方向角的畫法。
點擊雙基
一. 選擇題：
1．在△ABC中，下列各式正確的是 （ ）
A. ＝ B.asinC＝csinB
C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)
解：根據正弦定理得,又sinC=sin(A+B), asin(A＋B)＝csinA
答案：C
2．海上有A、B兩個小島相距10 nmile，從A島望B島和C島成60°的視角，從B島望A島和C島成75°角的視角，則B、C間的距離是 （ ）
A.5nmile B.10nmile C. nmile D.5nmile
解：根據題意知：AB=10，A=60°,B=75°則C=45°,
a===5
答案：D
3．在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（ ）
? A. 米? B. 米 C. 200米 D. 200米
　解：如圖，設塔高AB為h，
　　Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°-60°＝30°
　　
　　在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°-30°＝30°
　　∴　∠BAC＝120°
　　∴　
　　∴　（m）
答案：A
　　
4．某人以時速a km向東行走，此時正刮著時速a km的南風，那么此人感到的風向為 ，風速為 .
答案：東南 a
5．某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行30 nmile后看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是 .
解：10
課后作業
1．已知三角形的三邊長分別為a、b、，則這個三角形的最大角是 （ ）
A.135° B.120° C.60° D.90°
解：根據三角形中大邊對大角，可知所對的角為最大角，設為，則
cos==-, 120°
答案：B
2．如下圖，為了測量隧道AB的長度，給定下列四組數據，測量應當用數據
A.、a、b B.、β、a
C.a、b、γ D.α、β、γ
解：根據正弦定理和余弦定理知，測量a、b、γ，利用余弦定理
可求AB的長度。
答案：C
3. 海上有A、B、C三個小島，已知A、B之間相距8 n mile，A、C之間相距5 nmile，在A島測得B島和C島的視角為60°，則B島與C島相距的n mile數為 ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
解：根據題意知：AB=8，AC=5,∠A=60°,根據余弦定理有BC=8=49，BC=7
答案：A
4．在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30 m至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，則等于(　)
　　A．15° B．10°
　　C．5° D．20°
解：如圖，BC＝CA，CD＝DA，
　　設AE＝h，則
∴　2cos2＝，∴　cos2＝
　　∴　2＝30°，∴　＝15°．
答案：A
5. 某人朝正東方向走x km后，向左轉150°，然后朝新方向走3 km，結果他離出發點正好是km，那么x的值為( )
A. B.2 C.2或 D.3
解：如圖，設出發點為A，則由已知可得
　　AB＝x千米，BC＝3千米
　　∠ABC＝180°-150°＝30°
　　AC＝，∴　，
　　∴　，
　　∴　∠CAB＝60°或∠CAB＝120°
　　當∠CAB＝60°時，∠ACB＝180°-30°-60°＝90°
　　x＝2千米
　　當∠CAB＝120°，∠ACB＝180°-120°-30°＝30°
　　∴　x＝AC＝千米
答案：C　
6. 已知一塔高80m，分別在塔底和塔頂測得一山的山頂的仰角分別是60°和30°，則山高為 ( )
A.240m B.180m C.140m D.120m
解：D
7.如圖,建造一幢寬為,房頂橫截面為等腰三角形的住房,則∠ABC=,則等于( )時,可使雨水從房頂最快流下.
A.300 B.450 C.600 D.任意角
解：根據題意知s=AB=，加速度a=gsin.
由s=得t=, =45時t最小
答案：B
8.一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2km/h,則經過,該船的實際航程為 ( )
A. B. C. D.
解：船的實際速度是v==2,則經過,該船的實際航程為2=6
答案：B
二．填空題
9．一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉105°，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉135°爬行回它的出發點，那么x＝________．
解：如圖，
　　∠ABC＝180°-105°＝75°
　　∠BCA＝180°-135°＝45°，
　　BC＝10 cm
　　∴　∠A＝180°-75°-45°＝60°
　　∴　
10．坡度為45°的斜坡長為100 m，現在要把坡度改為30°，則坡底要伸長________．
　　解：如圖，DB＝100 m
　　∠BDA＝45°，∠BCA＝30°
　　設CD＝x
　　∴　(x＋DA)·tan30°＝DA·tan45°
　　又DA＝BD·cos45°＝100×
∴　x＝-DA
　　
　　＝50(-1)
　　＝50()(m)
答案：50() m
11．如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在
同一水平面內的兩個測點與．測得∠BCD＝15°，
∠BDC＝30°，CD＝30米，并在點 測得塔頂的
仰角為60°, 則BC= 米, 塔高AB= 米。
解：在，，
∵
∴
在中，
∴
答案：，
三．解答題
12.如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？
解：連接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10cos120°=700.
于是,BC=10。 ∵，∴sin∠ACB=，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船應朝北偏東41°方向沿直線前往B處救援。
13．如圖，某海島上一觀察哨在上午時測得一輪船在海島北偏東的處，時分測得輪船在海島北偏西的處，時分輪船到達海島正西方的港口.如果輪船始終勻速前進，求船速.
解：設，船的速度為，則，.
在中，，.
在中，，
.
在中，，
，，
船的速度.
14.如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC＝0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點距離相等，然后求B，D的距離（計算結果精確到0.01km，1.414，2.449） 解：在中，＝30°，
＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底邊AD的中垂線，所以BD＝BA 5分
在中，，
即AB＝
因此，
故B、D的距離約為0.33km。

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