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2024-2025學年湖南省衡陽市衡南縣高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知全集，集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知命題：，，則命題的否定為( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，則( )
A. B. C. D.
4.一個體育隊有名女運動員和名男運動員，現從隊伍抽樣尿檢，每次從中抽選個運動員，抽出的運動員不再檢查，則在第次抽到女運動員的條件下，第次抽到男運動員的概率為( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，則的值為( )
A. B. C. D.
6.已知張卡片的正、反兩面分別寫有數字，；，；，；，將這張卡片排成一排，則可構成不同的四位數的個數為( )
A. B. C. D.
7.不等式在區間上的整數解的個數是( )
A. B. C. D.
8.定義在上的函數的導函數為，且滿足，，，則下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設隨機變量，且，則( )
A. B.
C. 的方差為 D. 若增大，則增大
10.已知，則下列結論正確的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知定義域為的函數滿足，且函數是奇函數，，則下列說法正確的是( )
A. 函數的一個周期是
B.
C. 函數是偶函數
D. 若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若一個正四棱錐的底面是邊長為的正方形，高為，則側棱長為______．
13.已知等差數列的前項和為，滿足，則______．
14.已知，分別為雙曲線：的左、右焦點過點作直線與的左、右兩支分別相交于，兩點，直線與相交于點若，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在四棱錐中，側面為正三角形，側面底面，底面為正方形，，分別為，的中點．
求證：直線平面；
若，求側面與側面所成角的余弦值．
16.本小題分
已知數列滿足，．
證明是等比數列，并求數列的通項公式；
令，求數列前項的和．
17.本小題分
某學校校慶時統計連續天進入學校參加活動的校友數單位：千人如下：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
第天
參觀人數
由表格數據看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以說明保留小數點后兩位；若，則認為與的線性相關性很強，并求出關于的線性回歸方程；
校慶期間學校開放號門、號門和號門供校友出入，校友從號門、號門和號門進入學校的概率分別為、、，且出學校與進學校選擇相同門的概率為，選擇與入校不同兩門的概率各為假設校友從號門、號門、號門出入學校互不影響，現有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校參加活動，設為人中從號門出學校的人數，求的分布列、期望及方差．
附：參考數據：
，，，，．
參考公式：回歸直線方程，其中．
相關系數．
18.本小題分
在平面直角坐標系中，分別以軸和軸為實軸和虛軸建立復平面，已知復數，在復平面內滿足為定值的點的軌跡為曲線，且點在曲線上．
求的方程；
是過右焦點的弦不是長軸，的中點為，過點，分別作直線：的垂線，垂足分別為，，與軸的交點為．
證明：；
記與的交點為，與的交點為，求四邊形面積的最大值．
19.本小題分
稱為實系數一元多項式若實數滿足，稱是多項式的實數根，則是多項式的因式，即存在多項式使得，設多項式．
判斷的實數根的個數并說明理由；
記的所有實數根的和為，的所有實數根的積為．
證明：，滿足；
證明：．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.證明：取的中點，連接，，
因為為的中點，所以且，
因為底面為正方形，為中點，所以且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，因為平面，平面，
所以直線平面．
取的中點，的中點，連接，，
因為為正三角形，故，
因為側面底面，交線為，平面，
所以底面，
又，
以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
又，故A，，，
故，，，，，
，，，，
設平面的法向量為，
則，
解得，令，則，
所以，
設平面的法向量為，
則，
解得，，令，
所以，
設側面側面與側面所成角為，
所以．
16.證明：由，，可得，
即有是首項和公比均為的等比數列，
可得，即；
，
數列前項的和，
，
相減可得，
化為．
17.依題意，，而，
則．
因為時線性相關程度高，所以與線性相關性很強，可以用線性回歸模型擬合．
所以，，
因此，關于的線性回歸方程為．
記“甲從號門出學校”為事件，“甲從號門進學校”為事件，
“甲從號門進學校”為事件，“甲從號門進學校”為事件，
由題意可得，，，
，，，
由全概率公式得：，
同理乙、丙、丁從號門出學校的概率也為，
為人中從號門出學校的人數，則，
所以，
，
，
，
，
故的分布列為：
所以，．
18.根據題意，復數滿足為定值，
即點到點和的距離之和為定值，
由橢圓定義，該軌跡為橢圓，則焦距，故：，已知點在橢圓上，即長半軸，
則，因此，曲線的方程為：；
證明：易知橢圓右焦點為，設直線方程：，設，，
聯立，消得：，
由韋達定理：，，
又，，，
所以，，
要證，即證，
即證，
即證，
即證，
又根據韋達定理：，得證；
如圖：
在中，因為，是中點，所以是中點，
由同理可得，所以四邊形是平行四邊形，且是中點，
所以是中點，連接，易知，，
所以，
由得：，，
令橢圓的右焦點為，則，
即，
計算，
令化簡得：，
由對勾函數單調遞增，對求導，
所以，
則：，
故：，
所以四邊形面積的最大值為：．
19.因為，
所以，
令，得或，
，，變化情況如下表：
單調遞減 無極值 單調遞減 極小值 單調遞增
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，
所以在和上分別存在唯一的實數根，
故有個實數根；
證明：記的兩個實數根分別為，，
則，
從而得，，，，
消去，得：，，
由，得；
證明：由，得，
又無實數根，
所以，故必有，
，
得，所以，
由，得，
所以，
所以，
再由，得，
故，
令，則，
當時，，
所以單調遞減，
而，
所以，
所以．
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