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2024-2025學年河南省洛陽市強基聯盟高二（下）7月聯考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若，則( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共線，若與共線，則實數的值是( )
A. B. C. D.
4.雙曲線的焦點到漸近線的距離為( )
A. B. C. D.
5.若，，，則( )
A. B. C. D.
6.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則圖象的一條對稱軸為( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱臺的上底面的四個頂點，，，都在圓錐的側面上，下底面的四個頂點，，，都在圓錐的底面圓周上，且，，則圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
8.已知函數的定義域為，，，將的圖象繞原點旋轉后所得圖象與原圖象重合，若，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. ，
B. 若，都是非零實數，且，則
C. 若，則的最小值為
D. 若，滿足，則的最大值為
10.若，則( )
A.
B.
C.
D.
11.蘇格蘭數學家約翰納皮爾發現并證明了當且時根據約翰納皮爾的這個發現以及我們所學的數學知識，關于函數，下列說法正確的是( )
A. 有且只有一個極值點
B. 的最小值為
C. 的單調遞減區間是
D. 存在兩個不相等的正實數，，使
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知橢圓的左頂點與上頂點之間的距離為焦距的倍，則的離心率為______．
13.已知在中，角，，所對邊分別為，，，滿足，且，則周長的取值范圍為______．
14.已知個樣本數據的平均值為，方差為，則這個數據的分位數的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
設拋物線：的焦點為，過的直線與交于，兩點．
求的準線方程；
設為準線上一點，且，求．
16.本小題分
已知數列的首項是
證明：的奇數項成等差數列；
求的前項和．
17.本小題分
如圖，平面，，，，，，．
求直線與平面所成角的正弦值以及點到平面的距離；
求二面角的正弦值．
18.本小題分
六一兒童節，某商場為了刺激消費提升營業額，推出了消費者憑當天在該商場的消費單據參加抽獎的活動，獎品是款不同造型的玩具摩托車與款不同造型的玩具跑車每款車的數量都充足，主辦方將大小相同的個乒乓球上分別標注，，，，，，，，其中標注數字，，，的乒乓球分別代表款不同造型的摩托車，，，，的乒乓球分別代表款不同造型的跑車，并將這個乒乓球放在一個不透明箱子內活動規定：兒童節當天在該商場消費滿元的消費者可從摸獎箱內摸出個乒乓球，然后再放回箱內；消費滿元可先從摸獎箱內摸出個乒乓球，放回后再從中摸出個乒乓球，然后再放回箱內；消費滿元可先從摸獎箱內摸出個乒乓球，放回后再從中摸出個乒乓球，放回后再從中摸出個乒乓球，然后再放回箱內；，依此類推，消費者根據自己摸出的乒乓球標注的數字即可獲得相應的獎品．
若小明的家長當天在該商場消費恰好滿元，求這位家長能獲得款相同造型摩托車與款不同造型跑車的概率；
若本次活動小明家獲得的獎品是臺不同造型的摩托車和臺不同造型的跑車，小英家也獲得臺不同造型的摩托車和臺不同造型的跑車．
從他們兩家獲得的這臺車中隨機抽取臺，如果抽出的臺車中有臺摩托車，求的分布列和數學期望；
若小明和小英將他們家本次活動獲得的獎品每次各取一件進行交換，第一次交換的獎品也可以參加第二次交換，求兩次交換后小明家仍有臺摩托車和臺跑車的概率．
19.本小題分
“洛必達法則”是研究微積分時經常用到的一個重要定理，洛必達法則之一的內容是：若函數，的導數，都存在，且，如果是常數時，或，或，且是常數，則時．
已知函數，．
證明：時曲線在點處的切線與曲線也相切；
若函數有兩個零點，，函數有兩個零點，
指出，，，的大致范圍不必說明理由，并求出的取值范圍；
試探究與的大小關系．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因為拋物線的方程為，
所以拋物線焦點的坐標為，
準線方程為；
因為在拋物線的準線上，
所以，即，
此時，
因為，
所以，
解得，
所以直線的方程為，
設，，
聯立，
消去并整理得，
由韋達定理得，
所以．
16.證明：由數列的首項是
若為奇數，則是偶數，是奇數，
所以，，即，
所以的奇數項是首項為，公差為的等差數列．
當時，
．
因為，
所以當時，
．
綜上所述，．
17.因為平面，，
所以，，兩兩垂直，
以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：
則，，，，，，
所以，，，
設為平面的一個法向量，
則，
令，則，
所以，
設直線與平面所成角為，
則，
點到平面的距離為．
設為平面的一個法向量，
則，
令，則，
所以，
所以，，
所以二面角的正弦值為．
18.記“小明的家長得到臺相同造型摩托車與臺不同造型跑車”為事件，
則；
易知的所有可能取值為，，，，
所以，
則的分布列為：
故；
兩次交換后小明家仍有臺摩托車和臺跑車，包括種情況：
第一次交換后小明家是臺摩托車臺跑車，
此時概率；
第一次交換后小明家是臺摩托車臺跑車，
此時概率；
第一次交換后小明家是臺摩托車臺跑車，
此時概率，
則兩次交換后小明家仍有臺摩托車和臺跑車的概率．
19.證明：時，，，
，，
又，，
所以曲線在點處的切線方程是，即．
因為，，
所以曲線在點處的切線方程是，即．
所以時曲線在點處的切線與曲線也相切．
，．
由，得；，得，
令，則與的零點相同，與的零點相同，
又，
時，，單調遞減；時，，單調遞增；
時，，單調遞減，時，，單調遞增；
所以和在上都是減函數，在上都是增函數，
所以時，，時，，
因為有兩個零點，即有兩個零點，
所以，且解得．
當時，，，
又時，
根據洛必達法則可知，時，，
所以時，
所以時，在區間和上各有一個零點，
所以，
因此，若函數，各有兩個零點，的取值范圍是．
令，
則與的零點相同，與的零點相同，
在區間上是增函數，
，
，
令，則，
時，單調遞增；時，，單調遞減；
所以時，
于是時等號僅當時成立，
所以在上是增函數．
所以時，，，即時，；
時，，，即時；
由知，，
所以，
又，，
所以，
又在區間上是增函數，且，，
所以同理可證，
于是．
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