資源簡介

2024-2025學年上海市浦東新區(qū)建平中學高二（下）期末數(shù)學試卷
一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.通過隨機抽樣，收集了若干朵鳶尾花的花萼長度和花瓣長度單位：，繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的回歸方程為，根據(jù)以上信息，下列命題正確的是( )
A. 花萼長度為的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為
B. 若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
C. 花瓣長度和花萼長度負相關(guān)
D. 花瓣長度和花萼長度存在一次函數(shù)關(guān)系
2.設(shè)，為實數(shù)，則“”的一個充分不必要條件是( )
A. B.
C. D.
3.下列四個命題中，真命題的個數(shù)是( )
若，則
若，則
若，且，為互斥事件，則，不為獨立事件
若，和為互斥事件，則
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
4.若函數(shù)滿足：對任意，，，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)請判斷下列兩個命題的真假性( )
已知函數(shù)具有性質(zhì)，且值域是一個開區(qū)間Ⅰ，則是奇函數(shù)
已知函數(shù)具有性質(zhì)，，若在上嚴格增，則是奇函數(shù)
A. 真真 B. 假假 C. 假真 D. 真假
二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
5.已知集合，，則 ______用列舉法表示
6.已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則 ______．
7.雙曲線的漸近線方程為______．
8.的展開式中常數(shù)項為______．
9.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則 ______．
10.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其圖像不過坐標原點，則 ______．
11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．
12.有甲、乙兩袋，甲袋中有個白球，個紅球；乙袋中有個白球，個紅球現(xiàn)從甲袋中任取個球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，則此球為紅球的概率為______結(jié)果為精確值
13.在中，，，，在線段上包括端點，則的取值范圍是______．
14.已知且，且，則 ______．
15.已知函數(shù)，，若有兩個極值點，，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．
16.不透明的袋中裝有編號為，，，的個小球，現(xiàn)從中隨機有放回地取次，每次取個球，已知摸出的球中有編號為的球，則摸出的球中最大編號大于等于的概率是______．
三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
設(shè)數(shù)列的前項和．
求的通項公式；
求數(shù)列的最小的項．
18.本小題分
如圖，三棱錐中，，，，平面平面，是中點．
證明：；
求三棱錐的體積．
19.本小題分
某經(jīng)銷商在某地個位置對甲乙兩種類型的網(wǎng)絡(luò)進行掉線次數(shù)測試，得到數(shù)據(jù)如表所示：
甲
乙
如果在測試中掉線次數(shù)超過次，則網(wǎng)絡(luò)狀況為“糟糕”，否則為“良好”，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否說明網(wǎng)絡(luò)狀況與網(wǎng)絡(luò)的類型有關(guān)？
若該經(jīng)銷商要在上述接受測試的甲地個地區(qū)中任選個，求，兩個地區(qū)同時被選到的概率；
若該經(jīng)銷商要在上述接受測試的甲地個地區(qū)中任選個，以表示所選位置中網(wǎng)絡(luò)狀況為“糟糕”的位置個數(shù)，求隨機變量的分布及數(shù)學期望．
附：，其中．
20.本小題分
已知點在拋物線：上，點為的焦點，且過點作直線與及圓依次相交于點，，，，如圖．
求拋物線的方程及點的坐標；
求的值；
過，點分別作的切線，，且與相交于點，已知三角形外接圓的圓心為，求的最小值．
21.本小題分
牛頓法又稱切線法，是牛頓提出的一種用導數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設(shè)是方程的解，選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線如果，則與軸的交點的橫坐標記為，稱為的一階近似值再過點作曲線的切線，并求出切線與軸的交點橫坐標記為，稱為的二階近似值重復以上過程，得的近似值序列：、、、，根據(jù)已有精確度，當時，取為方程近似解已知函數(shù)，，其中，．
當時，試用牛頓法求方程滿足精度的近似解；取，且結(jié)果保留兩位小數(shù)
牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學思想，指利用曲線的切線或割線解決問題．
設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，當時，比較與的大小；
當時，若關(guān)于的方程的兩個根分別為，，證明：．
參考數(shù)據(jù)：，時，
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.，
12.
13.
14.
15.
16.
17.數(shù)列的前項和，
所以，；
所以，時，，滿足；
所以；因為，
所以當或時，數(shù)列取得最小項為．
18.證明：連接，因為，是中點，所以，
因為平面平面，平面平面，
且平面，，所以面，
又因為平面，所以，
由，，可得，
又，，所以，所以；
解：因為，，，
所以平面．
所以三棱錐的體積為
．
19.根據(jù)題意列出列聯(lián)表如下：
糟糕 良好 合計
電信
網(wǎng)通
合計
零假設(shè)：游戲的網(wǎng)絡(luò)狀況與網(wǎng)絡(luò)類型無關(guān)，則，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)說明不成立，即不能說明游戲的網(wǎng)絡(luò)狀況與網(wǎng)絡(luò)的類型有關(guān)；
在個地區(qū)中任選個，有種選法，其中，兩個地區(qū)同時被選到的選法有，
所以所求概率隨機變量的所有可能取值為，，，
，
，
．
故的分布列為：
．
20.設(shè)在拋物線準線上的射影是，
此時，
解得，
所以，拋物線方程為；
易知直線的斜率存在，
設(shè)直線方程為，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
此時，
所以方程必有兩根，分別為，，
由韋達定理得，，
所以，，
則；
易知直線的斜率為，直線的斜率為，
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
因為，
所以與相互垂直，
即，
所以為中點，
此時，
即，
聯(lián)立，
解得，
所以點在準線上，
因為，，，
所以，
當且僅當時，等號成立．
則的最小值為．
21.當時，令，
則，所以，又，
所以曲線在處的切線為，
令，得，則．
又，
曲線在處的切線為，
令，得，則，
故用牛頓迭代法求原方程滿足精度的近似解為．
設(shè)點的坐標為，則，即，
所以，得到，解得，則，
又，則，
曲線在點處的切線方程為，即，
令，即，則
因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減．
又因為，所以當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以對任意的正實數(shù)都有，即當時，都有．
因為在上單調(diào)遞減，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是在的極大值點，也是在的最大值點，
即．
又，所以當方程有兩個根時，
必滿足，且，
曲線過點和點的割線方程為．
下面證明：．
設(shè)，
則，令，得，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞減，，
所以當時，，即．
因為，所以，解得
曲線過點和點的割線方程為．
下面證明：．
設(shè)，
則，即在上單調(diào)遞減，
．
因為，且，即和都在的
嚴格減區(qū)間內(nèi)，
所以，即，
所以，即．
由零點存在性定理可知，存在，使得，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞減，，
所以當時，，即．
因為，所以，解得
由，得，
即證得．
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