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2024-2025學(xué)年安徽省部分學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.隨著天氣轉(zhuǎn)暖旅游人數(shù)逐步增加，各景區(qū)投入不同數(shù)額的經(jīng)費萬元對環(huán)境進(jìn)行治理，得到旅游景區(qū)收益的增加值萬元，對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：
投入經(jīng)費單位：萬元
收益增加值單位：萬元
若與的回歸直線方程為，則( )
A. B. C. D.
3.下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的是( )
A. B.
C. D.
4.已知數(shù)列滿足，，則( )
A. B. C. D.
5.已知件產(chǎn)品中有件次品，件正品，檢驗員從中隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測，則取到的正品數(shù)為的概率為( )
A. B. C. D.
6.已知數(shù)列滿足，則( )
A. B. C. D.
7.已知點在曲線：上，點在直線上，則，兩點距離最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線的右焦點為，以為坐標(biāo)原點為直徑的圓與一條漸近線交于點，直線與另一條漸近線交于點，且，則的離心率為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是( )
A. 的最大值為 B. ，，成等比數(shù)列
C. 數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列 D. 數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列
10.已知盒子中有個白球和個黑球，盒子中有個白球和個黑球先從盒子隨機(jī)取出一球放入盒子，設(shè)“從盒子取出的球是白球”為事件，“從盒子取出的球是黑球”為事件；再從盒子中隨機(jī)取一球，設(shè)“從盒子取出的球是白球”為事件，“從盒子取出的球是黑球”為事件，下列說法正確的是( )
A. ，是互斥事件 B. ，是獨立事件
C. D.
11.在長方體中，，，則( )
A.
B. 平面與底面夾角的余弦值為
C. 直線與平面所成角的余弦值為
D. 點到平面的距離為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在二項式的展開式中，所有項的系數(shù)和為，則此二項式展開式中二項式系數(shù)之和是______．
13.在三棱柱中，，，，為的中點，則 ______．
14.已知函數(shù)有三個零點，則的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
為了研究臭氧效應(yīng)，先選取只小白鼠，隨機(jī)地將其中只分配到試驗組，另外只分配到對照組，將試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量單位：試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量為
試驗組的小白鼠體重的增加量為
求只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，并分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
對照組
試驗組
根據(jù)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，其中．
16.本小題分
已知數(shù)列的前項和為，．
求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
若，求的最小值．
17.本小題分
在某次乒乓球團(tuán)體比賽中甲乙兩支球隊進(jìn)入總決賽，比賽采用局勝制，只要有一支球隊先獲勝場比賽結(jié)束在第一場比賽中甲隊獲勝，已知甲隊第，，場獲勝的概率為，第場獲勝的概率為，各場之間互不影響．
求甲隊以：獲勝的概率；
設(shè)表示決出冠軍時比賽的場數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
18.本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，過點，的兩條直線與直線的斜率分別為，，且，記動點的軌跡為曲線．
求的方程；
若，求點的坐標(biāo)；
已知點，直線：與軸交于點，直線與交于點，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在請說明理由．
19.本小題分
已知函數(shù)，直線與曲線相切．
求實數(shù)；
若函數(shù)有三個極值點，，：
求實數(shù)的取值范圍；
求證：．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由題意知，這只小鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排序后，第位和第位數(shù)據(jù)的平均值，第位為，第位為．
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．
填寫列聯(lián)表如下：
合計
對照組
試驗組
合計
根據(jù)中的列聯(lián)表數(shù)據(jù)，結(jié)合給定公式計算，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗知，則，
所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常體重的增加量有差異．
16.證明：當(dāng)時，由，
可得，
兩式相減可得，
即有，即，
當(dāng)時，，得，
則數(shù)列是首項為和公比均為的等比數(shù)列；
由得，
由，，
可得，即，
所以，
則，單調(diào)遞增，
，，
則的最小值為．
17.甲隊以：獲勝，已知甲隊在第一場比賽中獲勝，
則甲隊必在第五場獲勝，第，，場中勝場，負(fù)場，則甲隊以：獲勝的概率為．
根據(jù)題意可取，，，
當(dāng)時，即甲再連勝場，所以，
當(dāng)時，有種情況，甲勝或乙勝，
所以，
當(dāng)時，有種情況，甲勝或乙勝，
所以，
所以的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望．
18.設(shè)，
那么，
化簡得且，
因此點的軌跡曲線的方程為且．
結(jié)合題意，根據(jù)或，
如果，那么；
根據(jù)可得，即；
如果，那么；
根據(jù)可得，即．
綜上，或．
設(shè)，
那么直線為，
聯(lián)立曲線得，
整理得，
根據(jù)題設(shè)知，
那么，
因此，
又因為，，
因此
，
所以，
因此存在，使得．
19.因為，
所以，
設(shè)直線與曲線相切于點，
則，解得；
由題意及得，，，
在中，，
所以，
在中，，
，
因為有三個極值點，，，
所以有個根，即有個根，
設(shè)其中一個根為，則有個根，，且都不為和，
即有個解，
所以直線與有個交點，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，
因為直線與函數(shù)有個交點，且交點橫坐標(biāo)不為，
所以．
證明：由題意，及證明如下，，
在中，，
有三個極值點，，，其中，
則另外兩個，，是方程的根，即的兩個根，
所以要證，即證明，
設(shè)，
在中，，
因為，
所以，在上單調(diào)遞減，
要證，即證，
因為，所以，
因為在上單調(diào)遞減，
所以要證，即證，
即證，
即為，，
設(shè)，，
，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，即，
所以．
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