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2024-2025學年新疆阿克蘇地區普通高中聯考高二（下）期中
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.用數字，，，，組成的沒有重復數字的五位偶數的個數是( )
A. B. C. D.
2.如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是( )
A. 在上是減函數 B. 在上是增函數
C. 在處取得極大值 D. 在處取得極小值
3.函數的單調遞減區間為( )
A. B. C. D. ，
4.我國商用中大型無人機產業已進入發展快車道，某無人機生產公司年投入研發費用億元，計劃此后每年研發費用比上一年都增加億元，則該公司一年的研發費用首次達到億元是在( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.某旅行社共有名專業導游，其中人會英語，人會日語，若在同一天要接待個不同的外國旅游團，其中有個旅游團要安排會英語的導游，個旅游團要安排會日語的導游，則不同的安排方法種數有( )
A. B. C. D.
6.若，，，則以下不等式正確的是( )
A. B. C. D.
7.在新高考改革中，學生可先從物理、歷史兩科中任選一科，再從化學、生物、政治、地理四門學科中任選兩科參加高考，現有甲、乙兩名學生若按以上選科方法，選三門學科參加高考，則甲、乙二人恰有一門學科相同的選法有( )
A. B. C. D.
8.過點可以做三條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列命題正確的有( )
A. 已知函數在上可導，若，則
B. 已知函數，若，則
C.
D. 設函數的導函數為，且，則
10.記數列的前項和為，且，則( )
A.
B. 數列是公差為的等差數列
C. 數列的前項和為
D. 數列的前項的和為
11.現有個小球和個盒子，下面的結論正確的是( )
A. 若個相同的小球放入編號為，，，的盒子，每個盒子都不空，則共有種放法
B. 若個相同的小球放入編號為，，，的盒子，且恰有一個空盒的放法共有種
C. 若個不同的小球放入編號為，，，的盒子，且恰有一個空盒的放法共有種
D. 若個不同的小球放入編號為，，，的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有種
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知等差數列中，，是方程的兩根，則______．
13.在如圖所示的四個區域中，有種不同的花卉可選，每個區域只能種植一種花卉，且相鄰區域花卉不同，則不同的種植方法共有______種用數字作答
14.如圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊、直角邊，的三邊所圍成的區域．若，過點作于，當面積最大時，黑色區域的面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
計算：
；
．
16.本小題分
某種產品的加工需要經過道工序．
如果其中某道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少種加工順序？
如果其中某道工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？
如果其中某道工序不能相鄰，那么有多少種加工順序？
17.本小題分
設是等差數列，是等比數列，公比大于，已知，，．
求數列和的通項公式；
若，求數列的前項和．
18.本小題分
已知函數，．
當時，求函數的最小值；
當時，討論函數的單調性；
求證：當時，對任意的，，且，有．
19.本小題分
已知函數的導函數為，若在區間上單調遞增，則稱為區間上的凹函數；若在區間上單調遞減，則稱為區間上的凸函數已知函數．
若在上為凹函數，求實數的取值范圍；
已知，且在上存在零點，求實數的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
．
16.解：某種產品的加工需要經過道工序，
先從另外道工序中任選道工序放在最前和最后，有種不同的排法，
再將剩余的道工序全排列，有種不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
先排這道工序，有種不同的排法，再將它們看作一個整體，
與剩余的工序全排列，有種不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
先排其余的道工序，有種不同的排法，出現個空位，再將這道工序插空，
有種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有種加工順序．
17.因為是等差數列，是等比數列，公比大于，
，，，
則，解得或舍去，
故，；
，
設前項和為，，
，
設的前項和為，
所以，
，
兩式相減可得：
，
所以，
．
18.顯然函數的定義域為，
當．
當時，，
，．
在時取得最小值，其最小值為 ．
當即時，
若時，，為增函數；
時，，為減函數；
時，，為增函數
當時，
，函數在上為增函數．
當即時，
時，，為增函數；
時，，為減函數；
時，，為增函數．
證明：不妨設，要證明，
即證明：
當時，函數．
考查函數
在上是增函數，
對任意，，
所以，
命題得證
19.解：，
則，
依題意知，對任意的恒成立，則恒成立，
令，，
則，
故在上單調遞增，故，
則實數的取值范圍為；
依題意得，，
若，當時，，，
所以，在上無零點，舍去；
若，則，令，
則，則在上單調遞減，且，
若，即，此時，
則存在，使得，即，
故F在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
當時，，
令，解得，
因為，且，
所以存在唯一的，使得滿足條件；
若，即，此時，在上單調遞減，
又，所以，不合題意，舍去．
綜上所述，實數的取值范圍為．
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