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第五課時：正、余弦定理的綜合應(yīng)用
知識梳理
1.正弦定理： ，其中為外接圓的半徑。
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.
（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.（從而進一步求出其他的邊和角）
2.余弦定理：
(1)余弦定理：
； ； .
在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以c2=a2+b2.
（2）余弦定理的推論：
； ； .
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
3.三角形面積公式：==
4.三角形的性質(zhì)：
①.A+B+C=, ,
,
②.在中, ＞c , ＜c ; A＞B＞,
A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B
③.若為銳角，則＞,B+C ＞,A+C ＞;
＞，＞，＋＞
5.(1)若給出那么解的個數(shù)為：(A為銳角)，幾何作圖時，存在多種情況．如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數(shù)．
已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有如下的情況：
(1)A為銳角

一解 兩解 一解
若，則無解；
（2）當A≥90
若a>b,則一解
若a≤b，則無解
典例剖析
題型一 三角形多解情況的判斷
例1.根據(jù)下列條件，判斷有沒有解？若有解，判斷解的個數(shù)．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
解：（1）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．
（2）∵，∴只能是銳角，因此僅有一解．
（3）由于為銳角，而，即，因此僅有一解．
（4）由于為銳角，而，即，因此有兩解，易解得．
（5）由于為銳角，又，即，
∴無解．
評析：對于已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形問題，容易出錯，一定要注意一解、兩解還是無解。這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。
題型二 正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用
例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點，且AD＝4，求BC邊長.
分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為x后，建立關(guān)于x的方程.而正弦定理涉及到兩個角，故不可用.此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用.因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為，然后利用互補角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程.
解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝＝
在△ADC中，cosADC＝＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.
∴＝－
解得，x＝2
所以，BC邊長為2.
評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型.
備選題 正、余弦定理的綜合應(yīng)用
例3在△ABC中，已知，求△ABC的面積.
解法1：設(shè)AB、BC、CA的長分別為c、a、b，
.
故所求面積
解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得
故所求面積
評析：本小題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，同時考查利用三角公式進行恒等變形的技能和運算能力.
點擊雙基
一. 選擇題：
1. 在中，，則A為（ ）

解：
答案：A
2. 在（ ）

解：由題意及正弦定理可得
答案：B
3. 以4、5、6為邊長的三角形一定是（ ）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 銳角或鈍角三角形
解：：長為6的邊所對角最大，設(shè)它為
則

答案A
4. 在中，化簡___________
解：利用余弦定理，得原式
答案：a
5. 在中，，則_______，________
解：
又
答案：
課外作業(yè)
一、選擇
1. 在中，，則A等于（ ）

解：由余弦定理及已知可得
答案：C
2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60,則此三角形的解的情況是（ ）
A. 有一解 B. 有兩解 C. 無解 D. 有解但解的個數(shù)不確定
解：bsinC=20>c, 無解
答案：C
3. 在中，，則三角形為（ ）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形
C. 等腰三角形 D. 等邊三角形
解：由余弦定理可將原等式化為


答案C
4. 在中，，則是（ ）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 正三角形
解：原不等式可變形為


答案：C
5 在△ABC中，若，則其面積等于（ ）
A B C D
解：
答案：D
6 在△ABC中，角均為銳角，且
則△ABC的形狀是（ ）
A 直角三角形 B 銳角三角形 C 鈍角三角形 D 等腰三角形
解： 都是銳角，則
答案：C
7.在△ABC中，cos=,則△ABC的形狀是（ ）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
解：原式可化為=， cosA+1= cosA=
由余弦定理，得，a△ABC為直角三角形
答案：B
8.在△ABC中，A=，BC=3，則△ABC的周長為（ ）
A. 4 B. 4
C. 6 D. 6
解：，==2=2, b+c==2(sinB+sin())==2()=6
a+b+c=6
答案：D
二. 填空題：
9. 在中，已知，則___________
解：由正弦定理得
設(shè)1份為k，則
再由余弦定理得
答案：
10. 在中，A、B均為銳角，且，則是_________
解：由得
A、B均為銳角，
而在上是增函數(shù)

即

答案：鈍角三角形
11. 三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為
解：由題意得或2（舍去）

答案：2
三. 解答題：
12. .根據(jù)下列條件，判斷是否有解？有解的做出解答．
① a=7,b=8,A=105 ② a=10,b=20,A=80
③ b=10,c=5,C=60 ④ a=2,b=6,A=30
解：①a=7,b=8,a90 本題無解
② a=10,b=20,absinA=20sin80>20sin60=10a本題無解
③b=10,c=5,bsinB==
B=45,A=180-(B+C)=75
a====5()
④ a=2,b=6,a又bsinA=6sin30=3,a>bsinA本題有兩解
由正弦定理得sinB===
B=60或120
當B=60時，C=90,c===4
當B=120時，C=30,c===2
B=60，C=90,c=4或B=120，C=30,c=2
13：在中，，，，求的值和的面積.
解 ，又



14. 已知的外接圓半徑是，且滿足條件。
（1）求角C。
（2）求面積的最大值。
解：（1）

即
由正弦定理知
即
由余弦定理得

（2）


當A＝B時，S有最大值

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