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2024-2025學年遼寧省撫順市六校協作體高一（下）期末
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數滿足，則復數的虛部是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若與平行，則實數的值為( )
A. B. C. D.
3.下列說法正確的是( )
A. 一個平面內有一條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
B. 一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
C. 一個平面內有無數條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
D. 一個平面內有兩條相交直線與另外一個平面平行，則這兩個平面平行
4.在中，角，，所對的邊分別為，，已知，，，則( )
A. B. C. D.
5.已知圓臺的上、下底面面積分別為和，其母線長為，則圓臺的表面積為( )
A. B. C. D.
6.若，則( )
A. B. C. D.
7.已知直線是函數圖象的一條對稱軸，則( )
A. B. C. D.
8.在長方體中，為的中點，，，，則三棱錐外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數，則下列說法正確的是( )
A. 復數的模的最大值為 B. 若，是純虛數，則
C. 時，復數對應的點在第一象限內 D. 復數的模長為定值
10.已知的內角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的命題是( )
A. 若，則
B. 若是銳角三角形，則恒成立
C. 若，則一定是直角三角形
D. 若，則一定是銳角三角形
11.關于函數有下述四個結論，其中正確的是( )
A. 是奇函數
B. 在區間上單調遞減
C. 的最大值為
D. 在有個零點
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知正四棱臺的上底邊長為，下底邊長為，側棱長為則四棱臺的高為______．
13.已知復數滿足，則的最小值為______．
14.日常生活中，較多產品的包裝盒呈正四棱柱狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，正四棱柱的底面是正方形，且，．
店員認為在彩繩扎緊的情況下，按照圖中的方向捆扎包裝盒會比按照圖中的十字捆扎法更節省彩繩不考慮打結處的用繩量和彩繩的寬度則圖比圖最多節省的彩繩長度為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知是夾角為的兩個單位向量，．
求的值；
求與的夾角的余弦值．
16.本小題分
如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，點，，分別為，，的中點．
求證：平面平面；
在棱上確定一點，使平面，并說明理由．
17.本小題分
已知函數．
求函數的單調遞增區間；
求函數在區間上的最大值和最小值；
若，，求的值．
18.本小題分
在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且．
證明：；
若的平分線交于，，，求的值；
求的取值范圍．
19.本小題分
現有長度分別為，，，的線段各條，將它們全部用上，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長為的三角形或四邊形．
求出所有可能的三角形的面積；
如圖，已知平面凸四邊形中，，，，，(ⅰ)求，滿足的數量關系；
(ⅱ)求四邊形面積的最大值，并指出面積最大時的值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由題意知，是夾角為的單位向量，
故，
所以；
由題意得，
，
，
所以，
所以，
即與的夾角的余弦值為．
16.證明：因為，，分別為，，的中點，
可得，，
因為平面，平面，
所以平面，
同理可得，
，
所以平面平面；
解：為的中點，
證明如下：
取的中點，
連接，，因為為的中點，
所以，，，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面，同理可證得平面，
，
可證得平面平面，
又因為平面，
所以平面．
17.由題意可得
，
令，，
解得，，
可得函數的單調遞增區間為，；
，
，
，
函數在區間上的最大值是，最小值是；
，整理可得，
又，可得，
，
．
18.證明：，
由正弦定理可得，
，
，
，則，
，
由是銳角三角形，得，，則，
，；
解：，為銳角，，
則，
，
，，
，．
解：由是銳角三角形，得，，，
可得，，
，
令，則，在上單調遞增，
而，，
，
．
19.解：如果三條線段構成三角形的條件，則任意兩邊之和大于第三邊長，
于是可能的三角形是，，或，，，
當三角形三條邊為，，時，由余弦定理可得，
故，所以；
當三角形三條邊為，，時，由余弦定理可得，
故，所以；
所以所有可能的三角形的面積為或；
分別在，中，由余弦定理求邊長，
則有，
化簡可得；
(ⅱ)由正弦定理可得，
所以，
又因為，
所以，
故
，
所以的最大值為，即的最大值為，
當且僅當，且時取等號，
此時，所以，即，
故四邊形面積的最大值為，面積最大時的值為．
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