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2024-2025學年吉林省長春實驗中學高一（下）期中數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在中、內角，，所對的邊分別為，，，，若，則的值為( )
A. B. C. D.
2.已知復數，則( )
A. B. C. D.
3.如圖，在正方體中，，，分別為，，的中點，則下列命題正確的是( )
A. 平面
B. 與相交
C. 與是異面直線
D. 四邊形為正方形
4.在中，角，，對邊分別為，，，，且，則( )
A. B. C. D.
5.在與中，已知，若對任意這樣兩個三角形，總有≌，則( )
A. B.
C. D.
6.“方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，現有“方斗”容器如圖所示，已知，現往容器里加米，當米的高度是“方斗”高度的一半時，用米，則該“方斗”可盛米的總質量為( )
A. B. C. D.
7.已知正三角形的邊長為，點，都在邊上，且，為線段上一點，為線段的中點，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知在四棱錐中，平面，，，為等邊三角形，則平面與三棱錐的外接球球面的交線長為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知與均為單位向量，其夾角為，則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，，分別是三個內角，，的對邊，下列四個命題中正確的是( )
A. 若，則是銳角三角形
B. 若，則是等腰三角形
C. 若，則是等腰三角形
D. 是銳角三角形，則
11.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，的中點，是正方形內的動點，則下列結論正確的是( )
A. 若平面，則點的軌跡長度為
B. 若平面，則三棱錐的體積為定值
C. 若，則點的軌跡長度為
D. 若是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.某校高一共有學生人，現采用分層抽樣的方法從中抽取人進行體能測試；若這人中有人是男生，則該校高一男生共有______人
13.圓臺的上下底面半徑分別為、，母線與底面的夾角為，則圓臺的側面積為______．
14.的內角，，對邊分別為，，，，且，，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖所示，以向量，為邊作平行四邊形，又，．
用，表示，；
，，，求
16.本小題分
記的內角，，的對邊分別為，，，且．
求角的大小；
若，邊上的高為，求的周長．
17.本小題分
空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制例如：正四面體每個頂點均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為，如圖，在直三棱柱中，點的曲率為，，分別為，的中點，且．
證明：平面；
若，求二面角的余弦值．
18.本小題分
已知銳角，角，，所對的邊分別為，，，且，．
求；
求的取值范圍．
19.本小題分
如圖，在四棱臺中，平面，底面為平行四邊形，，且，，分別為線段，，的中點．
證明：．
證明：平面平面．
若，當與平面所成的角最大時，求四棱臺的體積．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解，，
；
，
．
16.解：因為，
所以，
由正弦定理得，
所以，
即，
又，所以，
又，所以；
因為，邊上的高為，
所以的面積，
又由的面積，
解得，
由余弦定理得，而，
所以，解得，
所以的周長．
17.證明：在直三棱柱中，
平面，平面，面，平面，
，，，
點的曲率為，
，
，
為等邊三角形，
分別為的中點，
，
，，，，平面，
平面．
取的中點，連接，，
為等邊三角形，
，
三棱柱是直三棱柱，
平面平面，
平面平面，，平面，
平面，
，平面，
，，
設，
，
，，，
，
，
，，
又，面，平面，
平面，
平面，
，
為二面角的平面角，
，，
在中，，
二面角的余弦值為．
18.解：由題意得，結合正弦定理得，
即，化簡得，
因為、，，所以，可得；
在銳角中，，結合，解得
所以，結合，可得．
由基本不等式，可得，當且僅當時，即時，等號成立．
設，則在上為減函數，在上為增函數，
的最小值為，最大值小于，即
綜上所述，的取值范圍是
19.解：證明：如圖，連接，與交于點，
因為平面，平面，所以，
又因為，，
所以平面，
因為平面，所以，
因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，則，
因為平面，所以，，
所以，即．
證明：延長交于點，連接，
由中位線性質可得，因為，所以，
因為平面，平面，
所以平面，
所以為的中點，則，
因為平面，平面，所以平面，
因為，所以平面平面．
設，因為，
所以，則，，
設點到平面的距離為，與平面所成的角為，
則，
因為，
，
所以，得，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，此時與平面所成的角最大，
的體積
．
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